判断两直线平行的五种方法培优训练（重难点提升）-2024人教版七年级数学下册（解析版）

7.5判断两直线平行的五种方法培优训练（重难点提升）

知识清单

一、判断两直线平行的方法

1平行线的定义（在同一平面内。不相交的两条直线叫做平行线：

2平行于同一条直线的两条直线平行：

3.同位角相等，两直线平行：

4内错角相等，两直线平行：

5同旁内角复补，两直线平行：

6.在同一平面内，同垂直于第三条直线的两直线平行

二、判定两直线平行的基本思路

1,基本图形法：若是“三线八角”的基本图形，剥可利用同位角相等或内错角和等我同常内角互补来说明：

若是“第三直线”

的基本图形，则可运用“第三直钱线”（平行煮色直）来说明

2,添加辅助线法：若图形不具备“基本图形”的特征，可作适当的辅动线，使它具备基本图形的补征，再运

用“基本图形法”来说明

夯基础

类型一、同位角相等，两直线平行

1.（七年级卜・广西河池•期末）如图，Z1=40°,z2=55°,z3=85°,直线匕与。平行吗？为什么？

2.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，直线A6,AC,CO被直线8E所截，C。平分"1CE,已知乙3=△5=60°,

B

C

类型二、内错角相等，两直线平行

3.（22-23七年级下•陕西咸阳•期中）如图，，1=82。，Z2=98°,ZC=zD,试探索乙力与乙F有怎样的数量

关系，并说明理由.

4.（21-22七年级下•新疆喀什•期口）如图所示，已知BC1CD,Z1=Z2.试判断BE与C尸的关

系，并说明你的理由.

类型三、同旁内角互补，两直线平行

5.（七年级下•全国•课后作业）如图,NBEC=95o,NABE=12（T,NDCE=35。,则AB与CD平行吗?请说明理由.

6.（22-23七年级下糊南株洲•期口）如图，4ABD和ZBDC的平分线相交于点E,BE的延长线交于点F,

且41+Z2=90°.

⑴试说明RBIICD；

⑵猜想K2与43之间的数量关系，并说明理由.

类型四、同平行于第三条直线的两条直线互相平行

7.（23-24七年级下•江西南昌•期口）如图，Z1+Z5=180°,Z2=zD,AO与EF平行吗？为什么？

8.（23-24七年级下•上海普陀•期中）如图，已知点4在射线BG上,N1+43=180%Z1=42,乙EAB=LBCD,

说明E"与CD平行的理由.

类型五、同垂直于第三条直线的两条直线互相平行（同一平面内）

9.（21-22七年级下•广东广州•期口）已知EF1A8,CDLAB,zl=z2,求证：Z-AGD=LACB.

10.（21-22七年级下•江西赣州•期末）如图，48_LEF于点8,8工EF于点、D,Z1=Z2,试判断8M与DN

是否平行，为什么？

BD

B提能力

一、解答题

1.（23-24七年级下•云南昭通•期末）如图，AB||CD,zl=z2,z3=z4.求证：EM||FN.

2.（23-24七年级下•河北石家庄•期末）如图，△/18C中，乙4=70。，^ABC=75°,点。为线段AC上的点（不

与点4，C重合），点E在力B的延长线上，连接DE,Z-E=40°,D『平分/4DE.

⑴求乙C的度数；

（2）说明BC||。）的理由.

3.（23-24七年级下•陕西延安•期末）如图,已知KB=46。,EF交AB于点D,OG平分乙10E,Z.ADG=67°,

求证：BCIIEF.

4.（23-24七年级下•陕西宝鸡•期天）如图,已知御EF,LABE=56°,Z.ECD=152°,EC平分乙BEF.

⑴求“"的度数；

（2）48与CD平行吗？请说明理由.

5.（23-24七年级下•陕西•期中）如图，点。在直线48匕尸是DE上一点，连接OF,0C平分0",。。平

分乙BOF交DE于点D.

⑵若乙。与41互余，试说明ED||AB.

6.（23-24七年级下•安徽宿州•期末）如图，在A2B2中,68=4?,点D,6分别在边B年AC的延长线上,

作射线CE,使CD平分4EC凡试说明：ABWCE.

7.（23-24七年级下•辽宁葫芦岛•期末）如图，点0在直线GV上,40180,平分418。交710于E,乙2+2zl=

⑴求证：ABIICD；

（2）若0M平分4108,乙BCD：42=7:4,求2M0N的度数.

