2026高考数学二轮复习专项突破：直线与圆

第1讲直线与圆

—探究真题明确方向匚

1.（2025・天津，T12）已知尔x-），+6=0与x轴交于点4,与y轴交于点B,与（x+l）2+（y-3产=/（r>0）交于C,D两

点，kW|=3|CD|,则尸.

2.（2024•全国甲卷，理T12）已知〃是a,c的等差中项，直线ax+/?y+c=0与圆f+a2+4）-1=0交于A,B两点,

则|A8|的最小值为（）

A.lB.2C.4D.2V5

3.（2023•新课标II卷，T15）已知直线#皎+1=0与。C：（41尸+9=4交于A,B两点,写出满足“△A8C面积

为黑的〃?的一个值为.

4.（2023•新课标I卷，T6）过点（0,-2）与圆d+），2-4x-l=0相切的两条直线的夹角为a,则5访口等于（）

A.lB.叵C.叵D.渔

444

5.（2025•全国I卷,T7）已知圆产+（时2）2=/（»0）上到直线产V5x+2的距离为1的点有且仅有两个,则「的取

值范围是（）

A.（0,1）B.（l,3）

C.（3»+°°）D.（0,+°°）

6.（多选）（2021・新高考全国I卷，T11）已知点尸在圆（x-5）2+G，-5）2=I6上，点A（4,0）,8（0,2）,则（）

A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NP8A最小时，|P3|=3&D.当/尸84最大时，|PB|二3&

命题热度：

本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为

5〜6分.

考查方向：

一是直线的方程、两直线的位置关系、距离问题；二是圆的方程，主要考查圆的方程的求解以及几何性质

的应用；三是直线和圆的位置关系，主要考查位置关系的判断，由位置关系求解参数的值或范围，由弦长、

半径和圆心距引发解三角形是重点：四是圆与圆的位置关系，主要考杳位置关系的判断和公共弦等相关问

题.

1.答案2

解析由题意得直线/工x-y+6=0与x轴交于A（-6,（））,与y轴交于8（0,6）,

所以|A8|W62+62=6企,则|CO|=2或，

圆(x+l)2+(y-3)2=/的半径为r,圆心(-1,3)到直线八：x-y+6=0的距离为d=匕浮幺=或，故

\CD\=2\/r2-d2=2Jr2-(V2)2=2V2,

解得『2(负值舍去).

2.答案C

解析因为〃是a,c的等差中项，

所以2b=a+c,c=2b-a,

代入直线方程aY+〃y+c=O得cix+by-2b-a=0,

即a(*l)+b(y+2)=0,

.fx-1=0,fx=1,

令,得zl3，

.y+2=0,[y=-2,

故直线恒过(1,-2),设P(l,-2),

圆化为标准方程得F+()，+2尸=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，如图，

由图可知，当PC_LA8时，|4阴最小，

又〃C|=l,|AC|=VS,

此时|A8|=2|AQ=2j|4C|2一|PC|2

=275-1=4.

3.答案2(2,-2,一3中任意一个皆可以)

解析设直线x-小)，+1=0为直线/,点C到直线/的距离为乩由弦长公式得依阴=27^^,

所以5AABC=;Xt/X274^2=^

解得仁竽或仁平，

又用普普

所以；^方¥或石/等，

解得优二土]或nt=±2.

4.答案B

解析如图，设40,-2),两切点分别为&C,

由丁+9-4.1-1=0得(*2)2+)2=5,所以圆心坐标为(2,0),半径广西，

所以同心到4(0,-2)的距离为J(2—0)2+(0+2尸=2企,

由于圆心与4(0,-2)的连线平分/B4C,

U匕1、］.乙BACr、■V1O

所以

所以cosNBAGlIsii?号蛆=-<0,

所以N84C为钝角，且NZMC+ar,

所以sina=sinZBAC=>/1—cos2z.BAC=^-.

