河南平顶山市郏县2025-2026学年上学期期末学情检测八年级数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年上学期期末学情检测

八年级数学

注意事项：

L本试卷共4页，三个大题，满分125分，其中试题120分，卷面5分，考试时间100分钟.

2.本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案

无效.

3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置.

一、选择题（本大题共10小题，共30分.）

1.8的立方根是（）

A.2B.±2c.2V2D.±2x/2

2.在平面直角坐标系中，点（1,一2）在（）

A笫象限B.笫二象限C.第三象限D.第四象限

3.下列方程组是二元一次方程组的是（）

x+y=5

x+y=6y=3c.h1cxy=x-1

A.B.D.八

y+z=7[2x-y=6-+-=3x-y=0

xy

4.如图，下列判断正确的是（）

B.若N1=N2.则AB/7CD

C.若NA=N3,则ADZ/BCD.若NA+NADC=180。，则AD〃BC

5.小红在班上做节水意识调查，收集了班上6名同学家里上个月的用水量（单位：m",数据如下：5,

5,6,7,8,9.该组数据的四分位数分别是（）

A.5,6.5,8B.6,7,8C.5,6,9D,5,7,8

6.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分

别是1,2,3,4,5,选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积霞冰

的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）

A.I,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4

7.已知一次函数y=ai+〃和必=加+〃（aw㈤，函数力和％的图象可能是

8.下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③后的算术平方根是。；

④16的平方根是±4,用式子表示是加=±4;⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这

个数是0,其中正确的有（）

A.0个B.I个C.2个D.3个

9.小明、小宇从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小明步行一段时间后，小宇骑自行车沿相同路线行进,

两人均匀速前进.他们的路程差s（m）与小明出发时间f（min）之间的函数关系如图所示.有下列说法：①

小宇先到达青少年宫；②小字的速度是小明速度的3倍；③。=20；④〃=600.其中正确的是（）

C.①③④

10.在平面直角坐标系中，已知点A（o,2）,点8在第一象限内，AO=AB,ZCMB=9O°,将VAO8先

关干丁轴对称得到△4。4，将片关于*轴对称得到"。打，将A?。层关于y轴对■称得到将

△4。员关于X轴对称得到△408”，……，则按照这样的顺序继续对称下去，第2026次对称后，点与026

的坐标为（）

A（一2,2）C.(-2,-2)D.(2,-2)

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11.写出一个比3大且比4小的无理数:

12.把命题“全等三角形的对应隹相等”改写成“如果……那么……”的形式:

13.学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游

知识.并将成绩依次按4：3：3计分.两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是

普通话体育知识旅游知识

王静809070

李玉908070

14.如图，函数），=履一1图象过点（1,2）,则关于x的方程"一1=2的解

15.某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件:

（1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数；

（2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数；

（3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数.

若去过普陀山的人数为4,则去过峨眉山的人数的最大值为.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

16.计算：

⑴誓-

3（x-l）=y+5

5（y-l）=3（x+5）

17.随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表:

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

540680640640780111010705460

（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是元，中位数是元，众数是元.

（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：

①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么：.（填“合适”或“不合适”）

②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额.

18.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，平面直角坐标系上，点4的坐标为

（W）.

（1）请直接写出点A、。两点的坐标A，C；

（2）依次连接A,B,C,A，得到VA8C,请直接写出V4/C的形状是________三角形;

（3）若点C与点。关于直线A5对称，则点。的坐标为

（4）点厂在＞轴匕若△/!打'与△ABD的面积相等，则点F的坐标为.

19.在平面直角坐标系中，已知点P（2"?—4,3〃z+l）.

（1）当点P在x轴上时，求出点P的坐标;

（2）当直线P4平行于x轴，且A（—2,l）,求出点P的坐标;

（3）若点。到工轴和），轴距离相等，求〃?的值.

20.如图，在一条笔直火车轨道同侧有两城镇48,城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇8到

轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米.现要在线段上修建一个货运中转站。，使

得中转站P到城镇AB的距离相等，此时中转站夕应修建在离点M多远处？

火车轨道MPN

21.一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车

的情况如下表：

第一次第二次

年种货车的辆数25

乙种货车的辆数36

累计运货的吨数3170

（1）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费50元计算,

货由应付运费多少元？

（2）能否租用这两种货车•次恰好运走125吨货物（不超载也不少运）？若能，请说也有哪几种装运方

案？若不能，请说明理由.

