辽宁省辽南协作校2025-2026学年高三年级上册期末考试数学试卷+答案

2025-2026学年度上学期期末考试高三试题

数学

考试时间：120分钟

满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.一策虚部为（）

A」iB.-i

22

C.-D.-

22

2.设全集U=R,A={x|x<3,xGN+},B={x||x|42},则()

A.AnB={1,2}B.AnC(jB={2,3}

C.AUB=BD.BcA

3.数据30,31,32,33,35,35,37,38,38,a的中位数是35,则a的取值范围为（）

A.a>35B.a>36

C.a>35D.35<a<38

4.卜正-：）6的展开式的常数项为（）

A.2430B.4860C.4680D.2340

5.已知等差数列｛aQ的前8项和为60,1-a3=8,则a7=()

A.8B.9C.10D.U

6.已知圆C:x24-y2=8,直线l:y=x+b.若圆C上恰有3个点到直线1的距离等于加，则b的值为()

A.±1B.0

C.±2D.±V2

7.己知角a,R满足sina=cos(a+B)sinR,tanp=则tan(a+习=()

8.正方体ABCD-AiBiJDi的棱长为2,E为楂Cg的中点，点B］、C、E在球心为。的球面上,

且该球面与棱Big交于点F（异于Bi、Ci两点），则AOEF的面积为（）

A.-B.V6

2

cfD.V5

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在AABC中，点D在边BC所在的直线上，且BD=4DC,若Ab=m&+nR,则mn的值可能

为()

4n4

A.---B.一

2525

_44

C.--D.-

99

10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆9+9=1的一个焦点重合，过F的直线交C于A,

B西点，交C的准线于点P。若|AF|=3,则下列说法中正确的有()

A.弛物线C的方程为：y2=4x

B.|AB|=4

C.|PB|=|AB|

D.AAOB的面积为平

11.已知数列｛a"的通项公式为an=2n+l,nWN+，在其相邻两项ak，ak+i之间插入2k个(—l)k.

2(kGN+)得到新数列｛、｝，汜｛、｝的前n项和为Sn，则下列说法中正确的有()

A.b2o=2

B.S4o—S30=41

Cai。位于数列｛、｝中的第1032项

D.S2026=3360

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.|2x|-|l-2x|N：的解集为o

13.某书店计划进行促销活动，需从5本小说和4本传记中随机抽取3本书作为展示。在“抽取的3本书中

至少有一本是小说”的前提下，“抽取的3本书全是小说”的概率是。

14.已知定义在(0,+8)上的函数f(x),满足f(x)一尸(x)>ex—e,且/(l)=e+2,则不等式

e/(lnx)-e2lnx>2x的解集为。

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知£=2cosB+1.

a

(1)证明：B=2A；

⑵求肃黑的取值范胤

16.目前，AI赋能英文识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型

和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动

人机交互下从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互

共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有

80篇合格，占甲同学生成文章总数的乙同学生成的文章有一半合格.

（I）请根据以上数据填写下面的2x2列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、

乙（不同的）同学给出的指令有关?

生成的文章合格生成的文章不合格总计

甲同学80

乙同学

总计200

⑵经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率%则在此条件下从该智能体生

成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数X的分布列，并算出期望.

2

2n(ad-bc),其中n=a+b+c+d(X2结果精确到0.001).

Pft：x(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(X2>k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=eg=V3,zACB=4ACg=120°；D为棱

A$i的中点，E是棱AB上一点，且ATE=：2ATB,DE1BC。

（2）求点B到平面JCE的距离:

(3)求二面角A1一AC-D的正弦值。

18.已知函数f(x)=axlnx,g(x)=ex2—ex。

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)令F(x)=f(x)+g(x),当av-2e时，证明函数F(x)有唯一的极大值点x。，并证明一1V

Xoe

19.已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，它的虚轴长为2迎，离心率为直线1与双曲

线上交于A,B两点，与渐近线交于M,N两点(点A,M在第一象限，点B,N在第二象限)。

(I)求双曲线C的方程;

(2)若点M的横坐标为2,在线段AB上取一点Q,且满足|MA|・|QB|=|AQ|・|MB|,判断点Q是

否总在某条定直线上，若定直线存在，求出直线方程，若不存在，说明理由；

(3)已知双曲线上点P(匹，煮，，ai=E，anG(0,^),nGN+,在点P处作双曲线的切线交C

的渐近线于E,G两点，且|OE|2+|OG|2=3(bn+i-bn),数列｛cc^an｝的前n项和为Sn，求证：

<sn<ln[n+l]o

2025-2026学年度上学期期末考试高三试题

数学参考答案

—.I.C2.A3.C4.B5.D6.C7.A8.A

二9BCI0.ACD11.ACD

三.12.《，+8)13*14.(1,e]