4

5.答案B

解析由题意，在圆/+。叶2)2=/(/>0)中，圆心为E(0,-2),半径为广,

•・•圆心E(0,-2)到直线产百x+2的距离为二增工20=2,

J(V3)2+(-l)2

故由图可知,

当尸1时,

圆/+()，+2尸=/(/>0)上有且仅有1个点(A点)到直线广岳+2的距离等于1；

当r=3时，

圆f+(y+2)2=/(»0)上有且仅有3个点(8,C,D点)到直线产1+2的距离等于1,

则当r的取值范围为(1,3)时，

圆./+。+2)2=，(/>0)上有且仅有2个点到直线>=x/3x+2的距离等于1.

6.答案ACD

解析设圆(片5尸+0-5)2=16的圆心为M(5,5),由题易知直线A8的方程为渭=1,即x+2)，-4=0,则圆心M

到直线AB的距离仁里等旧=装>4,所以直线与圆M相离，所以点P到直线的距离的最大值为

4+仁4瑞，4+35+/3二10,故A正确.

易知点?到直线A3的距离的最小值为小4=薨-4,竟4<栏-4=1,故B不正确.

过点B作圆M的两条切线，切点分别为N,Q,如图所示，连接M8,MN,MQ,则当/户以最小时，点

P与N重合,|PA|二J|MB|2一|MN|2=j52+(5—2、-4ym当NP84最大时，点尸与。重合,

|PB|=3V2,故C,D都正确.

考点一直线、圆的方程

例1(1)(多选)下列说法正确的是()

A.已知直线X+)F=0与直线3x@，+3=0平行，则它们之间的距离是四

B."1"是“直线a2x-y+1=0与直线x-"-2=0互相垂直”的充要条件

C.当点P(3,2)到直线〃a-)，+l-2m=0的距离最大时，〃?的值为-1

D.已知直线/过定点P(l,0),且与以A(2,-3),3(-3,-2)为端点的线段有交点,则直线/的斜率k的

取值范围是(-8,+8)

答案ACD

解析对于A,直线x+y/=O与直线3x-ay+3=0平行，贝U1X(-办3=0,解得«=-3,

直线3x+3y+3=O,即x+)，+1=0,

则直线x+.y+3=0与直线x+yH=0的距离为黯二鱼，选项A正确；

对于B,由两直线互相垂直得，6rXl+(-l)X(-«)=0,解得或〃=0,可知“斫-1”是两直线垂直的充分

不必要条件，选项B错误：

对于C,将直线方程变形为〃心2)+1-尸0,

%-2=0,得x=2,

由

11-y=0,丁=1，

则直线〃Lr-.y+1-2〃z=0过定点Q(2,1),斜率为/〃，

当直线mx-y+1-2/n=0与PQ垂直时，点P(3,2)到直线mx-y+\-2m=0的距离最大,

因为女也=:三二1,所以〃尸-1,选项C正确；

对于D,如图，攵力=49=-3

2—1

,-2-01

—3—1乙

由图可知，当攵或攵W・3时，直线/与线段A6有交点，故选项D正确.

（2）（多选）（2025・咸阳模拟）已知圆C的方程为/+）"8.什12=0,点M（x。，），o）是圆。上任意一点，O为坐标

原点，则下列结论正确的是（）

A.圆C的半径为2

B.满足|OM|=5.5的点M有两个

C.M）+2yo的最大值为4+2通

D.若点Q在x轴上，则使|OM=2|PM|恒成立的点?有两个

答案ABC

解析对于A,圆的方程可化为⑴4）2+）2=4,所以圆心C（4,0）,半径为2,故A正确；

对于B,由于|OC|=4,所以圆C上任意一点到原点的最大距离是4+2=6,

最小姐离是4-2=2,因此满足|OM|=5.5的点M有两个，故B正确；

对于C,令xo+2yo=f,贝ij40二12州，所以M（f-2yo,yo）»

将点M（f-2yo,光）代入圆。的方程并整理，

得5%+（16-4l加+（户-8什12）=0,

依题意有J=（16-4z）2-20（?-8z+12）＞0,即产-8MW0,

解得4-2遥W/W4+26，

因此即+2yo的最大值为4+2遥，故C正确；

对于D,不妨设P（m0）,由于|OM|=2|PM|,

所以、/诏+3=2J（工0—a）2+3,

整理得场+诏―沏+竽0.

