勾股定理的应用-八年级数学下册专项训练【含答案】

专题07勾股定理的应用

目录

A题型建模-专项突破

题型一、梯子滑落问题

题型二、求小鸟飞行距离

题型三、求旗杆高度

题型四、求大树折断前的高度

题型五、水杯中的筷子问题

题型六、航海问题

题型七、求河宽

题型八、求台阶地毯长度

题型九、判断汽车是否超速

题型十、判断是否受台风影响

题型十一、选址到两地距离相等

题型十二、最短路径

B综合攻坚・能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、梯子滑落问题

（25-26八年级上•四川内江•期末）

1.在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮力，一端拴在滑

块4上，另一端拴在滑轮力的正下方物体C上.滑块4与物体C均放置在水平地面的直轨

道上，通过滑块4的左右滑动来调节物体。的升降.实验过程中，绳子始终保持绷紧状态,

实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮力的垂直距离4C=8dm,4C=6dm（定滑轮、

滑块和物体的大小忽略不计）

试卷第1页，共21页

⑴求绳子的总长度；

(2)如图2,若滑块8向左滑动了9dm,求此时物体C升高了多少？

2.如图，一架梯子48长5m,斜靠在一竖直的墙力。上，此时梯子顶端力到地面的距离

(1)求梯子底端B到墙角。的距离：

(2)如果梯子的顶端月沿墙下滑1m,那么梯子底端B将向外移动多少米？

3.一架方梯4C长25m,如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点。离墙7m.

(1)这个梯子的顶端距地面有多高？

(2)如果梯子的顶端由点力向下滑动至点力才=4m,那么梯子的底端在水平方向滑动了

几米？

题型二、求小鸟飞行距离

(2024•广东江门•模拟预测)

4.综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

试卷第2页，共21页

在放风筝时测显风筝离地面的垂直高度AD

①测得水平距离的长为15米

测绘数②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线48的长为17

据米

③牵线放风筝的手到地面的距离0为1.8米

说明点4B,E,。在同一平面内

请根据表格信息，解笞下列问题.

（1）求线段力。的长：

（2）若想要风筝沿D4方向再上升12米，则在£7）长度不变的前提下，小明同学应该再放出多

少米线？

（24-25八年级上•辽宁沈阳・期末）

5.如图1,有两棵树，一棵高18米（44=18米），另一棵高2米（。。=2米），两树相距12

米（8。=12米）.

18米

8H—12米一^。

（I）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？

（2）如图2,台风过后，高18米的树48在点〃处折断，大树顶部落在点。处，则树48折断

处"距离地面多少米？

试卷第3页，共21页

6.如图，琪琪在离水面高度5m的岸边。处，用绳子拉停在8处的小船靠岸，开始时绳子4c

的长为13m.

（1）开始时，小船距岸/的距离为川；

（2）若琪琪收绳5m后，船到达。处，求小船向岸力移动的距离8。的长.

题型三、求旗杆高度

（25-26八年级上•广东深圳・期末）

7.综合与实践

【实践任务】测量旗杆高度.

【工具素材】卷尺，升旗的绳子.

【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计：升旗的绳子为环形结构，当绳子不解

开时的重合长度记为直合长度.

【实施方案I】

步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆。升旗绳子的叠合长度为17m；

步骤2：如图1,将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离4c为8m.

（1）根据上述数据，可计算出旗杆。的高度为m.

【实施方案2】

步骤1：如图2,通过测量发现旗杆〃升旗绳子的叠合长度比旗杆长1m：

步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距

5m.

（2）结合方案2中的数据，请求出旗杆〃的高度.

试卷第4页，共21页

【实施方案3】

步骤1：如图3,将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C）,

另一端拉直至地面的点8处，并测得夕。长度为5m：

步骤2：如图4,将绳子端点，沿地面前进4m至点。，发现此时绳子另一端上升2m至点

£（备注：点。、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）

（3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度.

（25-26八年级上•河南平顶山•期末）

8.为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，

并在绳了•上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳了•底端距离打结处约

（1）请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度；

（2）小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原

因是什么？（至少写出一条）

9.如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项FI，工作人员告诉小明，该项目48段和8c段

均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形力。CG和长方形。以P均为木质平台的横截

面，点G在上，点。在G尸上，点。在力七上，经过现场测量得知8=2米，/。=15米.