14.解析：令g(x)=竿曰(X>0)

[/'(X)—e]•ex—ex[/(x)—ex]/'(x)-/(x)+ex-e<0

g'(x)=

e2x

・・・g(x)在(0,+8)上单调递减,

/(l)-ex12

g(l)=

e

2

/(Inx)—elnx~x

/(Inx)—elnx2e+2—e/(I)—ex1

M-e-ee

Ag(lnx)>g(l),又因为g(x)在(0,+8)上单调递减，,・.OvInxW1,1<x<e,

・••不等式的解集为

四.15.解：(1)在AABC中，由正弦定理可得：—=2cosB+1

sinA

sinC=2sinAcosB+sinA............................................................................................................................1分

又因为C=n-(A+B),AsinC=sin(A+B)

Asin(A4-B)=2sinAcosB4-sinA,化简整理得:

sinBcosA—sinAcosB=sinA

sin(B-A)=sinA...................................................................................................................................3分

•・・AABC为锐角三角形,A,BW(0,以

/TI

B-AGB-A=A

；.B=2A...............................................................................................................................................5分

(2)在锐角三角形AABC中，由(1)B=2A,/.C=n-3A

由｛0<A<7120V2A<兀20<兀一3A<兀2可得：A£兀6,兀4....................................................................7分

sin2Asin2Asin2A

4sinA-sinC4sinA-sin3A4sinA-sinAcos2A-cosAsin2A

sinAsinAsinA1

4-cos2A-2cos2A4—4cos2A4-14sin2A4-1_.,1

4AsinAA+sTnA

1

=-------r(t=sinA)

4t+1

..........................................................................................................................................................10分

<•*AG&：)*,•te=4t+；在(3，仔)上单调递增,•••y=4t+；€(4,3夜)

..........................................................................................................................................................12分

1ZV21\

・•・sin2A4sinA-sinC的取值范围为26,14..........................................................................................13分

16..W：(1)

生成文章合珞生成文章不合格总计

甲同学8040120

乙同学404080

总计12080200

............................................................................................................................................................2分

x2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(80x40-40x40)2120x80x120x80-5.556.........................5分

TQ3.841,

所以有95%的把握认为生成文章是否合格与甲、乙(不同的)同学给出的指令有关......6分

(2)合格的篇数X的所有可能取值为0,1,2,3

由题意，X〜B3,34.............................................................................................................................................................8分

„/1\31

P(X=0)=C0-=-

3129

-

p((X4-4-

64

27

=6-4

327

p3c3-

(X36-4-

故X的分布列为

X0l23

192727

p

64646464

...................................................................................................................................................................................................13分

期望E(X)=np=3=£................15分

17.

x<J

证明：(1)取BC的中点F,连CE、EF、DF

在AABC中，AC=BC=V3,ZACB=120°,zCBA=30°

由余弦定理得：

AB2=AC2+BC2-2AC-BCcoszACB=(V3)2+(V3)2-2xgxgx(-g)=9

/.AB=3

T2

又AE=-AB,BE=1

3

/o

CE2=BE2+BC2-2BE-BC-coszCBE=l2+(V3)2-2x1xV3x^-=1

・,.CE=BE,EFJ.BC。

又•：DE1BC,DE,EFu平面DEF,DEClEF=E,

・•.BC，平面DEF...............................3分

・♦・BC1DF

取A]C]中点G,连接CG、DG,D为AiBi中点

・,.DG\equalparallel|B1C1,

又

CF'equalparallel|B1C1

.♦・DG\equalparallelCF,四边形CFDG为平行四边形

DF||CG,ACG1BC

又因为在四边形AA£iC中，匕AiAC=60。，AA】=AC

ACG1AC,

又ACnBC=C,AC、BCu平面ABC,CGu平面AAigC

CG_L平面ABC

・•・平面ACCiAi1平面ABC。..............6分

(2)因为AC=V3,AE=2,CE=1,所以AC1CE

如图，以C为原点，CA,CE,&的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向。

建立空间直角坐标系，因为CA=CB=CCi=V3,ZACB=乙AC(\=120°

所以C(0,0,0),Ciy，0,|),E(0,l,0),B(一今|,0)

&1=(一今0,|),CE=(04,0),CB=(-y,pO)

设平面MCE的法向量箱=(x,y,z)

有「言+分=

*m.CC1=m.CE=0,0,4/

y=oy=°

令z=3,则m—=(3,0,3)..................................................................................................................................................8分

