2025-2026学年北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明及其应用》达标检测卷

北师大版下册第一章《三角形的证明及其应用》测试卷C.ZA+ZC=Z/J

八年级数学D.如果VA8C的三边长分别为a,b,C,且满足“：6：c・2;3:4

（滴分,120分时间，120分钟）5.如图，己知“=标，〃•=”，若“P和GW分别垂直平分.5和“•，则m。

二三

*—总分的度数为（）

分数

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1,等腰三角形有一个角是|河，则它的底角是（）

A.wB.5（rC.财D.1好

6.如图，公路融和此互相垂直，点3和人。的中点。被一个湖泊隔开,

2.如图，等边三角形横，与互相平行的直浅”，人相交，若4-3，则〃

若公路M,的长为10千米，则从。两点之间的距离为（）

的大小为（）

A.20千米B.15千米C.10千米D.5千米

C.好D.55。

7.某平板电脑支架如图所示，悌-初，^£T=I4（P.为了使用的舒适性,

3.如图，在Rt&UJC中，Z4=wr,。是八B上一点，且4c“="CO,若人。=6,

可调整/ACT的大小.若/MC烟大⑹，则皿:的变化怙况是（）

则点D到BC的距离为（）

A.增大16。B.减小16。C.增大甲D.减小8。

A.2B.4C.6D.8

8.如图，林是VA比中乙氏的平分线，。是VA3C的外角的平分线，如果

4.下列不能判定\乂依是直角三角形的是（）

Z4BP-20,Z4CP-50,则NP-（）

A.ZA：4："=2:3:5

B.如果v破C的三边长分别为a,b,c,且满足八3d

C.-w-D.»•

9.如图，在VMC中，.3-,仁“《?-%。.〃8的平分线交A8于点o,则下列13.如图，已知加*■-渊，4=斑，ZB=2T,则4的度数为_

结论不可建的是（）

14.“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来依.借助如图

A.NCWB=72°B.AC=2AD

所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的

C.点。一定在4的垂直平分线1:D.△««是轴对称图形

棒，从，。8组成，两根棒在O点相连并可绕。转动，。点固定，8=6-吟

10.如图，三知VA&•和&X学均是等边三角形，点B,C,E在同一条直

点D,E可在槽中滑动，若皿圮--则”为度.

线上，A?与即相交于点O,故与。。交于点G,w与Q相交于点人

连接“，FC.卜,列结论：①AG=BF：②FG//BE：③**④NOOE=«T：

其中正确的结论有（）个.

15.如图，在VABC中，改-6,"改的面积为21,A8的垂直平分线分别

交他、K于点M、N,若点。和点。分别是线段，的和8c边上的动点，

连接股，即,则.叩+PQ的最小值为.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.命题“直角三角形两锐角五余'’的逆命题可表述为.

12.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放宜在明上，两把直尺

16.如图，Afl-flC-m,AD//WC,4-虾，点£在四边形人的边若

的接触点为户，边外与其中一把直尺边缘的交点为•点c和夕在这把直

是等腰三角形，则NW：的度数是.

尺上的刻度数分别是2.2cm和2m.则X的长为.

&*流《（共24荻）欧分试IB狄4页（共24页》

=.解答题(第17,1g,19,20题，每题6分，第21,22,23题,19.如图，在VA*中，Z4c«=«r,cniARfn,跖平分/AR「，交m于点

每题8分；第24,25题，每题12分；共9小题，共72分)F,交AC于点E.

17.如图所示，已知VA8C中，AB=AC,ZMC=I2(F,AC的垂直平分线EF交(1)求证：AS■是等腰三角形；

Z于点E,交于点忆连接跖.(2)若/「即-11夕，求4的度数.

⑴试判断少肝是什么三角形？并说明理由：

⑵若b-km,求比的长.

20.如图，于点、£,于点F,4。=6,ac=cr.

(1｝求证：［把=1年:

(2)已知"=20,*4,求八9的长.

13.如图，在RtaABC中，”・财，A&-I3,AC=S,以点A为例心，适当

长为半径作弧，交A8于点M,交代于点N,再分别以点M,N为圆心,

大于以小的长度为半径作近，两弧在丫血的内部相交于点D.作射线也

交此「♦点£

⑴求W的长：

⑵求aABE的面积.

21.如图，在边长为4cm的等边VAW?中，点P,2分别是边小比•上的动

点(端点除外)，点，从顶点A,点。从顶点B同时出发，且它们的

速度都为km，h,连接A0C交于点M,在点P,Q运动的过程中.

(1)求证：维CP.

(2)连接当点〃，。运动杪时，“照是直角三角形.

【感知】如图I，在VMJC中，即、CP分别是和NAE什J角平分线.

【应用】

22.我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于

(])若NAHC-W.ZACH-W,则ZBPC-:若“AC-朽，贝ljZ3PC_；

第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点

(2)求人叱与4之间的关系并证明：

为勾股顶点.

【拓展】

【特例感知】

(3)如图2,在四边形AKO中，斯、CP分别是4改1和比。的角平分线.

