期末专练：解答题（40题）解析版-2025-2026学年九年级数学上学期（人教版）

期末解答题新题速递(40题)

一.解答题

1.定义：如果关于1的一元二次方程苏+版+《=0满足。-“。=(),那么称这个方程为“联合方程”.

(I)判断一元二次方程2，+9.什7=0是否为“联合方程”，说明理由；

(2)己知3X2-〃次+〃=0是关于x的“联合方程”，若-2是此“联合方程”的一个根，求〃?和〃的值.

【答案】(1)该方程是“联合方程”，理由：

在一元二次方程2J2+9X+7=0中，a=2,6=9,c=7,

Va-6+c=2-9+7=0,

・•・一元二次方程2&9工+7=0是“联合方程”；

(2)m的值为-9,n的值为6.

【解答】解•：(1)该方程是“联合方程”，理由如下：

在一元二次方程中，a=2,b=9,c=7,

*'a-b+c=2-9+7=0,

・•・一元二次方程2x2+9x+7=0是“联合方程”；

(2)由条件可知3-(-〃?)-〃=0,

•・•-2是此“联合方程”的一个根，

A3X(-2)2-〃？x(-2)+,，?=(),

ai|(3+m+n=0=-9

Ntl2+2m+n=0'解得3=61

m的值为-9,n的值为6.

2.已知关于x的一元二次方程af+bx+cuO,如果a,b,c•满足3a-2什c=0,我们就称这个一元二次方程

为美妙方程.

(I)判断方程Zd-x-8=0是否为美妙方程，并说明理由.

(2)已知关于x的美妙方程ax2+2x+c=0的一个根是・1,求这个美妙方程.

【答案】(1)是美妙方程，理由见解析过程；

(2)这个美妙方程为/+2什1=().

【解答】解♦：(1)是美妙方方程.

,**—2»b=~1,c=-8,

・・・3a-2b+c=6-(-2)+(-8)=0.

故此方程为美妙方程.

I

(2)将x=-1代入原方程得，a-2+c=0①，

・・•此方程为美妙方方程，

・・・34-4+e=0②，

由①②得｛：：；，

・••这个美妙方程为一+2什1=0.

3.“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考直阅读理解能力、应

变能力和创新能力.定义：方程。/+加+〃=0是一元二次方程如2+8+。=0的倒方程，其白〃，从。为

常数(且a,c#0).根据此定义解决下列问题：

(1)一元二次方程-4『+3X+1=0的倒方程是*+3x-4=0；

(2)若x=-1是一元二次方程『-2r+c=()的倒方程的解，求出c的值；

(3)若/〃是一元二次方程-6pKvH=0的倒方程的一个实数根，则n^+m2-6〃?+2025的值为2025.

【答案】(1)x2+3x-4=0：

(2)c=-3；

(3)2025.

【解答】解：(1)方程-4x2+3x+l=0的倒方程是：1+3x・4=0；

故答案为：F+3X-4=0；

(2)由条件可倒方程为cr2-=0,

把x=-1代入方程，

得。+2+1=0,

••c=-3；

(3)由题意得：方程-6f+田1=0的倒方程为/+'・6=0,

Vw是方程F+x-6=0的一个实数根，

nr+m-6=0,

.*.w3+w2-6zn+2025=w(-6)+2025=2025.

故答案为：2025.

4.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+P-1=0.

(1)求证：无论％取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)设该方程的两个根为X],如且满足(Xi-1)(x2-1)=8,求〃的值.

2

【答案】（1）证明：；△=（-2k）2-4XlX（〃2-i）

=4必-4/+4

=4>0,

・•・无论A取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）-2或4.

【解答】（1）证明：:（・2%）2-4X1X（『-1）

=43-4F+4

=4>0,

・••无论左取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：・・・修，X2是关于x的一元二次方程--26+3-1=0的两个实数根,

.\x\+x2=2k,x\X2=k2-1,

V（rj-1）CX2-1）=肛肛-（肛+丫2）+1=区・

：.k2-1-2H1=8,

解得：k\=-2,心=4，

的值为-2或4.