因为点M（即，yo）在圆C上，

所以略+Jo&o+12=0,

贝I（詈一8）xo+（12—等）=0，

因为＜o为点M的横坐标，且点M为圆C上任意一点，

售-8=0，

所以4M

［12—「0，

解得。=3,所以符合要求的点P是唯一的，故D错误.

［规律方法］（1）解决直线方程问题的三个注意点

①利用Ai&X力尸0后，要注意代入检脸，排除两条直线重合的可能性.

②要注意直线方程每种形式的局限性.

③讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

（2）解决圆的方程问题一般有两种方法

①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.

②代数法；用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

跟踪演练1（1）（多选）已知直线/：），=去+2k-3,则下列说法正旃的是（）

A.直线/恒过定点(-2,-3)

B.若直线/在x轴上的截距为1,则上1

C.若直线/与直线2.r+y-l=0垂直，则k=-^

D.若则直线/的倾斜角的取值范围为E，冗)

答案AB

解析直线/：y=kx+2k-3=k(x+2)-3,令1+2=0,即x=-2,得y=-3,

所以直线八恒过定点(-2,-3),故A正确;

若直线/在4轴上的截距为I,则直线/过点(1,0),代入直线/的方程得0=A+2h3,

解得上1,故B正确；

若直线/与直线2x+.y-l=0垂直，则&X(-2)=-l,解得k—,故C错误；

设直线/的倾斜角为仇则心tan。28，

又夕£[0,兀)，所以由正切函数的单调性可知夕£椁，以，故D错误.

(2)(2025•江西四月适应性联考)与直线产冬和直线)75工都於切且圆心在第一象限，圆心到原点的距

离为近的圆的方程为.

答案81)2+°，-1)2二等

解析设圆心坐标为3,4)(。＞0,出＞0),

由于所求圆与直线_尸条和直线,y=Hx都相切，

|v^3a_3b|_|＞/3a-b|

改际Fh

化简得"二。'，而。＞0,。＞0,则〃=仇

又圆心到原点的距离为企，即/+*=2,

解得o=b=l,即圆心坐标为(1,1),

则半径为!^!=第，

故所求圆的方程为(X-1)2+()，-1)2二

考点二直线、圆的位置关系

考向I直线与圆的位置关系

例2(多选)(2025•石家庄模拟)已知直线/：.r+ay-3=0与圆C：x2+y2-8.r+6y+16=0,则下列说法正确的是

()

A.当1=2时，直线/与圆C相交

B.若直线/与圆。相切，则

•J

c.圆c上•点p到直线/的最大距离为m+3

D.若圆C上恰好有三个点到直线/的距离为2,则a=l

答案AC

解析当。=2时，直线/：户2)，-3=0,圆C的方程可化为。-4)2+射+3)2=9,

所以国心C(4,-3),半径L3,

贝U圆心C到直线/的距离dJ4+jx；3)3|二6<3,

所以直线/与圆C相交，故A正确；

因为直线/与圆C相切，所以圆心C到直线/的距离仁性泮或=3,解得斫-J,故B错误；

因为直线/恒过定点(3,0),

所以圆心C到直线/的最大距离为J(3—4为+(0+3)2=同,

则圆c上一点夕到直线/的最大距离为au+r=m+3,故c正确；

因为周C上恰好有三个点到直线/的距离为2,

所以国心。到直线/的距离仁与誓二1,解得。=0或〃三，故D错误.

vi+a-4

考向2圆与圆的位置关系

2

例3(多选)(2025•铜仁模拟)已知圆Ci：/+。+2尸=4,圆C2：x+)r-4y+a=0f贝U下歹！]说法正确的是

()