22.阅读材料并解答下列问题：

在小学，我们知道像12，27,45,108,……这样的自然数能被3整除.一

般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就

能被3整除.你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若•个两位数的十

位、个位上的数字分别为。，b,则通常记这个两位数为7,于是7

=10。+〃=9。+（。+〃）.显然9。能被3整除，因此，如果。+〃可以被3整

除，那么9。+（。+。）就能被3整除，即瓦能被3整除.

（1）用数学的思维思考:

设正是一个三位数，且。+人+。可以被3整除，则

abc=100a+1OZ?+c=A+(a+〃+c)=38+(a+〃+c),

由于38和a+/?+c都可以被3整除，因此，诙就能被3整除.上面的验证过程中,

多项式A=，多项式B=.

（2）已知一个三位数的十位上的数字比百位上的数字的2倍大3,个位上的数字是百位上数字的3倍，这

个数能被3整除吗？请说明理由.

（3）用数学的语言表达：设丽是一个四位数，若4+〃+。+〃可以被9整除，则这个数可以被9整

除.请加以说明.

3

23.如图，在平面直角坐标系中，直线=与x轴、V轴分别交于点A、4,点C在x轴正半

4

轴上，若△C46将沿直线6c折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点。处.

（1）如图1,求点4、3两点的坐标：

（2）如图2,求直线CO的表达式；

（3）连接40,在第一象限内是否存在点使△。钻为等腰直角三角形，若存在，直接写出点〃的坐

标；若不存在，请说明理由.

2025-2026学年上学期期末学情检测

八年级数学

注意事项：

L本试卷共4页，三个大题，满分125分，其中试题120分，卷面5分，考试时间100分钟.

2.本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案

无效.

3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置.

一、选择题（本大题共10小题，共30分.）

1.8的立方根是（）

A.2B.±2C.272D.±2也

【答案】A

【解析】

【分析】根据立方根的定义解答即可.

本题考查了立方根，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得8的立方根是2.

故选：A.

2.在平面直角坐标系中，点（1,一2）在（）

A.第一象限B.笫二象限C.第二象限D.第四象限

【答案】D

【解

【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,根据第四象限的坐标特征进行判断即可，熟练掌握四

个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+），第二象限（一，+），第三象限（一，一），第四象限（+，-），是解

此题的关键.

【详解】解：点（1，-2）的横坐标为正，纵坐标为负，则此点在第四象限,

故选：D.

3.下列方程组是二元一次方程组的是（）

x+y=5

x+y=6x+y=3xy=x-\

A.<c.hi“D.

y+z=72x-y=6一十-二3x-y=0

口J

【答案】B

【解析】

【分析】根据二元一次方程组的定义进行判断即可.

【详解】解：A、有三个未知数，不是二元一次方程组，故A错误；

B、有两个未知数，且次数为一次，故B正确；

11

C、含有未知数项一和一的次数不是1,因此不是二元一次方程组，故C错误；

xy

D、含有未知数项的次数为2,因此不是二元一次方程组，故D错误.

故选:B.

本题考查二元一次方程组的判断，解题的关键是熟记二元一次方程组的定义，如果方程组中含有两个未知

数，且含未知数项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组.

4.如图，下列判断正确的是（）

A.若NI=N2,则AD〃BCB.若N1=N2.则AB〃CD

C.若/A=N3,则AD〃BCD.若NA+NADO180。，则AD〃BC

【答案】B

【解析】

【详解】分析：根据平行线的判定方法，逐项分析判断即可.

详解:A、VZ1=Z2,：.AB//CDt故此选项正确;

B.VZ1=Z2,:,AB"DC,故此选项错误;

C、若NA=N3,无法判断AQ〃8C,故此选项错误；

D、若NA+NADO180。,则故此选项错误；

故选A.

点睛：本题考查了平行线判定方法：□两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平

行.简单说成：同位角相等，两直线平行；C两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直

线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行；匚两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两

条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

5.小红在班上做节水意识调查，收集了班上6名同学家里上个月的用水量（单位：„?），数据如下：5,

5,6,7,8,9.该组数据的四分位数分别是（）

A.5,6.5,8B.6,7,8C.5,6,9D.5,7,8

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查四分位数的计算，需先将数据排序，再根据四分位数的位置确定对应数值即可.