5.阅读材料：从教材第24页例题1,我们知道：对于一个分式，当分子的值是。口分母的值不为0时，分

式的值为0.对于非零实数。，b,若关于X的分式的值为零,那么（X-4）（x-h）=0,

X

又因力(x-a)(x-b)=N-(a+b)v+abx2(a+/?)xabab

从而求得它的解得xI=4，X2~b.——----------+—=x+—

XXXXXX

一（0+匕），所以关于x的分式方程。一=0就变成了分式方程“+生=a+b,它的解为xi=a,

XX

X2=b.

12

（1）理解应用：方程％+—=7的解为：xi=3,二=4；

X

2

（2）知识迁移：若关于x的方程％+[=5的解为修=〃，x2=b,求^+乂的值；

2m不一"1

（3）拓展提升：若关于x的方程%+^=血+4的解为入“，冷，x\>X2）求一二一的值・

X—Z人2

【答案】（1）x\=3,》2=4或填（勺=4,32=3）:

(2)21；

3

1

（）

3乙

12

【解答】解：（1）•・“+—=7,

X

3x4

:.X+------=3+4,

x

・；打=3,.丫2=4；或填（修=4,冷=3；）

故答案为：3,4；

2

（2）若关于x的方程4+妻=5的解为式i=m*2=6，

由题意知：ab=2,a+b=5,

：.a2+h2=（a+b）2-2fl/;=52-2X2=21；

2m

（3）Vx+--=m+4,

x-2

2m

x—2+—-=m+2,

x—2

又X\>X2f

Axi-2="?,X2~2=2,

；・町=〃?+2,》2=4,

x\-mm+2—m1

•-------------——

••X2-4-2,

6.关于x的一元二次方程1=（）,当加=1时，该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金

分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计：我国著名数学家华罗庚的

优选法中也应用到了黄金分割数.

（i）求黄金分割数；

b

（2）已知实数〃，力满足『+〃以=],启-2〃力=4,且/>W-2a,请证明：m一万是一元二次方程『+/小

-1=（）的两个根；

（3）已知两个不相等的实数p,q满足p2+〃p-1=g,q2+nc/-1=p,求pg-〃的值.

【答案】（1）三正：

（2）详见解析；

(3)pq-n=0.

【解答】（1）解：由题意，将〃?=1代入『+心-1=0,得/+x-l=0,

-1±J124X(-1)-1±西

,\x

22

4

・・•黄金分割数大于0，

・•・黄金分割数为二号反；

(2)证明：•:b?-2mb=4,

:.P-2mb-4=0.

2h

・・・(h一芸=0.

又bW-2a,a2+ma-1=0,

一2是一元二次方程.H+kx-1=0的两个根；

(3)解：由题意，令p2+叩-l=q①,q2+〃q-i=p②，

・,•①+②得(p2+q2)+n(p+q)-2=p+q,

(p+9)2-2pq+n(p+g)-2=p+q.

①-Q)得(〃2■〃2)+〃(p-q)=-(p-q).

由条件可知夕-gWO.

(p+q)+〃=-1,

.\p+g=-n-],

又(〃+g)2_2pq+n(p+q)-2=p+q,

/.〃2+2〃+1-2Pq-n2-n-2=-n-1,

pq=n,

:.pq-〃=0.

7.某著名旅游景区在2023年春节长假期间，共接待游客70万人次，2025年春节长假期间，接待游客84.7

万人次.(1)求该景区以2023-2025年春节长假期间接待游客人次的平均增长率：

(2)该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季、若每杯定价25

元，则平均每天可俏售300杯.若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.现在店家决定进行降

价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶变现平均每天6300

元的利润？

【答案】(1)平均增长率为10%;

(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可实现平均每天6300元的利润.

