2026年人教版中考数学一轮复习 第三章 函数 第3节 反比例函数 学案（含答案）

第3节反比例函数

回归教材•过基础

【知识体系】

求表达式意义求表达式几何意义

【考点清单】

知识点1反比例函数的概念

形如y=；（k为常数,k¥0）的函数叫作反比例函数，其中x是白变量,y

定义

是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数

l口㈤y粗标准形式y=,其他表达形式：y=kx」或xy=k（k为常数,kM）

反比例函数X

结构特征H0,以分式的形式出现,分母中X的指数为1

函数关系判定两个变量是否成反比例函数关系,需看它们能否写成反比例函

判断数的表达式,或者两个变量的积是不是一个固定且不为0的常数

知识点2反比例函数的图象与性质

反比例函数

y二

k的符号

图象

图象的两个分支分别位于第

图象的两个分支分别位于第一、三象限,

性质②_____象限，在各个分支

在各个分支上,y随X的增大而久

上,y随x的增大而⑤______

是中心对称图形——关于④_____成中心对称

对称性

是轴对称图形——既关于直线y=x对称,也关于直线⑤______对称

比较反比例函数值的大小时，首先要判断自变量的取值是否同号，即看它们

易错警示是否在同一个象限内，若不在，则不能运用性质进行比较.此时可以通过画

草图直观地判断

技巧提醒

1.反比例函数的图象是由两条曲线组成的，且关于原点成中心对称；

2.连线时，注意要用平滑的曲线连接各点;3.随着风的增尢双曲线逐渐向坐标轴能近，但永远不

与坐标轴相交，因为在反比例函数y=：中,X#）且后0.

知识点3反比例函数中“k”的几何意义

知识点4利用函数图象确定不等式ax+b>l或ax+b»的解集的方法（三线四区法）

XX

在I、IH部分，反比例函数图象位于一次

函数图象的上方，则不等式ax+b<：的解

集为XVXb或0<X<Xa

在II、IV部分，反比例函数图象位于一次

如图,过交点A（Xa,yJB（Xby»分别作x轴的垂线,它们连函数图象的下方，则不等式ax+b*的解

同y轴把平面分为四部分，相应标为I、II、III、IV

集为包______

【基础演练】

1.(原创)已知反比例函数y=1.

(1)在平面直角坐标系中画出y=：的图象.

y

(2)该反比例函数的图象在第象限，且在每个象限内,y随x的增大而.

(3)当y>l时,x的取值范围为;当x>2时,y的取值范围为.

(4)若(-3,a),(l,b),(2,c)是该反比例函数图象上的点，则a,b,c的大小关系是(用连接).

(5)在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=2x的图象与反比例函数y=j的图象交于点A.B.

点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为.

2.如图，在菱形ABCD中,NABC=120。,顶点A,C在双曲线y4(K>0)上，顶点B,D在双曲

线y((k2VO)上，且BD经过点。.若L+k2=8,则菱形ABCD面积的最小值是.

真题精粹•重变式

考向反比例函数的概念、图象与性质及的几何意义年考

1k6♦•3•♦

1.(2024•福建)如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数丫=：的图象与0O交于A,B两点，且点A,B

都在第一象限.若点A(l,2),则点B的坐标为.

2.(2022•福建)已知反比例函数y=：的图象分别位于第二、四象限,则实数k的值可以是:需写

出一个符合条件的实数).

3.(2021•福建)若反比例函数y=：的图象过点(1,1),则k的值等于.

热点训练

4.已知反比例函数y=：(kM),且在各自象限内,y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象

上的是()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(3,0)D.(-3,0)

5.如图，在平面直角坐标系中有P,Q,M,N四个点，其中恰有三点在反比例函数y=：(k>0)的图象L.

根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是()

y

p

Olx

A.PB.QC.MD.N

核心方法

反比例函数图象的3个重要特点

1.反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支,它们关于原点成中心对称.

2.反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不

能与坐标轴相交，在画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势.

3.反比例函数图象的位置和函数的增减性，是由k的符号决定的;反比例函数的图象位置和函

数的增减性可以判断k的符号.

考向2反比例函数与一次函数

热点训练

6.如图，直线y=x+m与双曲线相交于A,B两点,BC〃x轴,AC〃y轴，则△ABC面积的最小值

为.

7.（2023•福建）如图,正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=；和y=：的图象的四个分支上，则实

数n的值为（）

A.-3B--C.-D.3

33

8.（2020•福建）设A.B.C.D是反比例函数y=；图象上的任意四点，现有以下结论：

①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可•能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形.

