实践与探索课件2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

3实践与探索

第1课时实践与探索(一)(1)在将较大的玻璃杯中的水倒入较小玻璃杯的过程中,不变的是

;

(2)将一块橡皮泥由一个瘦高的圆柱捏成一个矮胖的圆柱,其中变的是捏成的圆柱的

,不变的是

;

(3)将一根细绳围成一个边长为3cm的正方形,再围改成一个长4cm、宽2cm的长方形,不变的是

.

水的体积

底面积和高

橡皮泥的体积

细绳的长度

1.常见的几种与几何图形有关的方程(1)等长变形①线段长度不变时,不管围成怎样的图形,周长不变.即C前=C后.②长方形的周长不变时,它的面积会随着长和宽的变化而变化,当

(即为

)时,面积最大.(2)等积变形①形状变了,体积没变,即原材料的体积=成品的体积.②解决等积变形的问题时,通常利用体积相等建立方程.长=宽正方形2.和、差、倍、分问题解答这类问题应弄清各量之间的关系,找出表示和、差、倍、分关系的关键字,如:“大,小,多,少,增加,减少……”设出恰当的未知数,利用这些关键字表示出含有未知数的量,结合题目中的量与量之间的关系列出方程.列一元一次方程解决几何图形问题

某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4m减小为3.2m,那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原先的4m增高为多少米?[分析]题中的等量关系为

.设新水箱的高变为xm,填写下表:

旧水箱新水箱底面半径(m)

高(m)容积(m3)

旧水箱的体积=新水箱的体积

21.64x16π2.56πx1.一个长方形的周长是18cm,若这个长方形的长减少1cm,宽增加2cm,就可以成为一个正方形,则此正方形的边长是 (

)A.5cm

B.6cm

C.7cm

D.8cmA2.(2025·陕西)如图,小琪将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等,求正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积.解:设正方形纸片的边长为xcm.根据题意,得4x=5(x-4),解得x=20,∴正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积为(20-4)×(20-5)=16×15=240(cm2).列一元一次方程解决和、差、倍、分问题

校园里原有桃树比李树的3倍多1棵,现在又种了桃树9棵、李树5棵,这样桃树比李树多17棵,求原来桃树、李树各有多少棵.[分析]设原来李树有x棵,则原来桃树有

棵,抓住等量关系“

”列方程求解.(3x+1)

桃树棵数+9-17=李树棵数+5

解:设原来李树有x棵,则原来桃树有(3x+1)棵,根据题意,得3x+1+9-17=x+5.解得x=6.则3x+1=19.答:原来桃树有19棵,李树有6棵.[思维点拨]分析各量的数量关系,找出相等关系是解决此类问题的关键.3.父子二人今年的年龄和为44岁,已知两年前父亲的年龄是儿子的4倍,那么今年儿子的年龄是

岁.104.网络直播带货逐渐走入人们的视野.某超市预计用3900元购进甲、乙两种商品,再通过网络直播平台销售出去.其中乙种商品的个数是甲种商品的2倍少30个,甲、乙两种商品的进价分别为20元/个、30元/个.则该超市购进甲、乙两种商品各多少个?解:设该超市购进甲种商品x个,则购进乙种商品(2x-30)个,根据题意,得20x+30(2x-30)=3900,解得x=60,∴2x-30=90.答:该超市购进甲种商品60个,乙种商品90个.日历中的一元一次方程如图是某月的月历,用带阴影的方框任意框九个数.(1)图中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系?为什么?解:(1)带阴影的方框中的9个数之和是方框正中心的数的9倍,理由如下:设方框正中心的数是a,则另外的几个数是a-8,a-7,a-6,a-1,a+1,a+6,a+7,a+8,这9个数之和为a-8+a-7+a-6+a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8=9a,∴带阴影的方框中的9个数之和是方框正中心的数的9倍.(2)这9个数之和能是81吗?若能,直接说出这9个日期;若不能,请说明理由;(2)若方框正中心的数为a,根据题意,得9a=81,解得a=9,即这9个数最中间的数为9.∴这9个日期是1,2,3,8,9,10,15,16,17.(3)这9个数之和能是100吗?若能,请求出这9个日期;若不能,请说明理由.

5.将奇数1至2027按照顺序排成下表:(1)P43=

;41记Pmn表示第m行第n个数,如P23表示第2行第3个数是17.(2)若Pmn=2027,则m=

,n=

;1696解:(2)表格中的数均为奇数,其中奇数可表示为2n-1(n为正整数),当2n-1=2027时,n=1014,则2027是第1014个奇数.由表格可知,每6个奇数为一行,1014÷6=169,∴m=169,n=6.故答案为169,6.(3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移,所覆盖的4个数之和能否等于100?若能,求出4个数中的最大数;若不能,请说明理由.(3)不能，理由如下：设阴影中最下面的一个奇数为2n-1(n为正整数),则上面中间的数为2n-13,上面左边的数为2n-15,上面右边的数为2n-11,则2n-1+2n-13+2n-15+2n-11=100,∴8n=140,∴n=17.5.∵n为正整数,故不符合题意,∴将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移,所覆盖的4个数之和不能等于100.第2课时实践与探索(二)读一读:进价:购进商品时的价格(有时称成本价).售价:在销售商品时的售出价(有时称成交价).标价:在销售时标出的价(有时称定价).打折:销售价占标价的百分率.例如，某种服装打8折,即按标价的80%出售.填空:①原价100元的商品打8折后的价格为

元;

②原价100元的商品提价40%后的价格为

元;

③进价80元的商品以100元卖出,利润率是

;

④原价x元的商品打8折后的价格为

元;

⑤原价x元的商品提价40%后的价格为

元;

⑥原价10元的商品提价p%后的价格为

元.