【详解】解：数据已从小到大排序为：5,5,6,7,8,9,共6个数据

中位数为：号=6.5；

下四分位数为：5,5,6中的中位数，即5；

上四分位数为：7,8,9中的中位数，即8,

，该组数据的四分位数分别是5,6.5,8,

故选：A.

6.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分

别是1,2,3,4,5,选取其中三块C可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积单户

的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）

A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理，/+〃二。2,则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判

断，即可得到面积最大的三角形.

【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c,

由勾股定理,得句+从=。2,

A、・・•1+4=5,则两直角边分别为：1和2,则面积为：^-xlx2=l：

2

B、・・・213=5,则两直角边分别为；O和5则面积为；-xV2x>/3=—;

22

C、・・・3+4W5,则不符合题意；

D、•・•2+2=4,则两直角边分别为：血和夜，则面积为：-xV2xV2=l；

..761

・——>I,

2

故选：B.

本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理,

以及正方形的性质进行解题.

7.已知一次函数y=ar+〃和力=加+〃(。工与，函数力和％的图象可能是

【答案】A

【解析】

【分析】根据一次函数图形的性质，结合题意凹=a丫+力和为=以+〃(。。勿，即可得到答案.

【详解】①当凹、为的图象都经过一、二、三象限

②当。<(),/?<(),凹、为的图象都经过二、三、四象限

③当。>(),"<(),%的图象都经过一、三、四象限，内的图象都经过一、二、四象限

④当3的图象都经过一、二、四象限，内的图象都经过一、三、四象限

满足题意的只有A.

故选A.

本题考查•次函数图像，解题的关键是熟练掌握•次函数图像的性质.

8.下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③/的算术平方根是。；

④16的平方根是±4,用式子表示是加=±4;⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这

个数是0,其中正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了有理数、无理数、绝对值、平方根，熟练掌握它们的定义等知识，是解答此题的关

键.根据实数与数轴，无理数，绝对值，平方根，相反数等知识逐项判断即可.

【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故①不正确；

②无理数是无限不循环小数，故②错误；

③若4<0,那么/的算术平方根为一故③错误；

④16的平方根是±4,用式子表示是±J记=±4,故④错误；

⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0,故⑤正确；

综上分析可知，正确的有⑤共1个.

故选：B.

9.小明、小宇从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小明步行一段时间后，小宇骑自行车沿相同路线行进,

两人均匀速前进.他们的路程差s（m）与小明出发时间/（min）之间的函数关系如图所示.有下列说法：①

小宇先到达青少年宫；②小宇的速度是小明速度的3倍；③。=20；④匕=600.其中正确的是（）

C.①③④

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查函数图象的应用，解题的关键是理解题意；根据小明步行80（）米，需要8分钟，进而

得出小明的运动速度，利用图形得出小宇的运动时间以及运动距离进而分别判断得出答案.

【详解】解：由图象得出小明步行800米，需要8分钟，所以小明运动速度为：800+8=100（米/

分），

当第12分钟时，小宇运动12-8=4（分钟），运动距离为：12x100=1200（米），

•••小宇的运动速度为：1200+4=300（米/分），

・•・300+100=3,故②小宇的速度是小明速度的3倍，正确；

当第15分钟以后两人之间距离越来越近，说明小宇已经到达终点，故①小宇先到达青少年宫正确；

此时小宇运动15-8=7（分钟），

运动总距离为7x300=21（X）（m）,

.••小明运动时间为：2100・100=21（分钟），故。的值为21,故③错误；

••♦小明15分钟运动距离为:15x100=1500（m）,

.•./?=2100-1500=600,故④正确.

故正确的有：①②④.

故选：B.

10.在平面直角坐标系中，已知点A（0,2）,点8在第一象限内，AO=AB,ZOAB=90°,将VAOB先

关于轴对称得到AV训，将AAOBi关于X轴对称得到△4。&，将A2OI32关于y轴对称得到△4。与，将

△4。鸟关于x轴对称得到△440生，……，则按照这样的顺序继续对称下去，第2026次对称后，点与026

C.(-2,-2)D.(2,-2)

1C

【解析】

【分析】本题主要考杳关于X轴、）'轴对称的点的坐标，先求出点6的坐标，再求出片（-2,2）,

坊（一2,-2）,4（2,-2）,优（2,2）,纭（一2,2）,L,进而得出答案，找到规律是解题的关键.