【解答】解：(1)设年平均增氏率为X，

根据题意列一元二次方程得：7()(1+x)2=84.7,

整埋得，70%2+|40「14.7=0,

5

解得：勺=0.1=10%,.0=-2.1（不符合题意，舍去），

・••年平均增长率为10%；

（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，

由题意列一元二次方程得:（7-6）[300+30（25-y）]=6300,

整理得：产-41尸*420=0,

解得：刈=20,m=21,

•・•让顾客获得最大优惠，

Ay=20,

・•・当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.

8.推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴，某合作社着力发展乡村水果网络

销售，据统计某电商平台1（）月份的水果销您量50000袍，12月份的水果销售量是72000超.

（I）若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同.求月平均增长率是多少？

（2）某水果店以6元/他的单价进了一批水果，若售价为10元/奴，每天能销售200相.为了尽快减少库

存，决定降价销售，市场调查发现，售价每降价01元，每天可多售出20伙，水果的售价为多少元时，

每天可获利润为1200元.

【答案】（1）月平均增长率是20%；

（2）水果的位价为8元时，每天可获利润为1200元.

【解答】解：（1）设月平均增长率是r

由题意得:50000（1+x）2=72000,

解得：Xi=-2.2（不合题意，舍去），x2=0.2=20%,

答：月平均增长率是20%；

（2）设水果的售价为〃，元，

10—771

由题意得：（W-6）（200+7萩-X20）=1200,

整理得：/77^+72=0,

解得：〃“=8,小2=9（不符合题意，舍去），

答：水果的色价为8元时，每天可获利润为1200元.

9.随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆.某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊

位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示.已知在矩形/8CQ中，AD=60m,45=30〃?，阴影

部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为1000〃?2.

6

(1)人行过道的宽是多少米？

(2)该夜市有60个摊位对外出租，每个摊位的月租金为3000元时，摊位刚好全部租完.夜市升级改造

后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨10()元，就会少租出1个摊位.在尽可

能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为192500元？

【答案】(1)人行过道的宽是5米：

(2)每个摊位的月租金为35(X)元.

【解答】解：(1)设人行过道的宽是夕〃，

，阴影部分可合成长为(60-2x)米,宽为(30-2x)米的长方形，

:.(60-2x)(30-2x)=1000,

•»X|=5»X2~4().

又••FO-ZtX),

Ax<15,

；.x=5.x=40不符合题意，舍去.

答：人行过道的宽是5米；

(2)由题意得，每个摊位的月租金每上涨10()元，就会少租出I个摊位，

设每个摊位的月租金上涨100。元，

100a

,该夜市可以租出60—下行一〃，

设月租金记为(3000+100a)元，则总月租金为(3000+100a)(60-a),

由题意可得一元二次方程(3000+100。)(60-a)=192500,

，。=5或4=25：

•・•尽可能让利于摊主，

・•・应取较小的4=5,此时3000+10()X5=3500(元).

・•・每个摊位的月租金为3500元.

10.已知二次函数y=a/+bx+6(aWO)与工轴交于4、8两点(点力在点8的左侧)，点4、点8的横坐

标是一元二次方程『-4%-12=0的两个根.

7

（1）求点4、点B的坐标；

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.

【答案】（1）力（-2,0）,B（6,0）；

1.

（2）y=--x2+2x+6,直线x=2,（2,8）.

【解答】解：（1）VX2-4X-12=0,

•'•X]—-2,》2=6，

•・•点力在点8的左侧，

：.A（-2,0）,（6,0）.

1

2

（2）由条件可知：覆；4kfl。，解得:「了，

I。一L

y=——x2+2x+6,

乙

*/y=—^x2+2x+6=—2）2+8,

乙乙

・•・抛物线对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,8）.

II.已知抛物线y=（x+l）2-4与x轴正半轴交于点，，顶点为从

（1）求直线力8的表达式：

（2）过点。（Z,0）作x轴的垂线，交抛物线于点交直线力4于点M当MN的长为3时，直接写

出/的值.

