2025年高考数学培优复习：排列组合与二项式定理（学生版）

专题08排列组合与二项式定理

2024年真题研析

一、填空题

1.（2024新高考II卷・14）在如图的4x4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一

个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个

数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

近年真题精选

一、单选题

1.（2022新高考11卷・5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

2.（2023新高考II卷・3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机

抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中

部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.c：2・cE种B.鼠种

c.c蒜.C荔种D.C%c冬种

二、填空题

3.（2022新高考I卷-13）（I-的展开式中彳'6的系数为（用数字

作答）.

4.（2023新高考【卷某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从

这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有一

种（用数字作答）.

必备知识速记

一、排列与排列数

I、定义：从〃个不同元素中取出〃?（，〃《〃）个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中取出

m个元素的一个排列.从〃个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从

n个不同元素中取出机个元素的排列数，用符号表示.

n'.

2^排列数的公式：然1=〃（〃一1）（〃一2）.（〃一〃?+1）=

(〃-/〃)！

特例：当机=〃时，4"=，?!=〃（〃-1）（〃-2）3-2-1；规定：0!=1.

3、排列数的性质：

①②t=」一";」一A：j③4：=咽二：+心.

n-mn-m

二、组合与组合数

1、定义：从〃个不同元素中取出〃?（用《〃）个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取出

〃［个元素的一个组合.从〃个不同元素中取出〃?（〃?4〃）个元素的所有组合的个数，叫做从

〃个不同元素中取出“个元素的组合数，用符号C：表示.

2、组合数公式及其推导

求从〃个不同元素中取出，〃个元素的排列数A；,可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这〃个不同元素中取出小个元素的组合数C：;

第二步，求每一个组合中〃?个元素的全排列数A：；

根据分步计数原理，得到%"=£"•4：；

父n(n-l)(n-2)(«-/«+1)

因此C："京二一

这里〃，/"WN.,且这个公式叫做组合数公式.因为人”=尸上二，所以组合数

（n-m）l

公式还可表示为：£：=/〃！、.特例：C；=C：=1.

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题

时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题.公式

C；=〃（〃-1）（〃-2）…+1）常用于具体数字计算,c：=---常用于含字母算式

〃?！〃?!（〃-"[）!

的化简或证明.

3、组合数的主要性质：①G"=C；m；②c;：+c丁=c：;

4、组合应用题的常见题型：

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②，，至少，，或，，最多，，含有几个元素的题型

三、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间

的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考

虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排

列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列

四、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数〃，都有：

n]n]

（a+h）=*+Cna-b++C：陵-方+•■+C»"（〃《乂），

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做（。+加"的二项展开式.

式中的C/"?’做二项展开式的通项，用乙+i表示，即通项为展开式的第，项：

其中的系数C；（尸0,1,2,…，〃）叫做一项式系数，

2、二项式（〃+»”的展开式的特点：

①项数：共有〃+1项，比二项式的次数大I;

②二项式系数：第r+1项的二项式系数为C；，最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的事指数〃.字母〃降事排列，次数由〃到0；字母。升

塞排列，次

数从0到〃，每一项中，”，〃次数和均为〃；

④项的系数：二项式系数依次是C'，c，c3…，C：，…，C，项的系数是〃与〃的系数（包

括二项式系

数）.

3、两个常用的二项展开式：

@（a-b）n=cyr-cy-'b++（—l）"-C»"（neN*'）

@（l+x）n=l+C>+C>2++CX++x"

4、二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：乙产。，""'（，=0,1,2,%..,〃）

公式特点：①它表示二项展开式的第，项，该项的二项式系数是C：;

②字母人的次数和组合数的上标相同；

③。与/7的次数之和为〃.

注意：①二项式①+与”的二项展开式的第，讨项C4-E和S+4的二项展开式的笫

项7r是有区别的，应用二项式定理时，其中的。和。是不能随便交换位置的.

②通项是针对在伍+初"这个标准形式下而言的，如（。-份"的二项展开式的通项是

人=（一1）'。：优”（只需把一。看成人代入二项式定理）.

五、二项式展开式中的最值问题

1、二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即《=禺；其余每个数都等于它，肩上”两个数的和，即

C3=u.

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c：=c："'.

⑤一项式系数和令〃="=1,则一项式系数的和为C：+C：+C；+…+C：+…+C；=2"，变

形式C：+G：+•+c：++C；=2"-1.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令4=1,〃=-1,

则C-C+c；-C：+…+（-i）y=（1-1）"=o,

从而得到：C：+C；+C!・TC=+—=C+C：+-+c；r+,+--=^2,'=2n~,.

⑤最大值:

如果一项式的幕指数〃是偶数，则中间一项74的一项式系数法最大；

-+I

2

n-1"1

如果二项式的幕指数〃是奇数，则中间两项7；小，T„+1的二项式系数C3，相等且最

大.

2、系数的最大项

求（。+区）〃展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为

A>A

设第r+l项系数最大，应有12一’，从而解出厂来.

4+1NA—

六、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

1、设（4+〃）”=布+C\anlb+C；an-2b2++C：/-方++C»”,

二项式定理是一个恒等式，即对*〃的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵

活选取〃，人的值.