A.ti<4

B.若<7=0,则圆G与圆C2有且仅有1个公共点

C.若圆G与圆C2的公共弦长为4,则a=-16

D.当a=-32时，若动圆例与圆G外切，同时与圆C2内切，则点M的轨迹方程为9+[=1

答案ABC

解析对于圆。2：«+产4)升4=0,

转化为标准方程f+(广2)2=4-〃,

因为半径为"4一a>0,所以a<4,A正确；

若a=0,圆Ci：W+(y+2)2=4,

圆心Ci(O,-2),半径门=2,

圆Q：f+G-2)2=4,

圆心G(0,2),半径门=2,

两圆心间的距离6。2|=|-2—2|=4=八+厂2,则两圆外切，

所以两圆有且仅有1个公共点，B正确；

若圆Ci与圆C2的公共弦长为4,因为圆G的直径为4,

所以公共弦为圆G的直径，即两圆的公共弦所在的直线过圆G的圆心(0,-2),

.(x2+(V+2)2=4,

由10,)两式相减可得8);。二0,

1%24-y2-4y4-a=0,

将(0,-2)代入8y-«=0得16,C正确；

当。:32时，圆Cz：-r+(y-2)2=36,

圆心C2(0,2),半径竹=6,

圆G：f+(y+2)2=4,圆心G(0,-2),半径八二2.

设动画M的半径为R,因为动圆M与圆G外切，同时与圆。2内切,

则|MCj=R+2,|MQI=6-R,

所以|MC/+|MC2l=8＞IGC2l=4,

根据椭圆的定义可知点M的轨迹是以G(0,-2),CKO,2)为焦点的椭圆，且2〃=8,2c=4,

可得许4,c=2,b2=a2-r=16-4=12,

故其轨迹方程为1W=lG，W-4),D错误.

1612

［规律方法］(1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径j圆心到直线的距离乩及半弦长

构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.

(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆的方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.

跟踪演练2(1)(2025・湖南名校联合体模拟)已知直线/：尸去伏<0)与圆C：1+)，2-2%+4尹1=0相交于M,

N两点，其中点C为圆心，若。〈/MCNW容则Z的取值范围为()

A.呼，。)B.R0|

C•(一8，学］D.(-8,-力

答案B

解析W+)Z2x+4.y+1=0化为(x-1)2+(V+2)2=4,

所以回心C(l,-2),半径为2.

0<NMCNW』l<火2,

3

其中"为圆心。到直线/的距离.

因为苴翼

所以1＜韶＜2,

vfc2+l

因为攵<0,所以3Wk<0.

4

(2)已知圆C：(x-4)2+(y-3)2=l和两点A(-〃7,0),8。〃，())(〃?>()).若圆C上存在点。，使得乙4尸8=90。，则

m的最大值为

答案6

解析以48为直径的圆。的方程为/+)，2=/，圆心为原点，半径为厂产加,

圆C：(X-4)2+(^-3)2=1的圆心为(4,3),半径为卷=1.

要使mC上存在点P,使得NAP8:90。，则圆。与圆C有公共点，

所以|rT2|WQClW|n+闯,

即\m-11WV42+32^\ni+11,

|m-1|<5,

所以|m+1|>5,解得4W/〃W6：

jn>0,

所以m的最大值为6.

考点三隐圆

例4⑴已知点A(-3,0),8(3,0),若圆(x-a+l)2+G，-a-2)2=l上存在点M满足西?.而二5,则实数。的

值不可能为()

A.2B.lC.OD.-2

答案A

解析设M(x,y),因为拓?•丽:5,AM=(-3-x,-y)t丽=(3-x,-)，)，

所以雨•丽=(-3-x)(3-x)+())2=f-9+)，2=5,即f+)?=4,

所以点M的轨迹是圆，方程为丁+/二4.

由题意知，圆f+)，=4与圆(x-a+i)2+0-6/-2)2=1有公共点，

所以2-1Wj(a—1尸+(a+2产W2+1,解得-2WaWl,故A不满足题意.

(2)(多选)已知动点M与两个定点0(0,0),&3,0)的距离的比为(动点例的轨迹为曲线C,贝1」()

A.动点M的轨迹方程为(X+I)2+V=4

B.直线x・.y+2=0与曲线C交于A,8两点，则|A8|的长为今

C.曲线C与曲线D：(X-1)2+/=4的公切线有2条

D.已知点七(-1,1),点N为曲线C上任意一点，则2|N0HNE|的最大值为旧

答案ACD

解析设M(x,y),由翳得可得7^?当

化简得f+声功3=0,即(x+1)2+/=4.

