有限元基础及在汽车中的应用 课件 第八章 流体力学的有限元法

有限元法基础及在汽车中的应用第8章流体力学的有限元法8.1CFD概述8.2典型CFD的计算原理8.3汽车外流场的有限元计算思路目

录CONTENTS123CFD概述汽车外流场的有限元计算思路内容导航图典型CFD的计算原理123掌握CFD的计算思路及计算流程。掌握典型CFD的计算原理及求解优缺点。学习目标掌握汽车外流场的有限元计算思路及分析要点。8.1CFD概述8.1.1求解流体力学方程分类CFD主要解决的是控制流动的流体力学基本方程，如：连续性方程、欧拉运动微分方程Navier一Stokes方程等。在流体力学中，不同流动的控制方程按其数学性质的不同可分为三种类型：（1）双曲型方程

如：一维对流方程（2）抛物型方程

如：一维对流扩散方程（3）椭圆型方程

如：Laplace方程8.1.2典型数值算法概述（1）有限差分法这是最早采用的数值方法，它是将求解区域划分为矩形或正交曲线网格，在网格线交点（节点）上，将控制方程中的每一个微商用差商来代替，从而将连续函数的微分方程离散为网格节点上定义的差分方程，每个方程中包含了本节点及其附近一些节点上的待求函数值，通过求解这些代数方程就可获得所需的数值解。有限差分法的优点是：它建立在经典的数学逼近理论的基础上，容易为人们理解和接受；有限差分法的主要缺点是：对于复杂流体区域的边界形状处理不方便，处理得不好将影响计算精度。8.1.2典型数值算法概述（2）有限元法有限元法的基本原理是把适定的微分问题的解域进行离散化，将其剖分成相连结又互不重叠的具有一定规则几何形状的有限个子区域(如：在二维问题中可以划分为三角形或四边形；在三维问题中可以划分为四面体或六面体等)，这些子区域称之为单元，单元之间以节点相联结。函数值被定义在节点上，在单元中选择基函数（插值函数），以节点函数值与基函数的乘积的线性组合成单元的近似解来逼近单元中的真解。利用古典变分方法（里兹法或伽辽金法）由单元分析建立单元的有限元方程，然后组合成总体有限元方程，考虑边界条件后进而求解。由于单元的几何形状是规则的，因此在单元上构造基函数可以遵循相同的法则，每个单元的有限元方程都具有相同的形式，可以用标准化的格式表示，其求解步骤也就变得很规范，即使是求解域剖分各单元的尺寸大小不一样，其求解步骤也不用改变，这就为利用计算机编制通用程序进行求解带来了方便。有限元法的主要优点是对于求解区域的单元剖分没有特别的限制，因此，特别适合处理具有复杂边界流场的区域。8.1.2典型数值算法概述（3）边界元法边界元法是在经典积分方程和有限元法基础上发展起来的求解微分方程的数值方法，其基本思想是：将微分方程相应的基本解作为权函数，应用加权余量法并应用格林函数导出联系解域中待求函数值与边界上的函数值与法向导数值之间关系的积分方程；令积分方程在边界上成立，获得边界积分方程，该方程表述了函数值和法向导数值在边界上的积分关系，而在这些边界值中，一部份是在边界条件中给定的，另一部份是待求的未知量，边界元法就是以边界积分方程作为求解的出发点，求出边界上的未知量；在所导出的边界积分方程基础上利用有限元的离散化思想，把边界离散化，建立边界元代数方程组，求解后可获得边界上全部节点的函数值和法向导数值；将全部边界值代入积分方程中，即可获得内点函数值的计算表达式，它可以表示成边界节点值的线性组合。边界元法的优点是：将全解域的计算化为解域边界上的计算，使求解问题的维数降低了一维，减少了计算工作量；能够方便地处理无界区域问题，对于无限区域问题，无需确定外边界，只需在内边界上进行离散即可；边界元法的精度一般高于有限元法。边界元法的主要缺点是：边界元方程组的系数矩阵是不对称的满阵，该方法目前只适用于线性问题。8.1.2典型数值算法概述（4）有限体积法有限体积法又称为控制体积法，其导出离散方程的基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，每一个控制体积都有一个节点作代表，将待求的守恒型微分方程在任一控制体积及一定时间间隔内对空间与时间作积分；对待求函数及其导数对时间及空间的变化型线或插值方式作出假设；按选定的型线作出积分并整理成一组关于节点上未知量的离散方程。有限体积法着重从物理观点来构造离散方程，每一个离散方程都是有限大小体积上某种物理量守恒的表示式，推导过程物理概念清晰，离散方程系数具有一定的物理意义，并可保证离散方程具有守恒特性，这是有限体积法的主要优点。就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间物，该方法的主要缺点是不便对离散方程进行数学特性分析。8.1.2典型数值算法概述有限分析法在某种意义上说是在有限元法基础上发展起来的一种数值方法，其基本思想是：将求解区域划分成矩形网格，网格线的交点为计算节点，每个节点与相邻的四个网格组成一个计算单元，即一个计算单元由一个中心节点与8个相邻节点组成；在每个单元中函数的近似解不是象有限元方法那样采用单元基函数的线性组合来表达，而是以单元中未知函数的分析解来表达；为了获得单元中的分析解，单元边界条件采用插值函数来逼近，在单元中把控制方程中非线性项局部线性化，并对单元中待求函数的组合形式作出假设，找出其系数用单元边界节点上待求函数值表达的分析解；利用单元分析解确定单元中心节点与8个相邻节点间待求函数值之间关系的一个代数方程，称为单元有限分析方程；将所有内点上的单元有限分析方程联立，就构成总体有限分析方程，通过代数方程组求解，即可获得求解区域中全部离散点的函数值。虽然有限分析解获得的是求解区域中离散点的函数值，但是由于每个单元内部都有与其中心节点对应的分析解表达式，因此有限分析解在每一个节点的局部区域内都是连续可微的，这对于需要计算求解函数导数的计算流体力学问题具有明显的优势。该计算方法与有限元、有限差分法比较具有较高的精度。有限分析法的缺点是对复杂形状的求解区域适应性较差。（5）有限分析法8.2典型CFD的计算原理8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.1