8.（23-24七年级下•福建泉州•期末）如图，在A2B2中,乙4=/2=2乙4CB,乙4c2是△4BC的外角,CE平

分"CD.

⑴求上4的度数；

（2）AB与EC平行吗？请说明理由.

9.（23-24七年级下•福建厦门•期夫）如图，已知4DEB=100。，LBAC=80°.判断。尸与AC的位置关系,

并证明.

Da

RFC

10.（23-24七年级下•福建福州•期末）如图，已知EM平分乙4EF,FN平分乙EFD,Z1=42,试说明：ABWCD.

--------。

11.（23-24七年级下•福建厦门・期末）如图，点4,B,C在同一条直线上,Nl=m=乙E,求证：4。||BE.

D„E

ABC

12.（16-17七年级下•广东梅州•阶段练习）已知：如图，ZC=Z1,42和，。互余，BE工FD于点G,求证:

力BICD.（推理过程请注明理由）

13.（23-24七年级下•陕西西安•期末）如图，在四边形ABC。中，点E在CD的延长线上，点尸在。C的延长

线上，连接4尸、BE相交于点O,LADE+Z-BCF=180°,BE平分/.ABC=2zE.

（1）试说明4D|山C；

（2）/18与EF的位置关系如何？为什么？

14.（23-24七年级下•福建福州•期末）如图，0A1OC,OB10D,若乙OBE=LCOD,求证：BEWOA.

15.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，已知4。18c于点D,点E在上，EF1BC于点F,Z1=乙2,

试说明。臼14c.

16.（23-24七年级下•全国•期末）直线48||CO,P为直线48上方一点，连接P4、PD.

AB

J

CD

图1图2

⑴如图1,若NA=100。，〃）=130。，求，APD的度数;

（2）如图1,设NP/18=a,Z.CDP=p,求乙4P。的度数（用含a、夕的式子表示）;

（3）如图2,N为/PHB内部一点，LBAN=3APAN,连接CN,若乙DCN=3乙PCN,求笔的值.

^.ANC

17.(22-23七年级下•北京西城・期中)如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座都平行于地面£T,

前支架0E1与后支架。F分别与。。交于点G和点。，AB与DM交于点N,乙AOE=LBNM.

⑵若0E平分乙10F,乙。0C=30°,求扶手力8与靠背0M的夹角Z/1NM的度数.

18.(23-24七年级下•全国•单元测试)已知直线48IICD,点E在力B、CD之间，点P、Q分别在直线48、CD上,

连接PE、EQ

(2)如图2,PF平分乙BPE,Q/7平分NEQD,当NPEQ=130。时；求出NPR2的度数；

(3)如图3,若点E在CD的下方，P/平分48PE,QH平分匕EQD,Q”的反向延长线交PF于点入当乙PEQ=80°

时，请求出/P尸Q的度数.

19.（23-24七年级下•重庆南岸•期末）已知：ABIICD.

图1图2图3

⑴如图1,点E在力氏CO之间，请说明4力+乙。=4①

⑵如图2,请用等式表示乙4,心ZE之间的数量关系，并说明理由；

⑶如图3,请直接用等式表示乙A,4,，与，—乙邑之间的数量关系

20.（20-21七年级上•吉林长春・期末）问题情境：如图1,ABWCD，Z,PAB=130°,乙PCD=120°,求乙4PC度

数.

小明的思路是：过P作P臼I力8,通过平行线性质来求乙4PC.

⑴按小明的思路，易求得N/PC的度数为一度；（直接写出答案）

（2）问题迁移：如图2,4BIIC0,点.P在射线0M上运动，记4248=。，乙PCD=仅当点P在B、Q两点之间

运动时，问匕/PC与a,/?之间有何数最关系？请说明理由；

⑶在（2）的条件下，如果点尸在B,。两点外侧运动时（点P与点。、B、。三点不重合），请直接写与

a,。之间的数量关系.