【答案】（l）y=2・2；

（2）/的值为2或-2.

【解答】解：（1）由解析式可知抛物线顶点坐标为（-1,-4）,

・••点8坐标为（-1,-4）,

当y=0时，（.x+1）2-4=0,

解得x\—1,X2—_3»

•・•抛物线与x轴正半轴交于点.4,

，点/为（1,0）,

设直线AB为y=kx+b,

将点4和点8代入得，｛-注忆消解得｛,二马

・•・直线AB的表达式为y=2x-2；

8

（2）由条件可知点."为（/,（/+1）2-4）,

•・•过点尸（/,0）作x轴的垂线，交直线48于点N,

・••点N为（/,2/-2）,

：.MN为|（什1）2-4-（2L2）|=俨+2什1-4-2t+2\=\t2-1|,

的长为3,

・•・『・1|=3,

・・・於-1=±3,

・,.当/2-1=3时，3=4,

解得t=2或z=-2,

当3-1=-3时，户=-2（无实数解）.

・1的值为2或-2.

12.已知抛物线），=〃好■〃丫经过点（6.0）.

（I）求该抛物线的对称轴；

（2）点力（xpy\）和4（X2»、2）分别在抛物线卜=。『-6.x和y=/-x上（J,4与原点都不重合）.

①若Q=%,且xi=X2，比较＞'i与yz的大小；

6y2X2X2

②当弁=/时，若7；是一个与町无关的定值，求。与b的值.

y1人1人1

【答案】（1）x=3；

（2）①为＞力；②。=1，b=6.

【解答】解：（1）由条件可得，364-66=0,

即b=6a,

•_—_b__..6..a.._Q

_2a_2a

故所求抛物线的对称轴是直线x=3.

＜2）①由条件可知人一1,

・•・抛物线的解析式为y=32T.

乂,•'X]=X2，

115

-71=（遥-%2）-（^1-%1）=（/-不）~（胃后~不）=%好.

•抛物线y=一%过原点，且点彳与原点不重合，

O

/•X]H0,

9

5

2

->

-6X1O,

故及＞乃;

（2）*.*A（xi,y\）在丁="2-及（4wo）上,

.yi=axy—6a%1，

•B（X2，及）在尸/r上,

-72=x^-x2,

6y2x

•---------2-

yi~xV

6（超一”2）x2

不打*0,x*0）,

axi—6ax\2

63一.2）%2

*a（X]—6xi）-41'

・6修（花一%2）=a%2（*-6xi）,

W是一个与xi无关的定值，

八1

•设"二k（左为定值，20）,

41

•X2=kx\9

将X2=kx\代入上式得:6%i[（k%i）2—kxi]=akx^xl一6打）,

整理得6k2%；—6/cxf=akxl—6akx；,

由于上式对任意修于0都成立，所以对应项系数相等,

p-1

得

则有｛一器二标解1

h--

6

••b—6Q=6.

13.已知一次函数y=x-5的图象与x轴，y轴分别交于点4,B.将点4向左平移4个单位，得到点/T,

且点恰好在二次函数歹=公2+队-3（外6是常数，。工0）图象的对称轴上.

（1）用含。的代数式表示江

（2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标.

（3）若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求”的取值范围.

【答案】（1）8=-2a；

（2）二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为（2,-3）；

11

（3）。的取值范围是aVO或OVaV、或Q二弓.