差分网格8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.2

离散近似（1）一阶中心差商8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.2

离散近似（2）一阶向前差商8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.2

离散近似（3）一阶向后差商8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.2

离散近似（4）二阶中心差商8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.3

差分格式构造（1）中心差分格式(FTCS)8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.3

差分格式构造（2）向前差分格式(FTFS)8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.3

差分格式构造（3）向后差分格式(FTBS)8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.4

差分格式的相容、收敛性和稳定性8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.4

差分格式的相容、收敛性和稳定性8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.4

差分格式的相容、收敛性和稳定性（3）稳定性在CFD计算中，由于每次计算时计算机上只能取有限位，因而有舍入误差。如果计算步数很多，舍入误差可能会积累。所以要讨论舍入误差在全部数值计算过程中的发展问题，这就是差分解的稳定性问题。人们通过大量的实践和理论分析发现，同一间题的各种差分格式在一定的条件下，对误差的敏感程度不一样。例如：某种格式在一定条件下，若计算中某处产生了误差，则这个误差将对以后的计算产生影响。如果这一误差对以后的影响越来越小，或是这个影响保持在某个限度以内，那么就称这个差分格式在给定条件下稳定，这个条件就是它的稳定准则。如果误差的影响随着计算步数的增加越来越大，使计算的结果越来越偏离差分格式的精确解，而毫无实用价值，那么这种情况就是不稳定的。8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.5

三种典型方程的差分格式（1）对流方程的差分格式

1）迎风格式8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.5

三种典型方程的差分格式（1）对流方程的差分格式

2）拉克斯（Lax）格式8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.5

三种典型方程的差分格式（1）对流方程的差分格式

3）拉克斯-温德罗夫（Lax-Wendroff）格式8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.5

三种典型方程的差分格式（1）对流方程的差分格式

4）麦克科马克（MacCormack）显示格式8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.5

三种典型方程的差分格式（2）扩散方程和对流扩散方程的差分格式

1）克兰克-尼克尔森（Crank-Nicolson）格式8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.5

三种典型方程的差分格式（2）扩散方程和对流扩散方程的差分格式

2）拉克斯-温德罗夫（Lax-Wendroff）格式8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.5

三种典型方程的差分格式（2）扩散方程和对流扩散方程的差分格式

3）麦克科马克（MacCormack）显示格式8.2.1有限差分法的计算原理8.2.1.5

三种典型方程的差分格式（3）拉普拉斯（Laplace）方程的差分格式8.2.2窝量法的计算原理8.2.2.1

窝量法的基本思路8.2.2窝量法的计算原理8.2.2.1

窝量法的基本思路求解的步骤总结如下：8.2.2窝量法的计算原理8.2.2.2

窝量法的典型应用图8-8所示空腔中的流动是一个典型的窝量法应用的算例。在这个例子中，上盖板匀速运动驱使空腔中的粘性流体产生运动，边界条件在图8-8上标明。这个例子曾用于检验各种求解二维N一S方程的差分格式。8.2.3伽辽金法的计算原理8.2.3.1

伽辽金法的基本思路8.2.3伽辽金法的计算原理8.2.3.2

伽辽金法的典型应用例8-1

基于Galerkin法求解下面的常微分方程边值问题。x0.20.40.60.8精确解0.036100.062780.071020.05250近似解0.036250.062570.070760.05264表8-1

Galerkin法得到的近似解和精确解对比列表8.2.4有限元法的计算原理8.2.4.1

有限元法的基本思路有限元法的解题步骤是：（1）区域剖分；（2）选取单元插值函数；（3）写出Galerkin积分表达式；（4）形成单元有限元方程；（5）总体合成整体有限元方程；（6）边界条件的处理；（7）解总体有限元方程；（8）计算其他有关物理量。8.2.4有限元法的计算原理8.2.4.2

有限元法的典型应用例8-2

计算平面泊肃叶(Poiseuille)流动问题。流动的微分方程和边界条件为单元号①②③④节点号12345整体编码1、22、33、44、5x坐标00000局部编码1、21、21、21、2y坐标00.25h0.5h0.75hh表8-2单元与节点信息8.2.4有限元法的计算原理8.2.4.2

有限元法的典型应用例8-3

计算如图8-10所示的圆柱绕流问题。8.2.4有限元法的计算原理8.2.4.2

有限元法的典型应用例8-3

计算如图8-10所示的圆柱绕流问题。8.3汽车外流场的有限元计算思路8.3.1CFD计算流程CFD的一般过程为：建立数学模型，构造计算格式，计算，后处理等。对于稳态流动，其过程如图8-13所示。对于非