7.5判断两直线平行的五种方法培优训练（重难点提升）

知识清单

一、判断两直线平行的方法

1平行线的定义（在同一平面内。不相交的两条直线叫做平行线：

2平行于同一条直线的两条直线平行：

3.同位角相等，两直线平行：

4内错角相等，两直线平行：

5同旁内角夏补，两直线平行：

6.在同一平面内，同垂直于第三条直线的两直线平行

二、判定两直线平行的基本思路

1,基本图形法：若是“三线八角”的基本图形，剥可利用同位角相等或内错角和等我同常内角互补来说明：

若是“第三直线”

的基本图形，则可运用“第三直钱线”（平行煮色直）来说明

2,添加辅助线法：若图形不具备“基本图形”的特征，可作适当的辅动线，使它具备基本图形的补征，再运

用“基本图形法”来说明

夯基础

类型一、同位角相等，两直线¥行

1.（七年级下•广西河池・期末）如图，41=40。/2=55。,乙3=85。，直线八与L平行吗？为什么？

【答案】GIIZ2,理由见解析

【分析】先根据对顶角相等得到"=55。，再根据平角的定义得到乙5二40。，再由平行线的判定即可得出

结论.

【详解】解：G11%理由如下:

•・・/2=55。（已知），Z2=Z4（对顶角相等），

・・・/4=55。（等量代换）.

•・N3=85。（已知），，3+44+Z5=180°（平角定义），

・"5=40°,

又・,21=40。（已知）,

Azi=Z5（等量代换）,

AZ!II12（同位角相等、两直线平行）.

2.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，直线被直线BE所截，。。平分人1CE,已知乙3=Z5=60°,

求讦：ABIICD.

DA

E—W

EcB

【答案】见详解

【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得N1=42,结合已知得

△1=42=60。，那么，zl=z5,利用同位角相等两直线平行即可得4BIICD.

【详解】证明：•・•CD平分4A",

Azi=42,

Vz3=45=60°,

Azi+z2=180°-z3=120°,

Azi=42=60°,

Azi=45,

：,AB||CD.

类型二、内错角相等，两直线平行

3.（22-23七年级下•陕西咸阳•期中）如图，21=82。，Z2=98°,zC=ZD,试探索乙力与乙尸有怎样的数量

关系，并说明理由.

D

【答案】/4=NF,理由见解析

【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，要找乙4与乙F的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得N14-

乙2二180。，则CEII80；根据平行线的性质，可得/。二乙480,结合已知条件，得乙480=4D,根据平行

线的判定，^ACIIDF,从而求得结论.

【详解】解：乙4二4上.

理由：Vzl=82°,42=98。，

.\zl+Z2=180°,

：.CEIIDB,

Z.C=乙ABD,

VzC=m

:.乙ABD=乙D,

：.AC||DF,

：.LA=ZF.

4.（21-22七年级下•新疆喀什•期口）如图所示，已知力8J.8C,BC1CD,zl=z2.试判断BE与的关

系，并说明你的理由.

【答案】BEWCF,理由见解析

【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等，平行线的判定.

由垂直的定义得到448C=NBCD=90。，根据等角的余角相等得到NEBC=4BC凡再由“内错角相等，两

直线平行”得到BEIICF.

【详解】解：BEWCF,理由如下：

*：AB1BC,BC1CD,

，乙ABC=zBCD=90。，

Vzl=42,

：.LABC-Z1=乙BCD-42,

IWcEBC=乙BCF,

：.BE\\CF.

类型三、同旁内角互补，两直线平行

5.（七年级下•全国•课后作业）如图,NBEC=95°,NABE=12（r,NDCE=35。,!^AB与CD平行吗?请说明理由.

【答案】平行，理由见解析.

【分析】先做辅助线延长BE,交CD于F,根据NBEC+/CEF=180。可得到NCEF的度数；再根据三角形内角

和定理即可得到NBFC=60。，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论.

【详解】解：AB〃CD,理由如下：

如图所示，延长BE,交CD于点F,

AB

因为NBEC=95°,

所以NCEF=180°-95°=85°.

又因为NDCE=35。，

所以/BFC=1800-ZDCE-ZCEF=180°-35°-85°=60°.

因为NABE=120°（已知），

所以NABE+NBFC=180。,

所以AB〃CD（同旁内角互补，两直线平行）.

【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键.

6.（22-23七年级下•湖南株洲•期口）如图，乙48。和，的平分线相交于点E,BE的延长线交于点F,

fizl+z2=90°.

⑴试说明力8||CD；

⑵猜想乙2与乙3之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）42+43=90。，理由见解析

【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定，三角形外角的性质等知识.熟练掌握角平分线，平行线的

判定，三角形外角的性质是解题的关键.