(1)①等腰自角三角形(填“是”或“不是”)勾股高三角

求NWC与/八，〃>的数星关系.

形：

②如图I,已知VMC为勾股高三角形，其中点C为勾股顶点，4BC.CD

是人&边上的高.若皿>=2/。=6,试求5的值：

24.如图，在V,9中，点。在.48h,过点。作加：〃*,交/C于点£，R

【推广应用】

平分4小，交4出的平分线于点。，b与以相交于点G,ZACF的平分

(2)如图。等腰三角形为勾股高三角形，其中八8=AC8C.CD为项

线CQ与8相交于点Q.

边上的高，过点"作小〃枇"交4边丁点£.若C£■眄，试求线段班的长

度.

(1)若4-40,ZB-»,则NnPC=°,N0='

(2)求证：NQ=g〃：O

图2

&芬流《跳，交(共24荻)

⑶若△户CQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，话直接写出所有符线上，试探究啾和e的数量关系，并证明你的结论.

合条件的4的度数.【实际应用】

如图4是一块肥沃的三角形土地，B中“边与灌渠相邻，李伯伯想在

这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：

①用录角器取4e的角平分线S：

②过点“作仞_LC。于O.已知面积为26,则划出的的

面积是___________.

25.【问题情境】

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图I.8平分加.点

人为OW上一点，过点“作“UW,垂足为C,延长“■交＜w于点"，可根

据,证明则AO=MAC=BC（即点C为A8的中点）.（参考答案）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

题号12345678910

MlIH2IH)阳4答案ABCDBDDBBC

【类比解答】

如图2,在VA比中，0＞平分4c8.AEJ.CO于E,若/以。-皑4-3下，通过上二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

述构造全等的办法，可求得.11.两个锐角互余的三角形是直角三角形12.32m13.第。/37度

【拓展延伸】14.2515.716.50•或65"或130°

如图3,V/UJC中，AB-AC.^BAC-W.Cf）YBELCD,垂足E在C"的延长

三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题,

每题8分；第24.25题，每题12分：共9小题，共72分）

17.

由作图可得仙是KAB的角平分线，

【详解】(1〉解：w是直角三角形，理由如下：

VZC=905,可'AB,

VAB=AC,ZaAC=l21F,

：.EC~EF,

/.ZB-ZC-.W,

在Rl&UX•和Ru/UF中,

是AC的垂直平分线.

[EC=Ef

i人£:人占'

zMC=NC=xr,；•Ra人氏士IRAAET(HL),

又〈ZftAC=120°,A人尸二人C二5,

ZfMF-900,/.BF-M-人尸・8,

••,小”是直用三角形；.....3分设CT=cr=4,则比=I2-X,

：sZ2

(2)解：'EFkAC,ZC-30,在R3口中，BE、EF♦BF9

/.AV=2£>=2im,.,.(12-xf=/+f，

:.M-2cm,解得，号，

XV4=30>,吟，

/.M-2用-4on,/.=14fix£A=lxl3xy=...................6分

flC=BF+FC=6cm..................6分19.

18.【详解】(1)证明：VZAC»-9(r,CDLAH,

【详解】(I)解：•在Rt&4K中，ZC-W,48T3,AC-5,:・/CEF,«BE-期.WD+ZF6D-M,

«C=VAB:-AC!=VI3!-5:=12;..........2分V即平分NW,

(2>解：过点E作EfUAW于点凡如图所示：：./DBF-/CBF、

AZC»=Z^FD,

&冬流《»11£<»24®)歙冬流型512页《共24支》

Vzcfr=zzv7>,VAC=3）,

Azcfr-zcre,•\AE-^F-20-4-l6t

rF=rr,/.Aff=^F-HA=l6-4=P...............6分

・LC4是等腰三角形：.....3分21.

（2）V^CAB=1I50,【详解】（1）证明：依题意得：如=”，

•.MM是等边三角形，

:./尸初=财@=纱，：.Aff=CA9N3-NCV>-60,

♦.,郎平分/加，在。阳和qv•中，

:./OfA=2/FBD5.八”。

NB-/C4P,

•♦.4=9（尸一5（产二班......6分即・A?

20..•sAB^CVXSAS）：.………4分

【详解】（1）证明：•；皿如"上AC，<2）解：设点九Q运动的时间为/秒，

Z£-ZDFC-W,/.BQ-AF-icm,

在Rb8即和R„D中，v^fiC为等边三角形，且边长为&m,

'W二8.-.Zfi-fKT,人〃-4on,

:*R252Rld甲口.），..胪二=（I）5n.

.*.£）£=DF•...........J分当J畋是直角三角形时，有以下两种情况,

•：2）解：在做.佻“和-6。中，①当时，如图1所示：

（DC-DF

L。・入。'

:.Rl&U）£^RSM¥（HL）,

,:VADE^ADF,RtAfi£/>^RtACFD,

•二人E二人户.CF二砾"，

在RSPKQ中，,

故答案为：是；…....2分

•【I"，），②•.•VA8C为勾股鬲三角形，点C为勾股顶点，AOBC,

.解得，:.AC-暧-CD'

•••3-5=ay.BC1-Biy=CD:.