（1）小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果

错误，请求出立柱48的正确长度；

（2）为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索6F,经测量。E=3米，请你求出要焊

接的钢索8斤的长.

试卷第5页，共21页

题型四、求大树折断前的高度

10.如图，一根直立的旗杆高9m,因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部8着地，且离旗杆

底部力的距离为3m.

C

K...

ABB,

（I）求旗杆在距地面多高处折断；

（2）在折断点C的下方1m的点尸处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点尸处吹断，那

么行人在距离旗杆底部5m处是否有被砸到的风险？

（23-24八年级上•贵州贵阳•期末）

11.如图.有一棵大树被大风吹折.折断处力与地面的距离力。=3m,折断处力与折断后

树的顶端8的距离48=5m.在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，的距离为

6Am,求8。的距离.

（25-26八年级上•陕西渭南•期中）

12.如图，线段表示一棵树，CO上的点8处有两只猴子，它们都要到4处的池塘去喝

水，其中一只猴子先从点8处沿线段8c爬到点。处，再从点。处沿线段。1爬到点力处；

另一只猴子先从点3处沿线段8。爬到点。处，再从点。处沿线段加跳跃至点4处，已知

NC=28C=10米，/C_LOC,且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度CO.

题型五、水杯中的筷子问题

（25-26八年级上•河南郑州•期末）

13.《九章算术》中记战：今有池方一丈，葭生具中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐,

试卷第6页，共21页

问水深、葭长各几何.大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长48为1丈(1丈=10

尺)的正方形.在水池正中央。处有一根芦苇OC,它高出水面的部分C、。为1尺.如果把

这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即=

(1)求水池的深度。。.

(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一股解法.其解法可表示为:

如图，将水池底面边长记作2小。为48的中点，水的深度记作从芦苇高出水面

的部分CO记作〃(〃＜。)，则水池的深度b可通过计算心■二得到.请说明此解法的正确性.

2〃

14.我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭(jia)出水”的一道趣题：有一个正

方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺.将芦苇拽至池边中点处，它

的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题.(注："丈''和“尺"都是旧

制长度单位，现已停止使用.1丈=10尺，1米=3尺)

(2025・广东肇庆•三模)

15.综合与实践

【主题】自制环保笔筒

【素材】如图1,一，个直径为8cui,高15cm的纸筒卷,一张长30cm,宽20cui的包装纸,

张边长为l()cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶.

纸筒卷包装纸纸板绳子剪刀固体胶

1图

试卷第7页，共21页

【实践操作】

步骤1:在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸：

步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；

步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；

步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒.

【实践探索】

（1）求出步骤I中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留兀）

（2）如图3,如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从力点绕到正上方的8点，求所需绳子的最

短长度.（结果保留兀和根号）

（3）有一支用过的铅笔，剩余长度是】6cm,斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出

外面吗？

题型六、航海问题

（25-26八年级上•甘肃天水期末）

16.如图所示，一艘轮船以18公〃/h的速度离开港口。点，向东南方向航行，另一艘轮船同

时以24km/h的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？

17.2025年10月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷

山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离.管制结束后，

上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地P点出发.我国海警舰艇以每小时20

海里的速度沿北偏东50。方向航行，该橡皮艇以每小时15海里的速度沿某一方向航行.上午

8时两船分别到达M点和N点，且相距50海里.请通过计算说明该橡皮艇的航行方向.

试卷第8页，共21页

（23-24八年级上•四川乐山•期末）

18.如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东40。航行，乙

船向南偏东50。航行.3小时后，甲船到达力岛，乙船到达8岛.若力、8两岛相距60海里,

问：乙船的航速是多少？

北

题型七、求河宽

（24-25八年级下•广西来宾•期末）

19.（1）等边三角形的边长为2,求它的中线长，并求出其面枳；

（2）数学兴趣小组为测量学校4与河对岸的体育馆〃之间的距离，在力的同岸选取点C,

测得力。=20,乙4=45。,NC=90。，如图所示，求48之间的距离.