（1）由4A80和48DC的平分线相交于点E,可得乙480=241,乙CDB=2乙2,乙EDF=42,由41+Z2=90°,

可得乙400+乙CDB=2（41+乙2）=180。，进而可证HZ?||CD,

（2）由41+42=90。，可得4DE尸==90°,由23+NEDF=4DEB,可得N3+42=90°.

【详解】（1）解：・・・418。和乙8DC的平分线相交于点E,

：.z.ABD=2zl,Z.CDB=2z2,LEDF=z2,

Vzl+z2=90°,

：.LABD+Z.CDB=2（zl+z2）=180°,

||CD；

(2)解：42+43=90°,理由如下:

Vzl+z2=90°,

AzDEF=zl+Z2=90°,

：.LBED=180°-乙DEF=90°

・：A+Z.EDF=乙DEB=90°,

•32+43=90°.

类型四、同平行于第三条直线的两条直线互相平行

7.（23-24七年级下•江西南昌•朋口）如图，Zl+Zfi=180°,Z2=zD,力。与E尸平行吗？为什么？

【答案】AD||EF,证明见解析.

【分析】此题考查了平行线的判断和性质，由n2=匕D得到4DIIBC.又由+Z5=180。得到EF||BC,

即可得到入。IIEF.

【详解】解：AD||EF.

理由如下：

Vz2=40,

：.ADIIBC.

V2.I+zP-180°,

:,EF||BC,

：,AD||EF.

8.（23-24七年级下•上海普陀・期中）如图，己知点4在射线BG上，N1+匕3=180°,Zl=Z2,乙EAB=乙BCD,

说明“与CO平行的理由.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性；由41+乙3=180。，△1=乙2可分别得

EFWG,力EII8C,则乙及4B+Z2=180°；由4瓦48=乙BCD得乙BCD+Z2=180°,则BGIICD,由平行的传

递性质即可得E尸与C0平行.

【详解】解：・.21+43=180。，zl=Z2,

：.EF\\BG,AEWBC,

，NE/W+42=180°；

'：^.EAB=乙BCD,

J./.BCD+Z.2=180°,

：.BG\\CD,

,：FF\\RG,

：.EF\\CD.

类型五、同垂直于第三条直线的两条直线互相平行（同一平面内）

9.（21-22七年级下•广东广州•期口）已知CDLAB,zl=z2,求证：^AGD=^ACB.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，先根据"1AB,CDLAB,得出EF||CD,根据平行线的

性质得出/2=43,根据41=乙2,得出，1=43,根据平行线的判定得出。G||9C,根据平行线的性质，得

出乙1GD=41CB.熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键.

【详解】证明：'：EFLAB,CDLAB,

：.EF||CD,

Az2=43,

Vzl=z2,

Azi=43,

：.DG||BC,

：,^,AGD=Z.ACB.

10.（21-22七年级下•江西赣州•期末）如图，48_L£F于点8,CDLEF于点D,Z1=Z2,试判断BM与。/V

是否平行，为什么？

【答案】BM||DN；理由见解析

【分析】根据A8_LEF,CDIFF,得出N48E=NCDE=90°,根据/1=N2,得出/M8E=N/VDE,即可得

出BM||DN.

【详解】BM||DN；理由如下：

\'AB1EF,CD1EF,

:.ZABE=ZCDE=90°（垂直的定义），

VZ1=Z2,

，N48E-N1=NCOE-N2,

即NM8£=N/VDE,

：-BM||DN（同位角相等，两直线平行）.

【点睛】本题主要考查了垂直的定义，余角的性质，平行线的判定，根据题意得出/M8E=/NDE,是解题

的关键.

提能力

一、解答题

1.（23-24七年级卜.•云南昭通•期末）如图，AB||CD,Zl=Z2,Z3=Z4.求证：EM||FN.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意可证NM£T=4N/E,再根据内错角相等，两直线平

行即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

【详解】证明：・・・4B||C0,

・"1=z.3»

*.*zl=z2,z3=z.4,

.*.zl=z2=z3=N4.

工180°-（zl+Z2）=180°-Q3+44）,即NMEF=乙NFE,

：.EM||FN.

2.（23・24七年级下•河北石家庄•期末）如图，△48C中,乙4=704乙4BC=75。，点。为线段4c上的点（不

与点4C重合），点E在的延长线上，连接DE,ZE=40°,DF平分乙4DE.