①令〃=。=1,可得：2"=C；+C：++C：

②令4=1,Z?=1，可得：O=《-C：+C；-C：即:

c>c,；++C：=C；+C：++C；I（假设〃为偶数），再结合①可得:

C+C：+TC：=C"C；+•,+CT=2"T.

2、若/（x）=+%一产二+4々x""++4工+4，则

①常数项：令x=0,得4=/（（））.

②各项系数和：令x=l,得/(l)=q>+4+々2++a〃-i+4”.

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

（/）当〃为偶数时，奇数项的系数和为4+4+/+.J（D/T）

偶数项的系数和为4+《+%+

（可简记为：〃为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

（"）当〃为奇数时，奇数项的系数和为4）+/+6+..J⑴7-1）

偶数项的系数和为4+仆+火+=/（1）+/（-1）

2

（可简记为：〃为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

2n

若/（x）=%+4M+a2x+---+%+anX,同理可得.

注意：常见的赋值为令x=0,x=l或x=-l,然后通过加减运算即可得到相应的结果.

【排列组合常用结论】

一、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分

多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取

出多少个元素；

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.

二、常见排列组合类型及解法

I、如图，在圆中，将圆分〃等份得到〃个区域A/〕，M2,M3,,,现取

-k.2）种颜色对这〃个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方

案有(-1『(&-1)+6-1)”种.

2、错位排列公式优=（£攵t+］）.〃！

M川

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子•'问题，有限制条件的排列问题的限制条

件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的

方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元

素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元索通常称为

特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，向安

排其他元素；

（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考

虑其他位置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某h个元素

排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这％个元素“捆绑在一起“，看成一个整

体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种挂法：然后再将“捆绑”在一起的元素

“内部”进行排列，共有4种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有

娼::《种.

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某&个元

素互不相邻+求不同排法种数的方法是：先将（〃-太）个元素排成一排，

共有AM种排法；然后把4个元素插入〃-4十1个空隙中，共有大.-种排法•根据分步乘

法计数原理可知，符合条件的排法共有四二〉用_川种.

名校模拟探源

一、单选题

1.（2024•重庆•三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地

区200（）人，中部地区1400人，东部地区180（）人，港澳台地区400人.学校为了解学生的

饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝

地区学生中不同的抽样结果种数为（）

A.C治B.C.C，D.C，

2.（2024.北京.三模）已知（白-“的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为

（）

A.-240B.240C.60D.-60

3.（2024♦陕西.三模）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方

设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰

有三人在同一区域的不同座位方式共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

4.（2024.四川成都•三模）成实外教育集团自2000年成立以来，•直行走在民办教育的前

端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不

止步.截至目前，集团已开办29所K/2学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团

拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发

言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（）

24-28厂8、27

AA.-B.—C.——D.—

5555II55

5.（2024.重庆九龙坡•三模）用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位数，则

在数字I，3相邻的条件下，数字2,4,6也相邻的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

105105

6.（2024•新疆喀什•三模）（/+X+1）'展开式中，r的系数为（）

A.20B.30C.25D.40

7.（2024・新疆•三模）西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主为

领略五大古都之美,决定用两个月的时间游览完五大古都,且每个月只游览五大古都中的

两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为（）

13

A.-D.

5c"5

8.（2024.北京•三模）在（--2）（2工-1）5的展开式中，丁项的系数为（

A.-144B.-16C.16D.144

9.（2024.河北秦皇岛.三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会,若两个晚会都必须

有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有()

A.8种B.12种C.16种D.24种

10.（2024・安徽芜湖•三模）已知48、C>E、尸六个人站成一排，要求A和8不相

邻，C不站两端，则不同的排法共有（）种

A.186B.264C.284D.336

11.（2024.浙江绍兴•三模）在（x+l）（x+2）（x+3）（x+Q[x+b）的展开式中,含二项的系数

是10,则logja+b)=()

A.0B.IC.2D.4

12.（2024・湖北荆州•三模）已知（3x7严=4+qx+®：2+L+?024d咒则

q+%+L+%必被3除的余数为（）

A.3B.2C.1D.0

二、多选题

4D、8

13.（2024•山西临汾•三模）在的展开式中（）

A.所有奇数项的二项式系数的和为128

B.二项式系数最大的项为第5项

C.有理项共有两项

D.所有项的系数的和为3S

14.（2024.江西南昌•三模）己知卜的展开式中二项式系数的最大值与1+£］的展

开式中，的系数相等，则实数。的值可能为（）

X

A.72B.-V2C.—D.--

22

15.（2024•山西•三模）已知函数/（力=（44一『2=4+令+%/+—+4/2,则（）

A.%=43XC：2B.外”展开式中，二项式系数的最大值为

C.4+%+/+…+/=》D.45）的个位数字是1

三、填空题

16.（2024・山东烟台•三模）（24+上）展开式的中间一项的系数为.

17.（2024•安徽合肥•三模）北京时间2024年4月26日5时04分,神舟十七号航天员乘组

（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘

组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”.随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共

同向全国人民报平安.若这6