（24-25八年级下•内蒙古乌兰察布•期中）

20.直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边氏为0、6,斜边长为c,则

a2+b2=c2.

试卷第9页，共21页

(1)图1为关国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式.利用

以上所得的直角三角形的三边关系进行解答；

(2)如图2,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4、B,其中

AB=AC,由于某种原因，由。到/的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边

新建一个取水点“(/(、〃、8在一条直线上)，并新修一条路且测得C〃=6

千米，HB=4千米,求新路C”比原路。少多少千米？

(3)在第(2)问中若48工/C'时，CH,JC=8,5C=10,力4=12,设4H=x,求

x的值.

21.小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边L5m远的水底，竹竿高出水面

0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？

----

一力

1.5

题型八、求台阶地毯长度

(24-25八年级下•湖南长沙•期末)

22.树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住.已

知楼梯台阶侧面图如图所示，ZC=90°,AC=3m,AB=5m.

试卷第10页，共21页

(1)求4c的长：

(2)若已知楼梯宽2.8m,每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶.(假

设地毯在铺的过程中没有损耗)

23.某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住.楼

梯台阶剖面图如图所示，已知NC=90。，JC=3m,AB=5m.

(1)求8C的长；

(2)若已知楼梯宽2.8m,每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶.(假

设地毯在铺的过程中没有损耗)

24.如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5,3和I,4和8是这个台阶的两个

相对的端点，点4上有一只蚂蚊，想到点8去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点8

的最短路程长是多少？

题型九、判断汽车是否超速

25.”中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过

60km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速

检测仪彳处的正前方50m的C处，过了6s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130m,这

辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：lm/s=3.6km/h)

小汽车小汽车

-----------------—

观测点

(25-26八年级上•吉林长春•期末)

试卷第11页，共21页

26.如图，已知某高速公路限速lOOkm/h,一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条

路平行的直线/上的点C处有一车速检测仪.某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪C处

正前方50m的4处，经过4s后，大巴车到达力处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离

力。为130m.

检测仪

(1)求48的距离；

(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速.(参考数据lm/s=3.6km/h)

27.交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过19m/s.如图，一辆小汽车在一条

城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方3()m处，过了2s后，测

得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗？

题型十、判断是否受台风影响

(25-26八年级上•海南俯州・期末)

28.海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在5~11月，9月更是台风登陆数量最多、

强度最强的月份.如图，某沿海城市/接到台风预警，在该市正南方向340km的8处有一

台风中心，沿4C方向以20km/h的速度移动，已知城市4到4C的距离力。为160km.

(1)台风中心经过多长时间从B点移到。点？

(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的

时间持续多少小时?

试卷第12页，共21页

(25-26八年级上•陕西渭南•期末)

29.如图，在一条东西方向的铁路南边的4处有一所学校，铁路卜.有力、C两处观测点，观

测点/距离学校80m(即48=80m),观测点C距离学校60m(即8c=60m),且点B4C

与N4C8恰好互余.若火车在行驶过程中会对周围50m范围内有噪声影响，请你判断火车

在从观测点力行驶到观测点。的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由.

(25-26八年级上•广东肇庆•期中)

30.广东省7~9月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，

大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容

易向广东沿海移动.如图，某沿海城市力接到台风预警，在该市止南方向340km的4处存

一台风中心,沿5C方向以20km/h的速度移动,已知城市/到3C的距离为160km.

(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？

(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么力市受到台风影响的

时间持续多少小时？

题型十一、选址到两地距离相等

(25-26八年级上•四川攀吱花•期末)

31.如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D,它们各自到公路的垂直距离C/I、

08分别为1(由〃、15所?,公路上的力、8两地相距255,，现准备在公路上修建一所医院E,

因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等.

试卷第13页，共21页

D

C

AB

(1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置(提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅

笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘)

(2)求出该医院离力地的距离.(提示：若第(1)问未完成，可画简图完成此问)

32.如下图，在笔直的公路旁边有4,8两个村庄，村庄4到公路的距离力C=8km,村庄〃

到公路的距离4。=14km，测得C,。两点之间的距离为20km.现要在C,。两点之间建

一个服务区E,使得力，“两个村庄到服务区上的距离相等，求CE的长.