⑴求”的度数；

（2）说明8cli。"的理由.

【答案】（1）35。

（2）见解析

【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义和平行直线的判定，

（1）根据三角形内角和直接求解即可；

（2）先根据三角形内角和定理求出乙4OE,从而求得乙4DF,即可证得乙4。尸=匕。，根据同位角相等，两

直线平行即可证得8cliDF.

【详解】（1）解：=70°,LABC=75°,

：.LC=1800-LA-Z.ABC=180°-70°-75°=35°：

（2）解：Vz/I=70°,ZE=40°,

：.LADE=180°-LA-LE=180°-70°-40°=70°；

•••DF平分44OE,

：.LADF=-Z-ADE=35°,

2

：.AADF=",

：.BCIIDF.

3.（23-24七年级下•陕西延安•期末）如图，已知N8=46。，EF交AB于点D,DG平分44DE,乙ADG=67。,

求正：BC||EF.

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由凭平分线的定义得到乙4DE=2LADG=134°,

再由平角的定义得到乙4。尸=乙8=46。，则可由同位角相等，两直线平行证明8C||EF.

【详解】证明：..,DG平分〃DE,Z.ADG=67°,

：.z.ADE=2Z.ADG=134°,

：,LADF=180°-LADE=46°,

,:乙B=46°,

：.^ADF=Z-B=46°,

:・BC||EF.

4.（23-24七年级下•陕西宝鸡•期天）如图，已知｛8||£T,乙力BE=56。，"CO=152。，EC平分匕BEF.

⑴求”"的度数；

（2）48与CD平行吗？请说明理由.

【答案】⑴4CE尸=28°

⑵平行，理由见详解

【分析】本题考杳了平行线的性质与判定，角平分线的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）先根据平行线的性质得NFEB=24BE=56。，结合EC平分ME凡得出NCW=28。，即可作答.

（2）根据同旁内角互补得出CDIIEF,结合A8IIEF,则48IICD,即可作答.

【详解】（1）解：V/1BHFF,Z.ABE=56°

：.LFEB=Z.ABE=56°

TEC平分4BEF.

:.乙CEF=-Z.FEB=-x56°=28°

22

（2）解：48与平行，理由如下：

*：LECD=152°,ZCEF=28°

：.LECD4-乙CEF=152°+28°=180°

：.CD\\EF

*：AB\\EF

：.AB\\CD

5.（23-24七年级下•陕西期中）如图，点。在直线4B上，F是DE上一点，连接0万,OC平分乙4OF,。。平

分乙BOF交DE于点、D.

ED

cw

AOB

⑴试说明OC10D-,

⑵若乙。与乙1互余，试说明EDIIAB.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点.

（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；

（2）利用90。结合已知求得W="OB,根据“内错角相等，两直线平行〃即可证明结论.

【详解】（1）解：因为0C平分乙AOF,0。平分N80F

所以4COF=：乙40F，乙DOF=：乙BOF.

因为匕40尸+48。尸=180°,

所以4COD=Z.COF+乙DOF=^（Z-AOF+乙BOF）=90°,

所以。。10D；

（2）解：由（1）知NCO。=90°,

所以41+ZDOB=90°

因为乙。与乙1互余，

所以40+41=90°,

所以乙O=乙DOB,

所以E。||AB.

6.（23・24七年级下•安徽宿州•期末）如图，在△482中,AB=ACt点。，F分别在边8C,AC的延长线上,

作射线CE,使CD平分匕ECF.试说明：ABWCE.

【答案】见详解

【分析】该题主要考查了平行线的判定，解题的关键是证明==

根据角平分线得出乙DCF=NDCE,再根据等边对等角得出乙B=NAC8,vEtlUB=£DCF=^DCE,即可证

明；

【详解】证明：:CO平分NEC",

•••乙DCF=乙DCE,

•:AB=AC,

.\zF=Z.ACB,

,:乙DCF=Z-ACB,

/B=乙DCF=乙DCE,

：.AB\\CE.

7.（23-24七年级下•辽宁葫芦岛•期末）如图，点D在直线CN上MD18D,BC平分乙4BD交于E/2+2zl=

⑴求证：AB||CD.

(2)若0M平分乙/1。6,乙BCD：42=7:4,求NMON的度数.