【详解】解：•••点A（0,2）,点B在第一象限内，AO=AB,NQ4B=90。，

・••点8的坐标为（2,2）,

・・•将△AO4关于X轴对称得到△&O层，将的。层关于y轴对称得到△A0网，将△4。纭关于X轴对称

得到△4。&,

ABi(-2,2),B2(-2,-2),员(2,-2),纭(2,2),&(一2,2),L,

V20264-4-506-..2,

，0026的坐标与B2的坐标一样，

:.B?026的坐标为(—2,—2),

故选：C.

二、填空题(本大题共5小题，共15分)

11.写出一个比3大且比4小的无理数：.

【答案】答案不是唯一，V15

【解析】

【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16,从中确定一个整数，用算术平方根

的形式表示出来即可.

【详解】设无理数的被开方数为K，

•・•无理数比3大且比4小，

A9<x<16,

・•・其中的一个无理数为后，

故答案为：V15.

本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键.

12.把命题“全等三角形的对应隹相等”改写成“如果•……那么•…一”的形式：.

【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等.

【解析】

【分析】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么

的后面是结论.

根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解•.

【详解】解：•••原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等，

・•・命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那

么它们的对应角相等.

故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等.

13.学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游

知识.并将成绩依次按4：3：3计分.两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是—.

普通话体育知识旅游知识

王静809070

李玉908070

【答案】李玉

【解析】

【分析】根据加权平均数:若〃个数XI，X2，X3，…，口的权分别是卬1,W'2,W3，…，M"，则

司“十工2卬2+.一+%卬〃

叫做这〃个数的加权平均数进行计算即可.

小+吗+…+Wn

80x4+90x3+70x3

【详解】解：王静得分:二80（分）

4+3+3

90x4+80x3+70x3

李玉得分:=81（分）

4+3+3

分>80分,

・•・最终胜出的同学是李玉.

故答案为：李玉.

此题考查了加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法.

14.如图，函数），二"—1的图象过点（1,2）,则关于x的方程依—1=2的解

【答案】x=\

【解析】

【分析】由函数）'=4一1的图象过点（1,2）可知x=|时，依-1=2,即可得到关于x的方程&-1=2的

解是x=l.

【详解】解：由图象可得：关于K的方程依一1=2的解是x=l；

故答案为：x=l.

本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键.

15.某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件：

（1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数；

（2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数；

（3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数.

若去过普陀山的人数为4,则去过峨眉山的人数的最大值为.

【答案】6

【解析】

【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题

的关键.设去过峨眉山的人数为人根据给定的三个条件，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可

得出工的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论.

【详解】解：设去过峨眉山的人数为x人，去过五台山的人数为y人，

y>x

由题意得：｛x>4,

8>y

♦.,x,y为整数，

由可得yNx+1,

结合8>y,可得8>x+l,

即xv7,

又，;x>4,

.,-4<x<7,

又女为正整数，

.•优的最大值为6,

.•.去过峨眉山的人数的最大值为6.

故答案为：6.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

16.计算：

3（x-l）=y+5

5（y-l）=3（x+5）,

【答案】（1）1⑵4+V6

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算

法则以及解二元一次方程组的方法.

（1）先计算二次根式的加法，然后计算除法，最后进行减法计算；

（2）先计算二次根式的乘除，再计算加减；

（3）先整理方程组，再由加减消元法求解.

【小问|详解】

=4—遥+26

=4+6

【小问3详解】

3（x-l）=y+5

5（y-l）=3（x+5）

3x-y=S®

该方程组可化为:

3/-5y=-20②

由①一②得，4y=28,解得），二7；

将y=7代入①得，3工一7=8,解得x=5,

（

・••原方程组的解为《x=—5.

3=7

17.随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表:

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

540680640640780111010705460

（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是元，中位数是元，众数是元.

（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：

①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么：.（填“合适”或“不合适”）

②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额.

【答案】（1）780,680,640；（2）①不合适；②当月的营业额为23400元.