即当点P，。运动々秒时，/9列，此时A咖是直角三角形:

\N>=BC.

②当NQP8=M时，如图2所示：

：.CD'=AIT-Bl）2=36-i=32.…,.…4分

（2）如图，过点八作AGJ.M,垂足为点G.

在RM3中，ZBf?P-9（r-ZB-.W,

等腰三角形人叱为勾股高三角形，

：.BP-\BQ,•I

日AB^AC>SC.

—5，

解得：，彳，,只能是人小-"Le,，由（1）②知AQ二M.

又・・穆〃纥

即当点P，。运动g秒时，ZQPB3,此时“如是直角三角形，

综.上所述：当点尸，。运动:秒或5秒时，步他是直角三角形.:/\DE・/R,^AEI）=ZACH,

故答案为：g或3...........8分而乙48一/（7必一如，

A/U；/?S&CD«IAAS>.

22.

：.DG=RI）

【详解】解：（I）①等腰直角三角形是勾股高三保形.

VAB=AC9

设等腰直角三角形的直角边长为“，

.•.ZB-XB,

则斜边长为E7-岛，

/ADE・/人叫

•・•W2a）'y,

••等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高,

.・.V/U把为等腰三角形，

••等腰直角三角形是勾股高三角形，

根据三线合一原理可知所”必20

教学流心跳“页歙学依凯16页《共24页》

又■.FH-MWE,=90-4-ZA；................5分

..BD=CE=S.(3)解：Z4+/O-2/8W?.

■................8分如图，延长RLm,交于点E,由（2）知，Zrtfr-W^lzp,

23.

【详解】(1)解：若/丽=豌么8=町，

，；BP、CP分别是4BC和NAC"的平分线，Z/tBC-505,Z4C«-W,

BC

4

/./PHC-\/ARC-25-,/PCH-1ZACH-35,Z&W=NE+Z4Z)fe-.ZC7M=NE+/.DAE,

:./UPC-I8CF-ZPBC-/.PCB-120^,ZBSrNCEW-Z£+Z£+NAZ把+Z/ME-1町+NE,

^ziMC-Ttr,Z£>NAS+NOM-W,

VBP、W分别是WABC和NACB的平分线，ZB/X=9(F+lz£

:,ZPBC-17.ABC,ZPCB-1ZACB,-90小：(W0+NC/M-1800)

/.“rc-iso--iLruc-erCB-wfi期一々twc).w•；N<MC,

":Z/MC-TV,=；(NW+N«M),

:,Z«/,C-90°*1Z£UC-90°^ix7<r-125°,即4如/0«=2/8«7......................8分

叔答案为：।好：125°：................2分24.

•2)解：/种理由如下：【详解】（I）解：NZ9,

♦：RP、CP分别是和4E的平分线，.-.ZACfl-IHJT-Z4-ZB-SO5,

.：NPRC-1/.ABC,/PCR-T/人CA,V。》平分/ACS,

.-.ZSCP=ZACP=1Z4CS=40*,

:.ZBPC-ZP阮-，PCB

=I8O,-(Z/,BC'+Z/T-B)VDE//HC,

-\W-\{^ABC-^ACB)■■■=NB=ftf,NPGD=NBCP="F,

=ll«r-i(l8(F-ZA)"，犷平分

(3)解：设ZA=c,则ZQN-好-：a,/Q=；a.

Z/

AZDPC.即7NFCQ=9(r,

：.“rc=iso〉-UP=？(r,••可分类讨论，

・・・CP平分/八m,CQ平分ZACF,①当"CQ-3NCPQ时，

AZ/tCP-lz/tG?,"CQ-g/ACJ

vZACW.NACF•吩，解得时加，

.--乙U7>+Z4CQ=90,,即"CQ=9(r,ZA=I2O*；

.-./QW-NQ/C-W.②当/KQ-3NQ时，

.•.la--x9（r,

答：”0,20......................4分

23'

(2)证明：设4”,则NACBrN3=d«r-a.解得a=«F,

・・・oe〃雇,-,.zA-«r

③当“户Q=3N。时.

/./ADE・/R,ZTGO=ZTCYJ.

-•W"-^a=3«1",

v"＞平分/内正,CP平分/«8,

.-.，PDE-gZ/IDS-g/B,/PCBICB-ZTOD,解得时讨，

-,­4-45°;

A•二180--XW£+/皈力

④当W-3”①时，

-ISO」(/"♦/八的

-'■JxjW1-1«）-:a,

=180--xJIMf-a)

-90+*,解得a-135。，

-,.ZA-IA5,

:■.NQPC-lSn-jw[-90-；a,

综上可知4=45。或或120♦或IW.

・・・N人e+NACF-IWX,

答：4的度数为心。或副或I灯或I3S。.......12分

；・ZACP^^ACQ=90,U|]£P€Q=90,

23.

:/Q-9a-Z<??C-90-^90j.la

【详解】解：问跑情境：平分“CV，

；•”-*.......“....8分

欲分试0办IQ页《