【答案】⑴见解析

(2)LMDN=105°

【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟

练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

(1)首先根据题意可得乙48。=2Z.1,LADB=90°,进而可知42+匕ABD=90°,可证明4-乙ABD=

180°,即可证明结论；

(2)根据平分线的定义可得48DM=45。，设/BCD=7%42=4%,则21=45。-2%,再求出Z8DN,可

得关于x的一元一次方程，解得x的值，进而求解即可.

【详解】(1)证明：•••8C平分4BD,

Z.ABD=2Z.1,

vZ2+2匕1=90°

•••Z24-LABD=90°

vAD1BD

:/.ADB=90°

:.Z2+Z.ADB+Z.ABD=180°,即NCOS+/-ABD=180°,

:.AB||CD；

(2)解：:DM平分4ADB,LADB=90°,

乙EDM=乙BDM=45°

v乙BCD:z2=7:4,

设乙BCD=7x,z2=4x,

Vz2+2z.l=90°,

Z.BDN=乙BCD+zl=4x+45°-2x=45°+2x,

4%+90°4-45°+2x=180°,

解得：无=7.5。

Z.MDN=45°+2%+45°=105，

8.（23-24七年级下•福建泉州•期末）如图，在中，AA=AB=2^.ACB,CD是△的外角，CE平

分/4CD.

（1）求乙4的度数;

（2）/18与EC平行吗？请说明理由.

【答案】⑴72。

⑵平行，理由见解析

【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，平行线的判定：

（1）根据N4=NB=2N4CB,结合三角形的内角和定理，进行求解即可；

（2）根据三角形外角的性质，角平分线的性质，推出，A=乙4CE即可得证.

【详解】（1）解：:上力==1Z.ACB,Z-A+Z,B+Z,ACB=180°,

：.S/.ACB=180°,

：.LACB=36°,

：.LA=72°；

（2）平行，理由如下：

•••/4CD是AABC的夕卜角，CE平分匕ACD

/.Z.ACD=Z.A+Z.B=2/.A,Z.ACD=2/.ACE,

44=Z.ACE,

：.AB||EC.

9.（23-24七年级下•福建厦门•期天）如图,已知/DE8=100。,984c=80。.判断2F与AC的位置关系,

并证明.

DA

【答案】DFWAC,证明见解析

【分析】本题考查平行线的判定，先求出乙。区4,根据内错角相等、两直线平行，可证IMC.

【详解】解：0FII/1C,证明如下：

•••乙DEB=100°,

:.LDEA=180°-乙DEB=180°-100°=80°,

vABAC=80°,

•••LDEA=Z-BAC,

•••DFWAC.

10.（23-24七年级下•福建福州•期末）如图,己知EM平分乙4",FN平分乙EFD,zl=Z2,试说明:ABHCD.

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行是解题关键.由角平

分线的性质，得到N/EF=2，1,乙EFD=2公,进而得出匕/EF=NEFO,即可证明平行.

【详解】证明：•••EM平分心AEF,尸N平分

•••Z.AEF=2zl,乙EFD=2z2,

zl=z.2,

:.Z.AEF=Z.EFD,

•••ABWCD.

11.（23-24七年级下•福建厦门•期末）如图，点4B,C在同一条直线上，41=12,Z.A=乙E,求证:AD||BE.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行线的判定与性质.熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

由乙1=乙2,可证OE||AC,贝ij4E8C=NE=4A,进而可得A。II8E.

【详解】证明：・.21=42,

：.DE||AC,

:.乙EBC=Z-E,

工乙EBC=4力

：.AD||BE.

12.（16-17七年级下•广东梅州•阶段练习）已知：如图，ZC=Z1,42和乙。互余，BE1FD于点G,求证:

AB\CD.（推理过程请注明理由）

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的定义.首先由8笈_1尸〃，得乙1和乙。互余，再由已知，〃=Z1,

乙2和乙。互余，所以得4C=i2,从而证得

【详解】证明：vBE上FD（已知），

工乙EGD=90。（垂直的定义垂

•••£1+Z.D=90°,

又・・・42与4。互余（已知），

.\z24-zD=90°

Q（同角的余角相等），

vZ1=ZC（已知），

:.z2=zC（等量代换），

，ABWCD（内错角相等，两直线平行）.