【解析】

【分析】（1）根据平均数的定义、中位数的定义、众数的定义正行解答即可；

（2）①从极端值对平均数的影响作出判断即可；

②可用该店本周一到周口的口均营业额估计当月营业额.

【详解】解：（1）这组数据的平均数=半=780（元）；

按照从小到大排列为540、640、640、680、780、1070、1110,

中位数为680元，众数为640元；

故答案为780,680,640；

（2）①因为在周一至周日的营业额中周六、Id的营业额明显高于其他五天的营业额，

所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，

故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适；

故答案为不合适；

②用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，

当月的营业额为30x780=23400（元）.

考杳了众数、平均数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与样本估计总体思想

的运用.

18.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，平面直角坐标系上，点8的坐标为

(1,1).

(1)请直接写出点A、C两点的坐标A,C；

(2)依次连接A,B,C,A，得到VA8C,请直接写出的形状是________三角形；

(3)若点C与点。关于直线A3对称，则点。的坐标为

(4)点尸在)，轴上，若ZXAB厂与△A3。的面积相等，则点尸的坐标为.

【答案】⑴(T1),(-3,3)

(2)直角，图见解析(3)(-3,-1)

(4)(0「1)或(0,3)

【解析】

【分析】(1)根据所给的直角坐标系求解即可；

(2)根据勾股定理得出AC?=5，8c2=20，AB2=25»推出4c之十台。？二,即可求解；

(3)在图中作出点C关于直线48的对■称点。，即可求解；

(4)根据△■与△A8O的面积相等，得点。、尸到A3的距离相等，则—=1一(一1).即可求解:

【小问1详解】

解：根据所给的直角坐标系可知，A(-M),。(一3,3),

故答案为：(<1),(-3,3)；

【小问2详解】

依次连接A，B，C,A,如图所示：

由勾股定理得：4c2=『+22=5,BC2=22+4220,

XvAB2=52=25，

••AC2+BC2=AB2，

・•.VA3C是直角三角形，

故答案为：直角；

【小问3详解】

如图，点。的坐标为（一3,—1）,

故答案为：（一3,-1）；

［小问4详解】

X

•・•△/斯与△ABD的面积相等,

•••点。、-到A3的距离相等,

-1|=1-（-1）,

解得：,'尸=-1或丁尸=3,

又•.•点尸在》轴上，

•••点尸的坐标为（0,—1）或（0,3）,

故答案为：（0,-1）或（0,3）.

本题考查了直角坐标系，勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，二角形的面积，解题的关键是数形结合.

19.在平面直角坐标系中，已知点P（2〃L4,3〃Z+1）.

（1）当点尸在入轴上时，求出点P的坐标；

（2）当直线Q4平行于x轴，且A（—2,l）,求出点尸的坐标；

（3）若点尸到x轴和y轴距离相等,求〃？值.

（141

【答案】（1）［一

（2）（-4,1）

3

（3）"?=-5或机=一

5

【解析】

【分析】本题考查坐标平面内图形性质与点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键.

（1）点P在X轴上时，点P的纵坐标为零，据此列方程即可求解；

<2）直线Q4平行于人轴，即尸点纵坐标等丁A点纵生标，据此列方程求解即可：

（3）点尸到x轴，），轴距离相等，即P点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，据此列方程求解即可.

【小问1详解】

解：•・•点P（2机一4,3m+1）在x轴上，

.**3/71+1=0>

1

tn=——,

・•・点夕的坐标为,0〉

【小问2详解】

解：•••直线上4平行于x轴，且月（一2,1）,

***3m+1=1,

解得〃2=0,

此时2m-4=2x0-4=T,

・••点P的坐标为（T」）；

【小问3详解】

解：点P到X轴，)，轴距离相等，

/.|2m-4|=|3/??+1|,

2m-4=3m+1或2/n-4=-3m-1,

3

解得："7=-5或加=—.

5

20.如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇AB,城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇8到

轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米.现要在线段MV上修建一个货运中转站。，使

得中转站P到城镇AB的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？

火车轨道MPN

73

【答案】中转站"应修建在离点"相距不千米处

【解析】

【分析】本题考查勾股定理的应用，设千米，则7W=(12-x)千米，根据勾股定理列方程求解即

可

【详解】解：设尸河=x千米，则7W=(12-力千米，

因为=

所以AM2+PM1=PA2=PB2=PN2+BN2，

r73

所以52+f=(i2—x)'+l()2,解得x=

o

73

所以中转站尸应修建在离点M相电—千米处.