点B到平面C1CE的距离d=|CB1一|=-33232+0+(3)2=34,.......................................................10分

(3)由(2)中的空间直角坐标系可知，A(V3,0,0),C(0,0,0),D(—f],|)

&=(低0,0),cb=(一号(,|)

设平面ADC得法向量为A=(x,y,z),

一T—1

由•CA=r)i•CD=0,

有{3x=0-34x+34y+32z=0,{x=0y=-2z令z=l,则nl—=(0,-2/)，.........................................12分

取平面AiAC的法向量E=(0,1,0)

cos〈nl—n2—>>=n1—>-n2—>|n1—*||n2—*|=-25x1=-255..........................................................14分

设二面角A1-AC-D的平面角为锐角。，贝iJsiiW=Jl-COS2〈A，E)=y

・•・二面角Al-AC-D的正弦值为55。........................................................15分

18.解：(1)f(x)=a(lnx+l),(x>0)...........................................................................................1分

当lnx+l>0时，x>-；当lnx+l<0时，0<x<-

eeo

当aVO时，xW(O*)时，/'(x)>0,・・・/(x)在(0*)上单调递增；

X€(3，+8)时，/'(x)V0,f(x)在(£+8)上单调递减。

当a=0时，/'(X)=0,/(x)无单调性

当a>0时，xW(O,3时，/(x)V0,.・・/(x)在(0,J上单调递减；

x6(：,+8)时，/'(x)>0,.,.f(x)在@,+8)上单调递增。….….6分

(2)F(x)=f(x)+g(x)=axlnx+ex2-ex,(x>0)...............................................................................7分

F'(x)=alnx+2ex4-a-e

令(P(x)=F，(x),(pz(x)=：+2e=2e：+a=。时,x=—^>1

当xG(0,一时，d(x)<0,F'(x)单调递减;

当*€(一看+8)时，0'(x)>O,F'(x)单调递增..........8分

F'(W)=aln(-£)-e<0.

F\i)=2-e<0,F<3=j-e-a>^-e-(-2e)=:+e>0,

又。打(0,一5)，二友0£&)使"XO)=O,且X。是F〈xo)在(0,一分上唯一一个零点

且x€(,Xo)时，Fz(x)>0；KW(XO,3时，F\x)<0......11分

F(x)在(2，xo)上单调递增；在@0，一搂)上单调递减，

・・・X。是F(x)在(0,-5)上唯一的吸大值点•

又因为在(一5,+8)上，F'(x)单调递增，

F(x)在此区间上无极大值点，故av-2e时，F(x)存在唯一的极大值点x0...........13分

3x06(―,-),F'(xo)=0.即alnx。+a+2ex0—e=0,有alnx。=e—a—2ex0

F(x0)=axolnxo+ex^—ex0=x0(e—a—2ex0)+ex,—ex0=—ax0—exg.

(+a=-3—ex。+a=­ex。，..............16分

x0

V^<xo<-,-1<-ex0<故一l<2+aV-2........17分

2uu

eeex0e

19.解:(1)设双曲线C的方程为:\latex^-^=l(a>0,b>0),

c=V3a2—1

2h=2V2,:.b=V2,ve=、号,c.=V3a,{b—2，3{,2二

c2=a2+b20=2

所以双曲线方程为C:y2-?=1；............2分

（2）设A（x~yi）,B（x2,y2）,Q（x,y）,因为点M在第一象限内，所以M（2,遮）

由题意可得黑=黑=入，因为|MB|>|QB|,因此人>1,所以赢=痴，靛=入诵,

|AQ||QB|

2+A_x

t-xi=-r

rhMA=AAQ,得(xi—2,%—&)=入(x—x「y—y)蟀得{_舄2

一1+A

所以A（智，胃，，同理点B（'衿，亨F）............4分

\1+A1+A/11-A1—A/

将A,B两点代入双曲线方程为C:y2—9=1中，

2+AX\2

-=]

2tX2，整理得：入X-V5入y+入=0,因为入>1,

1

2

所以x-V2y+1=0,即点Q总在定直线x-V2y+1=0±；..........6分

（3）因为念）在双曲线方程为C:y2—9=1上，

所以一^一学=1,」一=已

2

cosan2cosan2

所以、=2（能—l）=2taMan，

双曲线上支方程为：丫=月,<=晟万，

二过P（匹，六）作双曲线切线，斜率为需5

故切线方程为：y-六二焉心匹）............9分

与渐近线方程y=,x联立，解得E（匹+匹不4日（匹+西彳9

同理.可求G-Jbn+2,y(Jbn+2-

(Jbn+Jbn+2)+(Jbn-Jbn+2