13.（23-24七年级下•陕西西安・期木）如图，在四边形/BCD中，点E在CO的延长线上，点F在。。的延长线

上，连接力广、8E相交于点O,LADE+/-BCF=180°,BE平分/ABC,乙ABC=2乙E.

（1）试说明4JII8C；

（2）/18与EF的位置关系如何？为什么？

【答案】（1）见解析

（2）ABIIEF,理由见解析

【分析】本题主要考杳了平行线的判定，角平分线的定义：

（1）根据平角的定义和已知条件证明乙4DF=乙BCF,即可证明40||8C；

（2）由角平分线的定义和已知条件证明41BE=ZE,即可证明AB||EF.

【详解】（1）证明：'：/-ADE+LBCF=180°,LADE+LADF=180°,

：.AADF=乙BCF,

：.ADIIBC；

（2）解：AB||EF,理由如下:

二•BE平分4/IBC,

：,z.ABC=2/.ABE,

\^ABC=2^E,

Z.ABE=乙E,

：.AB||EF.

PI.（23-24七年级下•福建福州•期末）如图，04_L0C,OB1OD,若〃）BE-"OD,求证：BE\\OA.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角和等，两直线平行，内错角相等，两直线平

行，同旁内角互补，两直线平行.

根据垂直的定义，得出NCO。+Z.BOC=Z.AOB+Z.BOC=90°,进而得出乙OBE=ZLAOB,即可求证BE||。力.

【详解】证明：・・・。41OC,OBLOD,

:“COD+LBOC=Z.AOB+乙BOC=90°,

：.z.COD=Z.AOB,

:“BE=MOD,

:.乙OBE=LAOB,

：.BE\\OA,

15.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，己知4。18C于点。，点E在力B上，EF工BC于点F,Zl=Z2,

试说明。EMC.

【答案】见解析.

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先由同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行证明

ADWEF,根据性质得41=乙4DE,再用乙1=乙2代换，最后用内错角相等得出结论，掌握平行线的判定与

性质是解题的关键.

【详解】*：AD1BC,EF1BC,

:•上EFB=/-ADB=90°.

.\ADWEF,

Azi=Z-ADE,

Vzl=Z2,

/.2.2=乙ADE，

：.DE\\AC.

16.(23-24七年级下•全国•期末)直线A8IICD,P为直线至上方一点，连接PAPD.

图2

⑴如图1,若乙I=100。，ZD=130°,求乙4Po的度数；

(2)如图1,设zP/18=a,乙CDP=B，求乙4PD的度数(用含以6的式子表示)；

(3)如图2,N为424B内部一点，LBAN=3^PAN,连接CN,若乙DCN=3乙PCN,求以上的值.

乙ANL

【答案】(1)50。

(2)LAPD=«+/?-180°

⑶；

【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用.

(1)过点P向右PEII48,则力BIIPEIICD,得出44PE=80。，进而求出结论；

(2)过点P向右PEIIA8,则ABIIPEIICD,得出〃PE=180,一%进而求出结论；

(3)过点P向左作PFII4B,过N向左作NM||AB,则PF||MN||AB||CD,设ZP4N=X,乙PCN=y,则

Z.BAN=3x,Z.PAB=4x,乙DCN=3y,4PCO=4y,得出乙4PC=4%一4y,Z.ANC=3x-3y,进而求出

结论.

【详解】（1）解：过点P向右PEII48,

图1

*：AB||CD,

：.AB||PE||CD,

：.LDPE=功=130°,Z-APE+Z71=180°,

,:LK=100°,

J./-APE=80°,

：.AAPD=Z.DPE-Z-APE=130c-80°=50°；

(2)过点P向右PEIIAB,

图1

*：ABIICD,

・・"BIIPEIICD,

：.^APE+^A=180°,4DPE=3=B，

Vz/1=a,

C.LAPE=180°-a,

：,^APD=乙DPE-乙APE=P-(180°-a)=a+0—180°；

(3)过点P向左作PFIIAB,过N向左作NMIIAB,

图2

9：ABIICD,

：.PF||MN||AB||CD,

与(2)同理，^^APC=AB-^PCDf

乙ANC=乙BAN-乙DCN.

依题意，设乙PAN=x,Z-PCN=y，

则Z84N=3x,Z-PAB=4x,乙DCN=3y,乙PCD=4y.

