2026年高考数学复习讲义：平面向量的综合应用（最值、范围问题等）原卷版

专题07平面向量的综合应用（最值、范围问题等）

目录

01析•考情精解

02构•知能框架

03破•题型攻坚

考点平面向量的数量积及其应用

真题动向

知识点1平面向量的数量积的定义

知识点2平面向量数量积的运算

必备知识

知识点3平面向量数量积的坐标

知识点4投影向量

题型1平面向量的数量积

题型2向量垂直与平行的坐标表示

题型3向量的模

题型4向量的夹角

命题预测

题型5向量数量积的范围问题

题型6与模有关的最值范围问题

题型7线性运算中参数范围问题

题型8平面向量在几何中的应用

-±

析•考情精解

平面向量的数量积及其应用是核心考点之一，近年来的考查呈现出高频、综合、创新的特点。直

接或间接涉及该知识点的题目年均1-2题，占分约4-9分。

命题轨

填空题：侧重基础运算，如数量积计算、投影向量、夹角余弦值等。

迹透视

选择题：常考查向量共线、垂直条件或几何意义。

解答题：综合题居多，需结合几何图形或实际情境。

考点2025年2024年2023年

考点频

平面向量数量积上海卷T2,4分

次总结上海卷T12,4分上海卷T5,4分

及其应用

预计在2026年高考中，高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与

平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档

2026命

题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为4分。高考对本章的考查依然是基础与能力并存,

题预测

在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与

方程、数形结合、转化与化归思想。

构•知能框架

❶向量的夹角

❷投影向量

★向量的数量积

❸向量数量积的性质

❹运算律

❶向量模的公式

1❷距离公式

数量积的坐标表示

k❸向量垂亘的条件

[❹夹角公式

❶平面几何中的应用

平面向量中的综合诃题黑康口向量有关的最值问题

•题型攻坚

考点平面向量数量积及其应用

1,x>0

1.（2025・上海•高考真题）已知/（幻=0,X=0,乩6、C是平面内三个不同的单位向量.若

-1,x<0

/（=/；）+/（Ac）+/（f5）=o,则M+V+图的取值范围是_____.

2.（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知此R①二（2,5）石=（6㈤，且,/区，则k的值为

3.（2023•上海•高考真题）已知力=（-2,3）4=（1,2）,求ab=

知识点1平面向量的数量积的定义

1.向晟的夹角

已知两个非零向量。，b,。是平面上的任意一点，作瓦?=a,OB=b,则NAO8=〃（0W0W劝叫做向量〃

与b的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量。与方，它们的夹角为仇我们把数量|n||b|cos。叫做向量。与力的数量积,记作°仍.

3.平面向量数量积的几何意义

1b，_

C~AiK~D

设。，力是两个非零向量，它们的夹角是〃，c是与，方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过而的起

点A和终点8,分别作而所在直线的垂线，垂足分别为4,&,得到晒，我们称上述变换为向量a

向向量b投影，&向叫做向量a在向量b上的投影向量.记为同cos9e.

知识点2平面向量数量积的运算

1.向量数量积的运算律

（l）ab=ba

（2）（筋）力=2（。力）=0（必）（2£R）.

（3）（。+力）•c=ac+bc.

2.平面向量数量枳运算的常用公式

①（。+力）（。一力）=/一

②（。±〃）2=a2±2ab+b2.

③。2+"=（）="=b=0.

知识点3平面向量数量积的坐标

1.已知非零向量。=8,y），b=（X2,A），a与）的夹角为夕

几何表示坐标表示

数量积。山=|。||5|cos0ab=x\x2+y\y2

模\a\=yia•aMI=J.+光

abcos0=/也耳出—

夹角cosO=——

同向I

alb的充要条件ab=OxiX2+yiy2=0

1。0与同血的关系\a-b\^\a\\b\历x2+y”|wJ(*+*)(媛+及)

2.有关向量夹角的两个结论

①若。与方的夹角为锐角，则。6>0；若。庆>0,则a与力的夹角为锐角或0.

②若。与b的夹角为钝角，则°・*0；若右辰与则0与b的夹角为钝角或兀

知识点4投影向量

a在b上的投影向量为噌•白，a在b上的投影向量的模为喈.

1*11*11*1

题型1平面向量的数量积

I.已知等腰直角V4BC的斜边八B长为2,设前=Z，CA=b>7（^=0那么7万+尻2+53=（）

A.6B.-6C.4D.-4

2.若VABC是边长为石的等边三角形，点。满足品=5①，则而•而=()

119

A.—B.5C.-D・4

22

3.在梯形ABC力中，AB//CD,AB=4,AO=2,8=1,/D48=60。，则/.通=()

A.4B.6C.8D.12

4.如图，N为等边三角形ABC的中线AD上任一点，M8=3,MC=2,则丽•(而百一碇)=()

题型2向量垂直与平行的坐标表示

5.已知向量Z=(l,0)4=(2,3),£=(l,—l),若(乂+可_1_乙则力=()