33.【探究】

(1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为。，b,c.乙4=/。=90。，点

4，B,。在一条直线上,请利用图1证明勾股定理.

【运用】

(2)如图2,铁路上口两点(看作直线上的两点)相距30千米，C,。为两个村庄(看

作两个点)，AD1AB,BOB,垂足分别为力，B,4)=18千米，8C=12千米，要在

力3上建造一个供应站户，使得PC=PD,求/伊的距离.

【拓展】

(3)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式>4+J(12-“I+9的最小值

(0<x<12).

试卷第14页，共21页

题型十二、最短路径

34.如下图，长方体的长为10,宽为8,高为6,点4与点C的距离为2,一只蚂蚁沿着长

方体的表面从点A爬到点4.求蚂蚁需要爬行的最短距离.

X

（25-26八年级上贵州•期末）

35.【问题情境】

贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得

该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm,如图1所示.力和8是这

个四级台阶两个相对的端点，若点力处有一只蚂蚁,它想到点8处的食物，则蚂蚁沿着台阶

面爬行的最短路程是多少？

（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2,将这个四级台阶展开成平面图形,

连接48,经过计算得到48长度即为最短路程，则力8;dm.

【变式探究】

（2）如图3,一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm,高是15cm,一只妈蚁

从点/出发沿着玻璃杯的恻面到与点力相对的点4处，则该蛆蚁爬行的最短路程是多少厘

米？

【拓展应用】

（3）如图4,在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点8处有一滴蜂蜜，此时一只蚂

蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿3cm与蜂蜜相对的点力处，则蚂蚊从外壁1处到内壁Z?处的

最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）

试卷第15页，共21页

36.小星学习了最短路径问题后，做了一个高为10cm,底面圆的周长为24cm的圆柱（如图

①），他在圆柱下底面的点处放了--只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务.

任务­：蚂蚁想吃到圆柱的面上与点/相对的中点。处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短

路程是___________

任务二：小星把圆柱的高变为12瓜m,底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部力

处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点力相对的点必处的食

物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点8处（此时48两点重合）小

星沿着力。竖直方向将圆柱剪开，得到长方形48CQ（如图③，当他分别画出这两条路径时,

猜想平分N4",请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理

由.

任务三；小星准备了一张边长为20cm的正方形纸片（如图⑷），点£为8C中点，他将少出七

沿/E对折到止方形内部△/所的位置，并把线段力5抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点尸处，

不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程.

综合攻坚•能力跃升

（24-25八年级上•四川宜宾•期末）

37.在海平面上有4,B,C三个标记点，C为灯塔，港口彳在灯塔C的北偏西55。方向上,

港口力与灯塔。的距离是40海里；港口8在灯塔C的南偏西35。方向上，港口8与灯塔C

的距离是30海里，一艘货船将从4港II沿直线向港口。运输货物，货船的航行速度为10

海里/小时.

试卷第16页，共21页

,1

（1）货船从港口A航行到港口B需要多少时间；

（2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里,

这艘货船在由港口彳向港口8运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信

号时间不低于1小时才符合航行安全标准.请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标

准，并说明理由？

（2023.河南洛阳一模）

38.中国海军亚丁湾护航十年，中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得信赖的保护

伞”如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近.为

保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距20海里的船队首（O点）

尾（月点）前去拦截，4分钟后同时到达8点将可疑快艇驱离.已知甲直升机每小时飞行180

海里，航向为北偏东25。，乙直升机的航向为北偏西65。，求乙直升机的飞行速度.

北

4^

39.如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒力灰刃，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽力8还要

长2cm,斜着放入时笔的顶端/与铅笔盒的边缘距离为6cm,求铅笔盒的宽/出的长度.

试卷第17页,共21页

（2025・广东清远•二模）

40.综合与实践

【主题】自制环保笔筒

【素材】如1图，一个直径为8cm,高14cm的纸筒卷，一张长30cm,宽20cm的包装纸,

一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶.

纸简卷包装纸纸板绳子剪刀固体胶

1图

【实践操作】

步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸；

步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；

步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；

步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒.