故动点M的轨迹方程为(x+l)2+y2=4,A正确；

。+1)4)2=4的圆心为(-1,0),半径为尸2,

所以国心到直线x-y+2=0的距离衣1-覆+21喙

所以|A81=2Vr2-d2=2^4-1=V14,B错误；

曲线。的圆心为(1,0),半径为2,

因为两圆心间的距离为J(1++02=2,大于半径差小于半径和，所以两个圆是相交关系，所以公切线

有2条，C正确；

由题意得动点N与点。(0,0),点P(3,0)的距离的比为也所以2|NO|-|NE|=|NP|-|NE|W|PE|二g,D正

确.

［规律方法］发现隐圆的主要方法

(1)由定义可以判断(动点到定点的距离为定值).

(2)由两定点4,B,动点P满足方•丽="2是常数)，求出点尸的轨迹方程确定圆.

(3)由两定点A,B,动点P满足|E4|2+|P4『是定值确定圆

(4)由两定点A,B,动点P满足瞿上却＞0且2H1)确定圆(阿波罗尼斯圆).

跟踪演练3(多选)在平面直角坐标系中，存在三点A(-l,0),8(1,0),C((),7),动点P满足

\PA\=y［2\PB\,贝l」()

A.点P的轨迹方程为(X-3)2+)，2=8

B.当△PAB面积最大时，|PA|二2遥

C.当最大时，|/JA|=2V6

D.点P到直线AC距离的最小值为?

答案ABD

解析设P(x,y),

由|PA|二V5|P阴得|PAk2|P阴2,

即(X+1)2+)?=2©・1)2+力,

化简得,

即点P的轨迹方程为a-3)2+)，2=8,A正确；

•・•直线A8过圆(x-3)2+y2=8的圆心，

・••点P到直线48的距离的最大值为圆(43)2+)，2=8的半径，，即为2注，

•小8|=2,

•••△PA8的面积最大为［X2X2鱼=2鱼，

此时P(3,±2V2),

：.\PA\=J(3+l)2+(2V2)2=2V6,B正确;

当NPAB最大时，

则PA为圆(43)2+9=8的切线，

・・・|PA|=J(3+1)2-8=2或,C错误；

直线4C的方程为7x-y+7=0,

则圆心(3,0)到直线AQ的距离为二胃,

・••点P到直线AC距离的最小值为竿-2&=等，D正确.

专题强化练

［分值：85分］

一、单项选择题(每小题5分，共4()分)

1.(2025・乌鲁木齐适应性检测)直线/：2x+3y-l=0的一个方向向量为()

A.(3,2)B.(3,-2)

C.(2,3)D.(2,-3)

答案B

解析由直线方程为2x+3)，・l=0,则(3,-2)是直线的一个方向向量.

2.(2025・新余模拟)已知直线(〃?+l)x+3y+l=0与直线4工+〃/1=0平行，则m的值为()

A.3B.-4

C.3或-4D.3或4

答案B

解析由题意得"1(机+1)-12=〃72+〃?-12=(〃?+4)(〃?-3)=0,可得m=-4或m=3,

当初二-4时，直线3x-3y-1=0与直线4片4)，+1=0平行，符合题意；

当〃『3时，直线4x+3,M=0与直线4x+3y+l=0重合，不符合题意；

/.m=-4.

3.(2025・绍兴模拟)直线x=2被圆(心1)2+()，・2)2=5截得的弦长为()

A.2B.4C.2V3D.2V5

答案B

解析圆(r1)2+。-2)2=5的圆心为(1,2),半径r=V5,

又圆心(1,2)到直线尸2的距离4|2-1|=1,

所以弦长为23一d2=2j(遮/一M=4.

4.(2025•佛山质检)在平面直角坐标系中，曲线C：苧+粤=1的周长为()

43

A.12B.14C.16D.20

答案D

解析曲线等价于

43

x>0,fx>0,

y>0,或｛yWO,

Ijk-y=i

43、43

X<0,fx<0,

或《ym0,或，yW0,

一+'=1

143'43'

(X>0,

其中］yNO，表示以(4,0)和(0,3)为端点的线段，

Ui

、43

其长度为同理可得，其他线段的长度均为5,

所以曲线C：叫粤=1的周长为4X5=20.