其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）.

9（2019.福建）如图，菱形ARCD的顶点A在反比例函数丫=3＞0）的图象上，函数丫=软＞3,乂＞0）的图

象关于直线AC对称,且经过B,D两点，若AB=2,/DAB=3O，，则k的值为.

热点训练

10.（拓展）如图，矩形ABCDH勺四个顶点均在反比例函数y=：的图象上，且点A的横坐标是2.则矩形

ABCD的面积为.

11.如图,△OAB为等边三角形，点B在x轴的正半轴上,SAOAB=4V1若反比例函数y=«k翔）图象的

一支经过点A,则k的值是（）

R

A.芋B.2\/3

C.—D.4V3

4

考向4反比例函数的实际应用

热点训练

12.已知电灯电路两端的电压U为220V,通过灯泡的电流强度1（单位:A）的最大限度不得超过0.11

A.设选用灯泡的电阻为R（段位:Q）,下列说法正确的是（）

A.R至少2000QB.R至多2000C

C.R至少24.2CD.R至多24.2C

13.密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V（单位:m，）变化时，气体的密度p（单

位:kg/n?）随之变化.已知密度p与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5N

时,p=1.98kg/m\

7^/(kg/m3)

6

5

4

3

2

1

(1)求密度p关于体枳V的函数解析式.

(2)若3WVW9,求二氧化碳密度p的变化范围.

核心突破•拓思维

考点1反比例函数与特殊四边形

例如图,在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C,F均在x轴正半轴上,

点D在边BC上,BC=2CD,AB=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表

达式是.

核心方法

对于反比例函数与特殊四边形知识综合考查的问题，解决的重点应在图形和图象都具有的对

称性这一性质，通过解决特殊四边形的点、线段、面积等问题,转化为反比例函数图象上的点的坐

标或反比例函数面积的相关问题，从而解决问题.

1

如图，菱形ABCD的两个顶点A,C在反比例函数的图象上,对角线AC,BD的交点恰

好是坐标原点0,已知B(-1,l),/ABC=120。,则k的值是)

A.5B.4C.3D.2

变式z如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=g(x<0)的图象匕顶点B.C在第一象限，对角

线AC〃x轴，且交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6,cosNOACq,则k=

考点2求反比例函数的比例系数k

例2如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(l,m),C(3,m+6),反比例函数y=%x>0)

的图象同时经过点B与点D,则k的值为

变式如图，一次函数y=1x-l的图象与反比例函数y=：(k/),x>0)的图象相交于点A(m,2),与y轴

交于点B.

(1)求反比例函数的表达式.

(2)点D在一次函数y^x-l的图象上，且横坐标为4,过点D作y轴的平行线,交反比例函数的图象

于点E,连接13场求4BDE的面机

参考答案

回归教材•过基础

考点清单

①减小②二、四③增大④原点⑤丫二水©Iki

⑦|k|⑧21kl⑨XbVxvO或x>x”

基础演练

1.(1)

(2)一、三减小(3)0<x<20<y<l(4)a<c<b

(5)(-1,-2)

2.I6V3

真题精粹♦重变式

解析:根据圆和反比例函数都是轴对称图形，点A与点B关于直线y=x对称.

设直线AB的解析式为y=-x+b,

将点A(l,2)的坐标代入得2=-l+b,解得b=3,

••・直线AB的解析式为y=-x+3.

•・,点A(l,2)在反比例函数图象匕

・••反比例函数的解析式为产：

联立方程组［y-x*

(y=-x+3,

解或：网或

・•・点B(2,l).

故答案为(2,1).

2.-23.14.B5.C6.6

7.A解析:如图，连接正方形的对角线.由正方形的性质知对角线交于原点0,过点A,B分别作

x轴的垂线.垂足分别为C,D,点B在函数上.

•四边形是正方形,

•AO=BO,ZAOB=NBD0=ZAC0=9()°,

・ZCAO=90°-ZAOC=ZBOD,

.△AOC^AOBD(AAS),

•SAAOC=SAOBD=；=?，

•点A在笫二象限,

,.n=-3.

故选A.

8.①④9.6+2V3lO.yH.D12.A

13.解析:(1)设密度p关于体积V的函数解析式为pq(k/)).

•・•当V=5n?时,p=1.98kg/1m3,

/.1.98=^,/.k=9.9,

，密度p关于体积V的函数解析式为