【实践探索】

（I）求出步骤I中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留兀）

（2）如3图，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从力点绕到正上方的8点，求所需绳子的最短

长度.（结果保留兀和根号）

3

3图

（2022•天津津南•一模）

41.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点儿B,M,N均在格点上，〃为线段A/N

试卷第18页，共21页

上的一个动点

（1）MN的长等于,

（2）当点尸在线段MN上运动，且使尸才+尸外取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺,

在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明）

（2024•广东惠州・模拟预测）

42.【操作】某班数学兴趣小绢在研究正方体的展开图.小如成员小方将iF方体沿某几条棱

【应用】（1）小组成员圆圆剪出的一个展开图如图所示，如果把它折成正方体后，相对面上

所标的两个数相等，那么。+从=_；

（2）如图，小组成员蔓蔓在正方体上标注出顶点4。和另一条棱的中点8,量得正方体

的楂长为4,请你帮他求出从点A沿表面到点B的最短距离.

（2022四川成都•一模）

43.高铁修建过程中需要经过一座小山.如图，施工方计划沿/C方向开挖隧道，为了加快

施，速度，要在小山的另一侧。（4G。共线）处同时施，.测得

试卷第19页，共21页

Z.CAB=30°,AB=8km,ZABD=105°,求8。长.（结果精确到十分位

（2024•福建三明・三模）

44.综合实践：阅读下列材料，解答问题.

任务：如图1,现要测量其校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）.

图I

工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）.

李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）：

步骤1：测得多出一小段绳子的长度为〃（m）；

步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为人测得力点到旗杆底部。点距离

JC=/?（m）.

部分求解过程：

设旗杆高度BC=h,

•.•在Rt△48c中，/力。8=90。，

试卷第20页，共21页

BC2+AC2=AB2.

•••AC=btAB=h+a,

：.h2+b2=(7/+1/)2

（1）根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度人=一（用含小方的代数式表示）;

（2）李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是一；

（3）请你利用所提供的工具，通过2次测鼠，设计另外一种方案，写出你的测显和求解过

程.（测量得到的长度用字母机，〃表示）

试卷第21页，共21页

1.（1）绳子的总长度为18dm

（2）滑块8向左滑动了9dm,此时物体。升高了7dm

【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键.

（1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题；

（2）先求出8E的长，再利用勾股定理求出48的长即可进一步求解.

【详解】（I）解：根据题意可知，AC1BC,JC=8dm,5C=6dm,

则AB=dAC2+BC?=V82+62=10dm

故绳子的总长度是二48+/1C=10+8=18（dm）.

答：绳子的总长度为18dm；

（2）解：,•,滑块8向左滑动了9dm

BE=BD+DE=6+9=15（dm）,AE=8dm

AB=y]BE2+AE2=yJ^2+\52=17dm

据⑴知绳子总长为18dm

AJC=18-17=ldm

物体C上升高度为CE=8-1=7dm.

答：滑块8向左滑动了9dm,此时物体。升高了7dm

2.（l）3m

⑵Im

【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用.

（1）在中，直接利用勾股定理求解即可.

（2）在RtAC。。中，直接利用勾股定理可得士O=jco2—c02=后手'=4,进一步求解

即可.

【详解】（1）解：•••48=5,AO=4,//08=90°,

*',BO=VAB'—AO^-y/S'—42=3»

•••梯子底端B到墙角O的距离为：3m.

（2）解：•••OC=4-I=3.8=5,ZCOD=90°,

-DO=>JCD2-CO2=V52-32=4,

答案第1页，共30页

:.BD=D()—B()=\.

二梯子底端B将向外移动1m.

3.(1)这个梯子的顶端距地面24m

(2)梯子的底端在水平方向滑动了8m

【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

(1)利用勾股定理列式运算即可；

(2)求出的长，再利用勾股定理运算求解即可.

【详解】(1)解：根据题意得，/力灰?=90。，JC=25,8c=7,

在中，AB=y/AC2-BC2=>?252-72=24>

这个梯子的顶端距地面24m；

(2)根据题意，得4C=4'C'=25,力©=4,

：.A'B=AB-AA,=24-4=20,

在RtZSHBC'中，C8=JHC'2—©I=,252—2()2=15,

所以CC'=C'8-8C=15-7=8,

即梯子的底端在水平方向滑动了8m.