5.(2025・包头模拟)若。+2)2+()，+1尸=2,则号1的最小值为()

A.-lB.OC.lD.2

答案B

解析令P(x,y),又也工经■+1，

/XX

令A,整理得七t-y-1=0,

由题意可得I整理得好/WO,解得-1WAW1,

一vl+k2生

所以0W"口＜2,故把空1的最小值为0.

XX

6.(2025•宁波模拟)已知点M(a,0),NQ,3)到同一直线的距离分别为2,3,若这样的直线恰有2条，则。

的取值范围为()

A.(-2,0)B.(-2,6)

C.(0,6)D.(2,6)

答案B

解析以M(〃，0)为圆心，2为半径的圆为(心。)2+)2=4,

以M2,3)为圆心，3为半径的圆为(.2)2+()，-3)2=9,

若符合题意的直线恰有2条，则上述两圆相交，

而|MM=J(2-a)2+9,

所以lv|MN]<5,即l<，(2—a)2+9<5,

可得l<(2-a)2+9<25,

所以-4<2-a<4,解得-2<a<6.

2

7.(2025・安庆模拟)已知点P在圆(％-习+)弓上，7(-2,0),M(l,1),则g|PA|+|PM|的最小值为()

A.lB.VZC.2aD.VTO

答案B

解析设P*,y),B(a,0),；|PA|=|PB|,

则:J(x+2)2+y2=y/(x-a)24-y2,

9a+29a2-4„

整理得----=0

---4---X+8

已知点P的轨迹方程展开整理得V+)2-5X+4=0,

—=5,

则9工44解得“2，所以8(2,0).

I8

所以』PA|+|PM=|PB|+|PM21MBi=42—+(0—1)2=或,

3

当P在线段8M上时等号成立，所以勺R4|+|PM的最小值为鱼.

8.(2025•沈阳模拟)函数府尸手+VN-8x+25(0WxW4)的最小值为()

A.4B.竽C.苧D.5

答案C

解析因为人幻二冬+J(x-4)2+(3—0)2,

当.『0时，<0)=5；

当0<xW4时，如图所示.

N一

0|A5X

设P(H,3),C(0,3),A(4,0),N尸C8=45°,PBLCB于点、B,

则/x)=|PC|sinNPCB+|P川=|PB|+|P川,

由图可知，|PB|十|P川的最小值为点A到直线BC的距离d.

易知直线BC的方程为)=x+3,

即JC->+3=0,

所以人导等5,

故7U)的最小值为苧.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.(2025・潍坊模拟)已知点P(2,2),圆C/+产=18,贝1」()

A.点P在圆C内

B.点P与圆C上的点之间的最大距离为6V2

C.以点P为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0

D.过点P的直线被圆C截得弦长的最小值为g

答案AC

解析对于A,因为22+22=8<18,所以点P在圆C内，故A正确；

对于B,由伊口二，22+22=2或,圆C的半径r=3或，

知点P与圆。上的点之间的最大距离为2或+3或=5&,故B错误；

对于C,由

kpc=2z—~0=1,

可知以点P为中点的弦所在直线的斜率为后-1,故以点P为中点的弦所在直线的方程为)，-2=・(『2),即

x+y-4=Qt故C正确;

对于D,由圆的性质可知，当PC与过点P的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为

2y/r2-|PC|2=2V18-8=2V10,故D错误.

10.下列说法错误的是()

A.%=-1”是“直线工/尹3=0与直线a*)，+l=O互相垂直”的充要条件

B.直线xcos”+3=0的倾斜角9的取值范围是[0,引U旨，IT)

C.若圆G：f+V6+4y+12=()与圆Q：f+/14»2门方()有且只有一个公共点，则斫34

D.若直线/过点M(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为1+产1

答案ACD

解析对于A,当昕-1时，直线x+y+3=O与直线正产1=0互相平行，

即％="”不是"直线心协+3=0与直线内-)，+l=O互相垂直”的充要条件，所以A错误；

对于B,由直线xcosa-y+3=O的倾斜角。满足tan@=cos[-1,1],

因为昨[0,兀)，可得owew：或詈WM,所以ew[o,1口岸，穴)，所以B正确；

对于C,圆G：W+FSK+qy+lZR的圆心为c(3,-2),半径r=l,

2

圆C2：x+)2-14x-2y+a=0的圆心为。2(7,1),半径&W50-。3<50),

因为两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，

则J(3-7尸+(-2—1)2=5=1+，50—a或J(3-7)+(-2-1)2=5、|1750-a|,

解得<7=34或〃=14,所以C错误：

对于D,由直线/过点M(-2,3),

当直线/在两坐标轴上的截距相等，且不为0时，设直线/的方程为2d=l,

aa

可得?号=1,解得“1,此时直线方程为x+)=l;

当直线/过原点时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线/的方程为y=-1*所以D错误.