10

【解答】解：（1）令），=0,则x=5,

：.A（5,0）,

将点力向左平移4个单位，得到点,（1,0）,

•・•点力’恰好在二次函数歹=四2+--3（〃、6是常数，。£0）图象的对称轴上.

b

/.——=1,即6=-2。；

2a

（2）方法一：

•・♦二次函数必过定点（0,-3）,

乂•・•二次函数的对称轴是直线x=l,

,二次函数也过定点（2,-3）,

当x=2时，一次函数的函数值恰好也是-3,

・•・二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为（2,-3）；

方法二：

由｛仁艺得一+（-2〃-1）x+2=0,化简得（a1）6-2）=。

1

解得=丁必=2

・•・二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为（2,・3）；

（3）①当。＜0时，

•・,二次函数与轴交于点（0,-3）,一次函数与y轴交于点（0,-5）,

乂•・•两函数必定交于一个定点为（2,-3）,

・•・由图象可得，。＜0时，均符合题意；

②当。＞0时，

由图象可得，当x=5时，yVO,或者二次函数与线段48只有一个交点（2,-3）时，符合题意.

1

当x=5时，y=25a-10O-3V0,解得aVg,

当二次函数与线段力8只有一个交点（2,・3）时，

由猿=x-5-3得加+（・2〃-1）x+2=0,由A=0,解得Q=

…11

综上所述，。的取值范围是“V0或0＜。＜三或a二弓.

14.在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+3户■加经过点/（1,0）与点、B（2,〃）.

（1）求〃7,〃的值.

（2）若点C（。，・2）,。⑺，-2）为该二次函数图象上的两个不同点（具中a,b为常数，a＜b）,

II

求△8C。的面积.

【答案】（1）m=-2,/7=0；

（2）3.

【解答】解：（1）将点/坐标代入》=-，+3/小得，

-1+3+/«=0»

解得m=-2,

所以二次函数解析式为^=-『+3x-2.

将点8坐标代入y=-/+3x-2得，

-4+6-2=n,

解得〃=0,

所以〃?=-2,〃=0；

（2）将歹=-2代入y=・*2+"-2得.

・，+3x-2=-2,

解得x=0或3,

所以a=0,b=3,

则点。坐标为（0,・2）,点。坐标为（3,-2）.

又因为点4坐标为（2,0）,

所以△4CO的面积为：1x（3-0）X2=3.

15.已知二次函数y=/+4x-5的图象经过点8（2,7）.

（1）若将点8（2,7）向上平移9个单位长度得到与，作点82，使办、私关于抛物线的对称轴对称,

再将当向左平移〃？（机>0）个单位长度后，恰好落在），=/-叙・5的图象上，求〃?的值.

（2）当后xW2时，二次函数y=『+4x・5的最大值与最小值的和为-2,求〃的取值范直

【答案】（1）〃?的值为1.

（2）n的取值范围为--2.

【解答】解：（1）\>=X2+4A-5=（x+2）2-9,

・•・抛物线的对称轴为直线.》=-2,

•••将点8（2,7）向上平移9个单位长度得到81，作点82,使力、治关于抛物线的对称轴对称，

・・出（2,16）,

:.B[（-6,16）,

•・•再将治向左平移〃？(/«>0)个单位长度后，恰好落在y=『+反+C的图象上，

，将当向左平移打(〃»0)个单位长度得到(-6-〃?，16),

把点(-6-/〃，16)代入y=/+4x-5得，16=(-6-w)2+4(-6-〃?)-5,

解得〃?=1或m=-9(舍去)，

••m的值为1.

(2)由题意，当“>-2时，

・••最大值与最小值的和为(〃+2)2-9+7=-2.

.・.〃=・2不符合题意，舍去.

当・6W〉W-2时，

・••最大值与最小值的和为7-9=-2,符合题意.

当〃V-6时，最大值与最小值的和为(〃+2)2-9-9=-2,

解得m=2或n2=-6.不符合题意.

综上所述，〃的取值范围为-6W〃W-2.

16.已知二次函数y=-(x+1)(力为常数)的图象经过点力(-2,3).

(1)求此二次函数的表达式.

(2)将抛物线先向左平移〃(〃>0)个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点,，求〃的值.

(3)已知点(p,w)»(<7,m)在二次函数y=-(x+1)2+h的图象上，且-7<2p+3g<2,求m的

取值范围.