A.-5B.-1C.1D.5

6.已知向量寸=(九一1,1)出=(幺幻,若(£』)邛+£),则2=()

A.-2B.-1C.1D.2

7.己知向量£=(1,2)出=(1,1),若3一3与Z+4B共线，则4=()

A.-1B.1C.2D.-2

8.已知日=(2,1),b=(1,-2),若他+高)〃(3万-5),则4=()

A.-B.--C.-D.--

3333

题型3向量的模

9.已知向量a与〃的夹角为30。，同=21%=3,则卜-同=()

A.1B.GC.2D.V13

10.已知同=2,忖=1,且小万=T，则忸―25卜()

A.3B.4C.273D.12

11.已知同=2，W=3，B/=S'，则K+4等于()

A.V17B.V19C.V2TD.V23

12.已知平面向量2与五的夹角为60。，£=（2,0）,则|Z+2昨（）

A.73B.2x/3C.4D.12

13.已知向量Z，办满足冏=5,5=（X4）,且各的夹角为g,贝卜（）

A.5yliB.5&C.5D.10

题型4向量的夹角

14.已知向量/万满足正=2|同=2,且〃叶讨《一遍』），则加"的夹角为（）

A.4SB.60°C.90D.120

15.已知向量4=(1,3),万=(一2,1),则cos(a,a-M)=()

A.返口2735「而「4x/35

65356535

16.已知向量Z，五满足a+/?=(4,6),a=(4,-2),则cos(叫=()

75B.立C.一坡D.2x/5

Ar\.----

555~5~

17.已知向量时=2,3=（0,1）且］「=1，则向量2与分夹角的大小为（)

n

A.-B.-C.-D.

234~6

18.已知非零向量a与B不共线，且满足5=2同，与6的夹角为寺

，则向量值与向量〃的夹角为（）

.兀5兀

A-3B-Tc-?D.~6

题型5向量数量积的范围问题

19.设面均为单位向量，且,-叫＜"5,历二万-坂万=2d+5,则历.”的最大值是（）

A.!B.--C.--D.-

2222

7T

20.在菱形4BC。中，AB=\,ZABC=-fE为边C。上的动点（包括端点），尸为BC的中点，则荏.而

的取值范围为（）

21.等腰梯形ABC。中，A8平行于CD,AB=2,CD=\,/£>AB=f,尸为腰A。所在线段上任意一点，

4

则定.丽的最小值是（）

3

A.丛B.1C.-D.V2

题型6与模有关的最值范围问题

22.设单位向量£［工，已知=则|2万-£+4的最小值为（）

A.0B.1C.V3-1D.>/3+1

23.平面向量向2满足同=i,丐=6,z.石=（）,若卜-m则卜|最小值为（）

A.1B.y

LL7•1

32

24.在VA8C中，ZA=90°,AC=3,AB=4,P为VABC所在平面内的动点，且PC=2.则惘+啊的最

大值为（）

A.12B.2（Vl3+l）

C.2（713+2）D.行+1

25.已知平面向量“Ec满足=l,℃=-2,/?・c=0，则|6+c|的最小值为（）

A.IB.V2

C.2D.3

26.已知平面向量而二（。,2）,4=（1/-1）,〃•二.,〃），若而1K则同的最小值为（）

A.乎B.不n2石

L•----L7•-----

55

27.已知平面直角坐标系X。）,中，A（cosasinO）,8（-sinO,cosO）,设C（3,4）,则|C5+词的最大值是（）

A.10+V2B.5+—C.8D.12

2

uiruun

28.在平面直角坐标系xQv中，OA=OB=V2,况_1砺.已知点。（3,4）,则回+词的取值范围是（）

A.[6,12]B.[6,14]C.[8,12]D.[8,14]

题型7线性运算中参数范围问题

12

29.已知向量於（1,4,於（2〜1,3）（〃>0,。>0）,若正工=1，则一+7的最小值为（）

ub

7

A.7B.—+2>/3C.7+45/3D.45/3

30.在正六边形A8COE/中，点必在边BC和边CO上运动（含端点），设丽7=义通+〃而，则义+〃的

取值范围是（）

A.[1,5]B.[2,4]C.[1,3]D.[1,4]

31.如图，在△A8C中，点。是，。的中点，过点。的直线分别交直线A8,AC于不同的两点M,N,若

___28

AB=tnAM,AC=nAN,/n>0,n>0,则一+一的最小值为（）

mn

A.2B.9C.10D.18

32.已知不与乙是两个不共线的向量，且向量两+3&e+），&同向，则工+2），的最小值为（）

A.12B.6C.2>/6D.显

33.在V/WC中，角AA,C所对的边分别为〃,4c,点。为VA6c外接圆的圆心，若。=百,且

c+26cosc=2〃，AO=mAB+nAC»则，〃+〃的最大值为（）

A.-B.-C.-D.-

5533

34.在VA8C中，点O在线段8C上，且满足|4。|二；|。。，点七为线段从。上任意一点（除端点外），若

实数x,）'满足丽=x雨+\，比，则1+'的最小值为（）

xy

A.2>/2