11.(2025・渭南质检)设直线系M：xcose+()，-2)sine=3(0W*27r),则下列四个命题为真命题的是()

A.A1中所有直线均经过一个定点

B.存在定点P不在M中的任一条直线上

C.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

D.对于任意整数〃(〃23),存在正〃边形，其所有边均在M中的直线上

答案BD

x—3cos。，

解析对于A,令

y=2+3sin。,

消去。可得f+(广2产9,圆心(。,2)到直线系M中每条直线的距离仁京嬴福=3=八

故直线系M表示圆f+(y-2户9的切线的集合，故A错误；

对于B,对任意0,存在定点(0,2)不在直线系M中的任一条直线上，故B正确;

对于C,直线系M中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边

△AAC和等边△ADE,故C错误；

对于D,由于圆f+°，-2）2=9的外切正〃边形（〃23）,其所有边均在直线系M中的直线上，故D正确.

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.（2025•安徽A1O联盟质检）已知圆C：f+V-〃?『4=0上存在两点关于直线x-y-3=0对称，则圆C的半径

为.

答案V13

解析因为圆卜存在两点关于直线人），-3=0对称，所以官线x-），-3=O过圆心（三，0）,

从而］-3=0,解得m=6,

则圆C的方程为（广3）2+V=13,

故圆。的半径为g.

13.（2025・红河州、文山州、普洱市、临沧市检测）己知直线/：〃ir+〃产3（〃?>0,〃>0）,若直线/被圆

2尸0所截得的弦长为2VL贝「〃〃的最大值为.

答案

解析因为圆（x-1）2+（y-1）2=2的半径r=V2,

圆心（1,1）,直线/被圆所截得的弦长为2位，

所以园心（1,1）在直线〃次+〃产3上，即〃?+〃=3,

又因为相〃<（殁，

当且仅当〃时，等号成立.

所以mn的最大值为，

14.（2025•齐鲁名校联考）已知三个正数外,a上构成公比为虱"1）的等比数列,圆G：（x-

4）2+上稻工1,2,3）,过圆G上一点P分别作圆G，C2的切线，切点分别为Q,R,若翳哼则

q=•

答案3

解析不妨设片=1,r2=%卞。\

则三个圆心分别为G(l,0),6⑷0),J*0),

2

根据勾股定理得|PQ|2二|PC1|2.1,|P/?|=|PC2|V，

|PR|2jPC2|2-q2=3

IHQI2-IFC1I2-1"4'

因为点尸在圆（无一q2）2+y2引上,

故可设点P(/cos〃+/,端sin。)，其中。工兀,

则(q-ose+qlqf+e.sine)」一,〃二3

(q2cos0+q2-l)2+(q2sin0)2-l4’

敕理得2q3(q-l)(l+cosl)=3

工.一^2q2(q2-l)(l+cos0)4’

即含W，解得夕二3・

IR思维创新

（每小题6分，共12分）

15.（多选）（2025・新余模拟）数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有G）O：f+）?=l与x轴分别交

于A,B两点,P为。。上的动点，以4P为直径的。E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆时针转

过一周时，OE扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”（记作扬），则下列说法正确的是（）

甲乙

A.若N248吟则。E与x轴公共点的坐标为（-1,0）和“0）

B.图乙中M内的点到y轴距离的最大值为1.25

C.若以。为圆心的圆可以完全覆盖区域M,则该圆的半径最小为今更

D.图乙中M与），轴的公共部分上的点到不轴距离的最大值为警逅

答案ABD

解析对于A,设OE与x轴交于A,

•・FP为OE的直径，.,•PV_Lx轴,

由题意可知依阴二2,ZPAB=^A|AP|=V3,

6t

・・.（AA号，・・