【答案】(1)»=・(x+1)2+4；

(2)〃的值为2.

(3)-45<〃?W4.

【解答】解：(1)•••二次函数y=-(x+l)2+/?为常数)的图象经过点力(-2,3).

/.3=-(-2+1)2+〃，

棒得“一4,

・•・此二次函数的表达式为歹=-(x+1)2+4；

(2)将抛物线先向左平移n(”>0)个单位，再向上平移5个单位，得到y=-(x+\+n)2+4+5,即y=-

(x+l+w)2+9,

•・•图象恰好经过原点，

:.-(0+1+”)2+9=0,

解得〃=2或n=-4,

13

Vw>0,

・•.〃的值为2.

(3)..,点(p,w),(q,M在二次函数y=-(x+1)2+4的图象上,

:♦户q=~2，

・・・2p+2g=-4,

•・•-1<2p+3q<2,

・・.-7<-4+qV2,

・•・-3<q<6,

二•当x=6时，y=-(x+1)2+4=-45,

当工=-I时，y=-(x+1)2+4=4,

：.m的取值范围是-45VmW4.

17.已知关干x的二次函数歹=~+2什2.

(I)当-iWxWf时，y有最大值4,求f的值；

3

(2)当fWxW什I时，歹有最小值了求/的值.

【答案】(1)/=-1+国：

(2)-2一乎或-1+圣

【解答】解：(1)*.>=X2+2H-2=(X+1)2+1,

・•・抛物线开口向上，对称轴为直线x=-l,顶点坐标为(-1,1),

•・•当时，y有最大值4,

：.x=t(/>-1)时，y=(r+1)2+1有最大值4,

・・・4=(什1)2+1

解得/=-1-V3(舍)或，=-1+K：

(2),：y=x2+2x+2=(x+1)24-1,

・•・抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,1),

当f+lV-1时，t<-2,

.3

当x=r+l时，y=(r+2)2+1最小值为弓，

乙

解得/=-2+*(舍)或/=-2-冬

3

当/>-2时，x=/时，y=(/-I)2+］最小值为；，

14

解得f=-1+孝或f=-1-半（舍），

故答案为：-2—半或-1+乎.

18.在平面直角坐标系中，己知二次函数y=a（x-1）2-4（aWO）.

（I）求二次函数与y轴的交点坐标（用含有。的代数式表示）；

（2）当04W1.5时，y的最大值为-3,请求出a的值；

（3）在（2）的条件下，若点P（x,y）是二次函数图象上一点，满足/〃WxW〃?+/（/>0）,若y的最大

值与最小值之差为4,求/的取值范围.

【答案】（1）（0,fl-4）.

（2）u=\.

（3）04W4.

【解答】解：（1）令x=0,则y=a-4,所以与y轴的交点为（0,a-4）.

（2）抛物线歹=。（x-1）2-4的顶点坐标是（1,-4）,

若aVO,则当0Wx/1.5时，『的最大值为-4,不符合题意，

・・・a>0,抛物线开口向上，

把（0,-3）代入y=a（x-1）2-4得-3=4-4,

解得。=1.

（3）由（2）知抛物线为y=（x-1）2-4,

・•・抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

当〃?21时，

则'大一y小二（血+t）2-2（m+t）—3—zn24-2w+3=4,

-t2+2t+4

V/>0,

・・・0V/W2.

当〃?+/W1时,

则y大-y小=w?2-2〃L3-(ni+t)2+2(.m+t)+3=4,

人-t2+2t-4

解得租=....-----,

15

t2+2t-4

m+t=------------<1.

4V

V/>0,

・・・0V/W2.

当/MVI<m+t时,

•・•函数y的最小值为-4,

；・函数的最大值为丁=-4+4=0,

把y=0代入尸$-2x-3得Q=x2-2x-3.