4.(1)9.8米

(2)小明同学应该再放出8米线

【分析】本题考查的是勾股定理的应用；

(1)如图，过点4作8d。于点C,利用勾股定理求解

AC=^AB--BC2=>/172-152=8»再进一步解答即可；

(2)如图，设风筝沿D4方向再上升12米后到达点尸处，连接利用勾股定理求解

BF=y/CF2+BC2=72024-152=25»进一步可得答案.

【详解】(1)解：如图，过点“作AC1.力。于点C.

在Rt△44。中，/XC8=900,8C=EO=15米，48=17米,

由勾股定理，得AC=LB2-BC2=J172-15?=8（米），

答案第2页，共3()页

则/。=<。+。。=4。+8e=8+1.8=9.8（米）.

（2）解：如图，设风筝沿。力方向再上升12米后到达点尸处，连接",

则6=8+12=20（米）.

由勾股定理，WBF=>JCF2+BC1=>/202+152=25（米），

故8尸一/8=25-17=8（米）.

答：小明同学应该再放出8米线.

5.（1）20米

⑵5米

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.

（1）根据“两点之间，线段最短“可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程

最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出；

（2）由勾股定理求出AM的长，即可求解.

【详解】（1）解:两棵树的高度差为18-2-16（米），两树相距12米（“力=12米），

根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=,162+122=20（米），

答：至少飞了20米；

（2）解：由勾股定理得：BM2+AB~=AM1

8”2+122=（18-2”『，

解得：BM=5,

答：树折断处〃距离地面5米.

6.（1）12

⑵（12-画m

【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学提从题中抽象出勾股定理这一数学模型,

画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

（1）在此△力AC中，利用勾股定埋计算出力8长：

答案第3页，共3（）页

(2)根据题意可得CD长,然后再次利用勾股定理计算出40长,再利用80=48-力。可

得出)长.

【详解】(1)解：在RS4BC中,ZCAB=90°,BC=13m,JC=5m,

.•."=1132-52=12(m)，

故答案为：12；

(2)•••琪琪收绳5m后，船到达力处，

；.CZ)=13-5=8(m),

,AD=4CD，-AC2=>/82-52=回(m)，

:.BD=AB-AD=(12-y/39)m.

7.(1)15；(2)旗杆b的高度为12米；(3)旗杆c的高度为12米

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键.

(1)根据勾股定理即可解答；

(2)设旗杆方的高度为/米，则绳子的长度为0+1)米，根据勾股定理列方程即可解答；

(3)设ZC=x米，44=y米，根据题意列出方程组即可解答.

【详解】(1)解：根据题意可得旗杆。的高度为而。'=15米，

故答案为：15；

(2)解：设旗杆方的高度为/米，则绳子的长度为“+1)米，

依题意可得：5?+/="+1)2,

解得：”12.

答：旗杆b的高度为12米.

(3)解：设4C=x米，，48=)，米，

则可得：

52+X2=y2

[(5+4)2+Y=(y+2)2'

(x=\2

解得：亶.

答：旗杆c的高度为12米.

答案第4页，共30页

8.(1)旗杆的高度为12米

(2)测量长度有误差(答案不唯一)

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键：

(1)设旗杆的高度为x，根据勾股定理进行求解即可；

(2)根据可能产生误差的原因，作答即可.

【详解】(I)解：设旗杆的高度为x,

由勾股定理，得：X2+92=(X+3)2,

解得x=12；

答：旗杆的高度为12米；

(2)解：产生误差的原因可能是测量长度有误差(答案不唯一).

9.(1)不正确的，10米

(2)2质米

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出8G的长是解题的关铤.

(1)设8G=刀米，则AC=(26-"x)米，在RtABGC中，利用勾股定理列方程，求出x,

结合+G4即可得出结论；

(2)由题意得C尸=QE=3米，则G/7=GC+=18米，在RUBGF中，由勾股定理求出BF

的长即可.