O

21.一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，己知过去两次租用这两种货车

的情况如F表:

第一次第二次

用种货车的辆数25

乙种货车的辆数36

累计运货的吨数3170

（1）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费50元计算，

货主应付运费多少元？

（2）能否租用这两种货车一次恰好运走125吨货物（不超载也不少运）？若能，请说出有哪几种装运方

案？若不能，请说明理由.

【答案】（1）2450

（2）能租用这两种货车一次恰好运走125吨货物，一共有3种装运方案：租用甲种货车5辆，乙种货车17

辆或租用甲种货车10辆，乙种货车9辆或租用甲种货车15辆，乙种货车1辆.

【解析】

【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用；

（1）设甲种货车每辆运货x吨，乙种货车每辆运货）'吨，根据表格列出二元一次方程组，解方程组即可求

解；

（2）设租用甲种货车加辆，乙种货车〃辆恰好运走125吨货物，可得8/〃+5〃=125,求出方程的正整数解

即可.

【小问1详解】

解：设甲种货车每辆运货x吨，乙种货车每辆运货吨，

2r+3y=31

根据表格可得：

5八+6y=70

x=8

解得

y=5

甲种货车每辆运货8吨，乙种货车每辆运货5吨，

•・•现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物,

「•这货物有3X8+5X5=49（吨），

•••49x50=2450（元）,

•••货主应付运费2450元；

【小问2详解】

能租用这两种货车一次恰好运走125吨货物，理由如下：

设租用甲种货车用辆,乙种货车"辆恰好运走设5吨货物,

「.8〃7+5〃=125,

/.n-25——m，

5

当初=5时,n-Yl；

当加=10时,〃=9；

当〃2=15时，n=\；

•共有3种装运方案：租用甲种货车5辆，乙种货车17辆或租用甲种货车10辆，乙种货车9辆或租用

甲种货车15辆，乙种货车1辆.

22.阅读材料并解答下列问题：

在小学，我们知道像12,27,45,108,……这样的自然数能被3整除.一

般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就

能被3整除.你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两位数的十

位、个位上的数字分别为〃，b,则通常记这个两位数为不，于是不

=10。+/?=9。+（。+〃）.显然9〃能被3整除，因此，如果。+〃可以被3整

除，那么9。+（。+人）就能被3整除，即方能被3整除.

（1）用数学的思维思考：

设嬴是一个三位数，且a+〃+c可以被3整除，则

abc=100a+\0b+c=A+（a+b+c）=3B+（a+b+c）

由于38和a+〃+c•都可以被3整除，因此，丘就能被3整除.上面的验证过程中，

多项式，多项式5二.

（2）已知•个三位数的十位上的数字比百位上的数字的2倍大3,个位上的数字是百位上数字的3倍，这

个数能被3整除吗？请说明理由.

（3）用数学的语言表达：设丽是一个四位数，若a+6+c+d可以被9整除，则这个数可以被9整

除.请加以说明.

【答案】（1）99a+9b,33。+幼

（2）能，见解析（3）见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识是解题的关键.

(1)根据题意可得出三位数为百位数字X100+H立数字xlO十个位数字，进而得解，仿照题干材料分解整

式即可；

(2)将三位数表示出来，再分成3x一个整式即可得证；

(3)仿照题干材料，先表示山四位数，然后分成9的倍数即可.

【小问1详解】

解：嬴=1004+10〃+c

=99〃+9b+(a+b+c)

=3(33a+3〃)+(a+Z?+c)

A=99〃+948=33a+幼，

故答案为：99a+9。，33a+3b.

【小问2详解】

这个三位数能被3整除，理由如下：

设百位数字为〃?，则十位数字为2m+3,个位数字为3小，

・•・三位数为100m+10(2m+3)+3帆=123m+30,

•・•123m+30=3(41，〃+10),

・••这个三位数能被3整除.

【小问3详解】

•・•茹=1000。+1008+10。+d

=999a+99Z?+9c'+(a+〃+c+d)

=9(11lo+lg+c)+(〃+/?+c+d),

•・・9(llla+l仍+c)能被9