解得xi=-1甲X2=3

当〃?=-1时，1V〃?+/W3满足题意，

解得2V/W4,

当〃?+£=3时，・1W“VI满足题意，

解得2V/W4.

综上所述，0V/W4.

19.如图，抛物线y=x2+bx+c经过4（-2,0）、8（4,0）两点.

（I）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当-1VXV3时，求y的取值范围；

（3）点P为抛物线上一点，若SwB=12,求出此时点尸的坐标.

叫

Vs

【答案】（1）歹=~・太-8,顶点坐标为（1,-9）：

（2）-9^y<-5；

（3）P坐标为（1+g,4）或（1—VH,4）或（1+遮，-4）或（1一遍，-4）.

牛可得益瑞号

【解答】解：（1）由条1

解得6：二言

・•・抛物线的解析式为尸，-2-8=（x-1）2-9,顶点坐标为（1,-9）；

16

（2）•・•抛物线的开口向上，顶点坐标为（1,-9）,

・••当x=l时，函数有最小值・9,

当x=-1时，y=l+2-8=-5：当x=3时，y=9-6-8=-5；

，当7VxV3时，-90V-5；

（3）由条件可知45=4-（-2）=6,

设P（x,y）>

1

则Sg/18=yB•|yp|=12,

即gx6x|y|=12,

解得》=±4,

此时x=1±限或x=1±V5,

・・・夕坐标为（i+vn,4）或（1-vn,旬或（i+石，一旬或（1一遍，-4）.

20.已知二次函数力x+c、（a,b,c是常数，ab力（））的图象经过（1,0）.

（1）若二次函数图象经过力（-1,4）,5（0,-1）,求该二次函数解析式；

（2）若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：a=c：

c+a、、、

（3）若二次函数图象的对称轴为直线％=一二，当62c时，求〃2+卅十1的最小值.

【答案】（1）y=3/-2x-1；

（2）见解析.

（3）当c=・0.5时，°2+必降有最小值55.

【解答】（1）解：•・•图象过（1,0）,

:.a+b+c=0.

又;图象过力（・1,4）,8（0,-1）,

.（a—b+c=4,

・・tc=-1,

（a=3,

・•.b=-2,

Lc=—1,

•*.y=3x2-2x-1.

（2）证明：•・•顶点落在不轴上，

：.b2-4ac=0,

•・・a+Hc=0,且/?W0,

17

c)2-4cic=(a-c)2=0

c+a

(3)解：•・•抛物线的对称轴为直线％=一厂，且a+b+c=O,

•bc+a_b

,,~2a=2=~2'

•"WO,

67—1»

:.b=-\-C.

又b》c,

・・・cW-0.5.

・•・将q=l,h=-\-c代入得〃2+/)2+c2=2c2+2c+2=2(c+$2+15

.・.当c=-0.5时,〃2+/)2+*有最小值15.

21.如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10/〃时,桥洞与水面

的最大距图是5m.

（1）根据（I）所建立的平面宜角坐标系，求出抛物线的解析式;

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6加，求水面上涨的高度.

【答案】（1）歹=一*2；

16

（2）水面上涨的高度为

【解答】解：（1）由题意，如图，设48与y轴交于点。,

•・•水面的宽度为10m,.•・/出=10,

：.AD=BD=5,

18

•・•桥洞与水面的最大距离是5川，

・・・。。=5,

・•・点力坐标为（-5,-5）,点8坐标为（5,-5）.

设抛物线解析式为》=办2,

将力（・5,・5）代入

得：・5=4（-5）2,

1

:.a=一不，

..・y=-J12；

61、9

（2）当x=5=3时，y=--x2=--,

916

，水面上涨的高度为：一三一（-5）=—（;n）,

16

答：水面上涨的高度为4

22.某水果店计划销售当季沃柑，经市场调研发现：沃柑的单价x元/千克与日销售量），千克满足•次函数

关系，且当单价为11元/千克时，日销售量为130千克；单价为14元/千克时，日销售量为70千克.已

知沃村的进货成本为7元/千克，水果店每日的固定运营成本（如房租、水电）为24（）元.设每日销售沃

柑的利润为w元.