【详解】(1)解：小明的猜想不正确；理由如下：

由题意可知：AB+BC=27,AG=CD=EF=2,AD=GC=\5t

BG+BC=25,

在R&4GC中，由勾股定理得：BG2+CG2=BC\

即5G2+152=(25-8G了,

解得：4G=8,

:.AB=BG+AG=S+2=\0,

••・小明的猜想不正确，立柱48的正确长度为10米；

(2)解：由题意可知：DE=CF=3,

GF=CG+CF=15+3=18,

RS8GZ7中，由勾股定理得：BG2+FG2=BF2,

答案第5页，共30页

BP8尸2=8?+18?=388,

•••BF=2屈米,

・•・焊接的钢索BF的长为2质米.

10.（1）旗杆在距离地面4m处折断

（2）行人在距离旗杆底部5m处有被砸到的风险

【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键.

（1）设4C的长度为则8C的长度为（9-x）m,根据勾股定理列方程，解方程即可求

出的力C的长度.

（2）根据4C的长度，求出力尸、P8'的长度，再根据勾股定理求出/出'的长度，与5m作比

较，即可求解.

【详解】（1）解：设力。的长度为加，则8c的长度为（9x）m,

由勾股定理,可得-+32=（9-",

解得x=4.

答：旗杆在距离地面4m史折断.

（2）解：-AC=4m,/>C=lm,

/.AP=3m,

W=9-3=6m,

由勾股定理，可得AB'=<PB'2-AP2=jG-32=3tm，

,/3601>5m,

•••行人在距离旗杆底部5nl处有被砸到的风险.

答：行人在距离旗杆底部5m处有被砸到的风险.

11.8。的距离为2m

【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜

边的平方是解题关键.

先对口△48。运用勾股定理求解8C,再由线段和差计算即可.

【详解】解：由题意得，乙“8=90。，

•••BC=ylAB2-AC2=Js?-3?=4（m）,

答案第6页，共30页

:.BD=CD—BC=6—4=2(m),

答：8。的距离为2m.

12.CD=7.5m

【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设。。=加，则有

8O=(x-5)m,JD=(20-x)m,然后根据勾股定理可建立方程进行求解.

【详解】解：•••/C=28C=10m,

AC=1Om,BC=5m,

:.AC+BC=15m=BD+AD,

设C£)=xm,则有8。=(x-5)m,AD=\5-BD=15-(x-5)=(2O-x)m,

"ACLDC,

222

de?+oc2=TO,,[ipio+x^(2O-x),

解得：x=7.5；

即。=7.5m.

13.(1)12尺

【分析】本题考查了勾股定理的应用；

(1)设水池深度为x尺，则得芦苇高度为(X+D尺，在RUXE/1O中，利用勾股定理建立方

程即可求解；

(2)由水池深度。。=6,则得芦苇高度为OC=OQ+CQ=b+〃，由题意有：

OE=OC-b+b；由勾股定理即可得证.

【详解】(1)设。。为x尺，

则OC=OE=(x+l)尺，DE=5尺.

在Rt^OOE中，/ODE=900,

由勾股定理，得

DE2+OD2=OE2.

52+x2=(x+l)2.

解得x=12.

答：水池的深度为12尺.

答案第7页，共30页

(2)图中0。=/>,CD=n,AB=2a,

则OC=Of=8+〃，DE=a,

在RtZXOO石中，NODE=90。，

由勾股定理，得DE、OD2=OE?.

:.a2+b2=(b+n)2.

解得

2n

14.水池深12尺，芦苇长13尺

【分析】本题主要考杳勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；找到题中的直角

三角形，设水深为工尺，则芦苇长为(X+1)尺，根据勾股定理可得/+(!£[=(x+l/，进

\2)

而求解即可.

【详解】解：设水深为X尺，则芦苇长为(工+1)尺，由题意得：

2n°Y/»

X+—=(x+l)，

解得：x=12,

・•・芦苇的长度为x+l=l+12=13(尺)，

答：水池深12尺，芦苇长13尺.

15.(l)1207r(cm2)

(2)>/2567r:+225cm

(3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析

【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾

股定理是解题的关键.

(1)根据圆柱侧面积公式求解即可；

(2)画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解：

(3)根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可.