：.LAPC=4X-4y,Z.ANC=3x-3y,

.24PC_4x-4y_4

**LANC-3x-3y-3，

17.（22-23七年级下•北京西城•期中）如图是•种躺椅及其结构示意图，扶手4B与底座CD都平行于地面EF,

前支架0E与后支架。F分别与。。交于点G和点D,AB与DM交于点N,乙AOE=々BNM.

M

（D请对。臼IDM说明理由；

⑵若0E平分乙4。尸，ZODC=30°,求扶手"与靠背OM的夹角N/1NM的度数.

【答案】⑴见解析；

（2）105°

【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出乙4OE=48NM,根据“同位角相等，两直线平行”即可得解;

（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；

本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质

是解题的关键.

【详解】（1）解：理由如下：ZBNM=々AND,乙AOE=LBNM,

：.LAOE=Z-AND,

：.OEWMx

（2）解：•・•/!£与底座CO都平行于地面EF,

：.AB\\CDf

:•乙BOD=乙ODC=30。，

*：AAOF+ABOD=180°,

：./-AOF=150%

YOE平分NAO兄

工乙EOF=+AAOF=75°,

2

：,LBOE=乙BOD+乙EOF=105°,

•lOEIIDM,

・•・，力NM=乙BOE=105°.

18.（23-24七年级下•全国•单元测试）已知直线4BIICD,点E在48、CD之间，点P、Q分别在直线血8上,

图1图2图3

⑴如图1,试探究乙PEQ.与乙/1PE+匕CQE之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,PF平分N8PE,QF平分匕EQD,当心PEQ=130。时，求出4PFQ的度数；

(3)如图3,若点E在CZ)的下方，P/平分乙8PE,QH平分乙EQD,QH的反向延长线交PF于点入当乙PEQ=80°

时，请求出乙PFQ的度数.

【答案】(1)4PEQ=44PE+NCQE,理由见解析

(2)LPFQ=115°

⑶zPFQ=140°

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学

会探究规律，利用规律解决问题.

(1)如图1,过点£作艰据平行线的性质得到乙4PE="EH,乙CQE=&EH,等量代换即可得

到结论；

(2)如图2,过点E作EMII48,根据平行线的性质得到NBPE+NEQD=360°-(乙4PE+乙CQE)=230°,

根据角平分线的定义得至IJ8PF=^BPE,乙DQF=：乙EQD,得到NBPF+乙DQF=/lBPE+乙EQD)=

115°,作NFIL48,于是得到结论；

(3)如图3,过点E作EMIICO,设乙QEM二a,根据平行线的性质得到乙。QE=180。-a,根据角平分线

的定义得到NOQ"="DQE=90。乙BPE=180°-乙PEM=180。-(60°+a)=120°-a,根据角

平分线的定义得到乙BPF='BPE=60。-),作NFMB,于是得到结论.

【详解】(1)解：/-PEQ=Z/1PE+ZCQE,

理由如下：

如图1，过点£作

图IAZ.APE=Z.PEH,

•••EHWAB,ABWCD,

・••EHRCD,

:•乙CQE=Z.QEH,

•:乙PEQ=CPEH+乙QEH,

:.乙PEQ=Z-APE+乙CQE；

(2)解：如图2,过点E作EMIIA8,

图2

同理(1)可得，^PEQ=Z-APE-Z.CQE=130°,

vZ.BPE=180°-/.APE,Z.EQD=180°-"QE,

:.乙BPE+乙EQD=360°-(Z.APE+乙CQE)=230°,

PF'F分NBPE,QF平分(EQD,

:•乙BPF=kBPE,乙DQF=三乙EQD,

Z.BPF+Z.DQF=+乙EQD)=115%

WNFWAB,同理(1)可得，Z.PFQ=Z.BPF4-Z.DQF=115°；

图3

设/QEM=a,

:.Z.DQE=180°-a,

QH平分zDQE,

AZ.DQH=：乙DQE=90。-3%

•••乙FQD=180°-乙DQH=90°+1a,

vEMWCD,ABWCD,

AB\\EM,

•••zBPE=180°-乙PEM=180°-(80°+a)=100°-a,

vPF平分

22

作NMIAB,同理可得，Z-PFQ=Z.BPF+/-DQF=(90°4-1a)+(50-1a)=140°.

19.(23-24七年级下•重庆南岸•期末)已知：AB||CD.

图1图2图3

⑴如图1,点方在力氏CO之间，请说明乙4+乙。二乙邑

⑵如