（1）求日销售量y与单价x之间的一次函数表达式；

（2）求利润w与单价x之间的二次函数表达式；

（3）为保证盈利且符合市场定价规则，该沃柑单价需满足9WxW15（x为整数），求此时水果店每日可

获得的最大利润.

【答案】（1）y=-20x+350；

（2）w=-20X2+490X-2690；

（3）310元.

【解答】解：（1）设y与x之间的一次函数表达式为（AW0）,

由条件可得：｛覆上对，

解得｛，=350,

'•y=~20x+350.

(2)卬=(x-7)(-20x4-350)-240=-20x2+490.r-2690,

19

答：利润W与单价x之间的二次函数表达式为VP=-20x2+490.r-2690.

.4921245

(3)w=-20X2+490X-2690=-20(x--^)+二一，

4949

・••在9WxW15内，当9WxW彳时，M，随x的增大而增大；当彳〈工315时，w随x的增大而减小，

・；9WxW15,且x为整数，

・•・需计算对称轴附近的整数x=12和x=13对应的利润，

当x=12时，iv=-20X122+49()X12-2690=310(元)；

当x=13时，w=-20X132+490X13-2690=300(元)；

,当x=12时，利润最大，最大利润为31()元，

答：此时水果店每日可获得的最大利润为310元.

23.如图，点M,N分别在正方形48CO的边8C,上，且.4MAN=45°,把△4)N绕点力顺时针旋

转90°得到△力8E.

(1)求证：

(2)若BM=6,DN=4,求MN的长.

【答案】（1）见解析；

（2）10.

【解答】（1）证明：•・•把a/DN绕点力顺时针旋转90°得到△相£,

:.AABE^AADN,

；2BAE=/DAN,AE=AN,

:.NB4E+NBAN=ND4N+NBAN=90°,

•：NMAN=45°,

AZMAE=90°-45°=45°,

:.ZMAE=/MAN,

在△/1£W和中，

20

(MA=MA

ZM4E=NM4N,

VAE=AN

A(SAS)；

(2)解：°：BM=6,ON=4,

由(1)知：BE=DN=4,

・・・ME=BM+BE=IO,

■:丛AEMmAANM,

:,MN=ME=\O.

24.如图，在四边形48CO中，，4C,8。是对角线，△ZBC是等边三角形.线段C。绕点。顺时针旋转

60°得到线段CE,连接力£

(I)求证：AE=BD：

(2)若//。。=30°,力力=3・BD=5,求CO的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：由旋转可知NQCE=60°,CD=CE,

•••△48C是等边三角形，

AZACB=60°,AC=BC,

・•・ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD

即N8C'O=N4CE,

在△BC。和△力CE■中，

(BC=AC

乙BCD=乙ACE,

(CD=CE

:.XBCD/RACE(SAS),

：.AE=BD.

(2)连接QE,

21

p

BC

由(1)的结论知4E=8。，

，：BD=5,

・"E=5,

由旋转可知NOCE=60°,

•••△OCE是等边三角形，

・・・NCOE=60°,

ZADC=30°

:・/ADE=/ADC+/CDE=90",

在RtZV/OE中，DE=y/AE2-AD2=V52-32=4,

•••△CQ£是等边三角形，

:・CD=DE=4

25.在△力8C中，AB=AC,点〃是8c边上一点(不与端点重合)，连接4).将线段力。绕点力逆时针

旋转a得到线段连接

(I)如图1,a=NA4C=60°,ZEJC=20°,求N/D8的度数；

(2)如图2,a=ZBAC=90°,BD<CD,过点。作。G_L3C,QG交。的延长线于G,连接8G.点

F是。E的中点，〃是8G的中点，连接/¥/,CF.用等式表示线段/与6的数量关系并证明.

G

(2)