【详解】(1)解：裁剪出为包装纸的面积为圆柱的侧面积：S=87rxl5=120兀(cm?),

答：裁剪出的包装纸的面积为12()兀(cm?)；

答案第8页，共30页

（2）解：如图，点。，点E为圆柱高的中点，连接4Q,BD,

B

EDAC为圆柱的底面周长8itcm,

AC

8为圆柱高岭即15x；端（吐,

22

由勾股定理得=y/AC+CD=42567+225,E=ADj256n^225

2

所需绳子的最短长度为x/2567t2+225cm.

（3）解：，,笔筒的直径是8cm,高是解cm,

・•・斜放铅笔能露出外面的最短长度是由=17cm，

而16cm<17cm,故该铅笔不能露出在外面.

16.它们航行两小时后•相距60A7".

【分析】本题考查解决航每问题（勾股定理的应用）.

根据题意可得/4O4=90。，OAtOB,根据勾股定理计算即可.

【详解】解：根据题意可得:

ZJOB=90oxl+90oxl=90°,

22

0/4=18x2=36(^:),

08=24x2=48（砌,

•••AB=>/362+482=60（而），

它们航行两小时后,相距606〃.

17.北偏西40°

【分析】本题考查了解决航海问题（勾股定理的应用），与方向角有关的计算题等知识，解

题关键是掌握上述知识点并能运用求解.

先分别求出两船行走的路程，利用勾股定理的逆定理说明与上午8时两船与尸点三个位置

成直角三角形，以此求得该橡皮艇的航行方向.

【详解】解：•.•上午6时出发，到上午8时，我国海警舰艇以每小时20海里的速度，橡皮艇

以每小时15海里的速度，

,我国海警舰艇行走的路程为20x2=40海里，

答案第9页，共3（）页

橡皮艇行走的路程为15x2=30海里,

MO?+302=1600+900=2500=502，

・••上午8时两船分别到达M点和N点,且相距50海里，

上午8时我国海警舰艇、橡皮艇与P，三个位置成直角三角形，

•••NM必二90。，

•••我国海警舰艇以每小时20海里的速度沿北偏东50。方向航行，

90°-50°=40°,

•,.该橡皮艇的航行方向为北偏西40。方向.

18.12海里/小时

【分析】本题考查了勾股定理的应用，在图形中找出直用三角形是解题的关键.

计算得出入1P8=9O。，从而说明△尸/B是直角三角形，再利用勾股定理求出尸8的长，再求

乙船的航速.

【详解】由题知，N/俨8=180。-40。-50。=90。，JP=3xl6=48海里，AB=60海里，

由勾股定理得，PB=>IAB2-AP2=V602-482=36海里，

•••乙船的航速是36+3=12海里/小时.

19.（I）中线40=6，S-8c=百；（2）AB=206•

【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的实际应用，熟练掌

握各知识点并灵活运用是解题的关键.

（1）由等边三角形的性质得到8O=；8C=1,AD1BC,再由勾股定理求解高，最后由三

角形面积公式即可求解；

（2）先证明△力为等腰直角三角形，再由勾股定理即可求解.

【详解】解：（1）如图，力。为等边△相C的中线，AB=BC=AC=2,

BD=\,ADIBC,

.••由勾股定理得:力£）=J力B2_8Q2=，

SAARC=~BC・AD=-X2XVJ=y/3；

答案第10页，共30页

A

(2)••TC=20,4=45。，ZC=90°,

:.4=NB=45°,

.-.AC=BC=20,

.••在Rl△4C'B中，由勾股定理得：AB=ylAC2+BC2=>/202+202=2072.

B

/

4Z-----------口。

20.⑴见解析

⑵新路C”比原路C3少().5千米

9

⑶x=Q

【分析】本题考杳的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用；

(1)梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求

出的面积相等列出关系式，化简即可得证；

(2)设。=x千米，贝1」」”=(工-4)千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果;

(3)在RhUC〃和RtZ\6C〃中，由勾股定理得求出＜?〃2=。2_n〃2=。炉-8〃2,列出方程

求解即可得到结果.

【详解】(1)解：vAB1AD,BClAB,DEA.CEf

梯形”CO的面积为:(。+力)(。+力)或;6?+",

+/))(〃+6)=；/+〃力，

■,L^L^L\

ah+2c=2+ah+2h

即/+〃=。2