8014025%0.8x

1.4x10(1+p%)

2.银行利率问题中主要的等量关系式年利息=本金×年利率×年数;月利息=本金×月利率×月数;本息和=本金+利息.3.数字问题数字问题的关键是能正确的表示两位数或三位数.例如:(1)一个两位数,十位上的数字为x,个位上的数字为y,则这个两位数表示为

;

(2)一个两位数,两个数位上的数字之和为8,若设个位上的数字为x,则十位上的数字为

,这个两位数可表示为

;

10x+y8-x10(8-x)+x(3)一个三位数,百位上的数字比十位上的数字大7,个位上的数字是十位上的数字的3倍,若设十位上的数字为x,则百位上的数字为

,个位上的数字为

,这个三位数可以表示为

.

x+73x100(x+7)+10x+3x

列一元一次方程解决销售问题(2025·银川)2025年第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在哈尔滨举行,吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销,某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个,其中一个“滨滨”进价12元,一个“妮妮”进价15元,总共花费13800元.(1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个;解:(1)设购进“滨滨”x个,则购进“妮妮”(1000-x)个.根据题意,得12x+15(1000-x)=13800,解得x=400,∴1000-x=600.答:购进“滨滨”400个,购进“妮妮”600个.(2)在销售过程中,“滨滨”“妮妮”的标价分别为20元/个、25元/个,当“滨滨”“妮妮”各卖出m个后,该商店进行促销,剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售.若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元,求m的值.(2)根据题意,得(20m+25m)+20×0.8(400-m)+25×0.8(600-m)-13800=5500,解得m=100,∴m的值为100.1.某商店换季准备打折出售某服装,若按照原售价的八折出售,将亏损20元,而按原售价的九折出售,将盈利10元,则该服装的成本为(

)A.230元 B.250元C.260元 D.300元C

AB进价(元/件)2230售价(元/件)2940(1)该超市第一次购进A、B两种商品各多少件?

(2)该超市将第一次购进的A、B两种商品全部销售完后一共可获得多少利润?(2)由(1)得,一共可获得的利润为(29-22)×150+(40-30)×90=1950(元).答:该超市将第一次购进的A、B两种商品全部销售完后一共可获得利润1950元.(3)该超市第次以第一次的进价又购进A、B两种商品.其中购进A商品的件数不变,购进B商品的件数是第一次购进B商品件数的3倍.A商品按原售价销售,B商品打折销售.第二次购进的A、B两种商品销售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元,求第二次B商品是按原售价打几折销售的.

列一元一次方程解决银行利率问题

王伯伯存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共20万元,甲种存款的年利率为1.5%,乙种存款的年利率为2.1%,王伯伯一年可获利息收入3900元,问王伯伯存入银行的甲、乙两种存款各是多少万元?[分析]等量关系为:甲种存款利息收入+乙种存款利息收入=3900元.解:设存入甲种存款x万元,则存入乙种存款(20-x)万元,根据题意,得x×1.5%+(20-x)×2.1%=0.39,解得x=5.则20-x=15.答:甲、乙两种存款分别是5万元,15万元.3.为了准备小颖6年后上大学的学费5000元,小颖的父母现在就参加了教育储蓄,下面有两种储蓄方式:方式一:先存一个3年期的,3年后将本息和自动转存一个3年期(3年期年利率为2.7%);方式二:直接存一个6年期的(6年期年利率为2.88%).你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少?解:设开始存入x元.若按第一种储蓄方式,则第一个3年期后,本息和为x×(1+2.7%×3)=1.081x,第二个3年期后,本息和要达到5000元,由此可得1.081x×(1+2.7%×3)=5000.解得x≈4279.若按第二种储蓄方式,则本息和为x(1+2.88%×6),由此可得x×(1+2.88%×6)=5000.解得x≈4263.∵4263<4279,∴按第二种方式开始存入的本金较少.列一元一次方程解决数字问题

一个两位数,十位数字是个位数字的两倍,将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27,求这个两位数.解:设原来两位数的个位数字为x,则十位数字为

,这个两位数是

,根据题意,得:(请完成后面的解答过程)

解:设原来两位数的个位数字为x,则十位数字为2x,这个两位数是20x+x,根据题意,得20x+x=10x+2x+27,解得x=3,∴2x=6,∴这个两位数是63.4.有一个三位数,各数位上的数字之和是15,个位数字与百位数字的差是5.如果把百位数字与个位数字对调,所得的新数比原数的3倍少39.求这个三位数.解:设原三位数的百位数字为x,则个位数字是x+5,十位数字是15-x-(x+5)=10-2x,根据题意,得100(x+5)+10(10-2x)+x=3[100x+10(10-2x)+(x+5)]-39.解得x=2.∴原三位数为100x+10(10-2x)+(x+5)=267.第3课时实践与探索(三)1.行程问题基本等量关系:路程=

;时间=

;速度=

.(1)相遇问题:①甲、乙同时出发相向而行相遇.如图:等量关系:时间:t甲=t乙;路程:s甲+s乙=s总.速度×时间

路程÷速度

路程÷时间

②甲、乙同地不同时同向而行相遇.v甲>v乙,乙先出发.如图:等量关系:路程:s甲=s乙;时间:t甲+t先出发=t乙.(2)相距问题:①甲、乙同时出发相向而行,相遇前相距.如图:等量关系:时间:t甲=t乙;路程:s甲+s乙+s相距=s总.②甲、乙同时出发相向而行,相遇后相距.如图:等量关系:时间:t甲=t乙;路程:

.s甲+s乙-s相距=s总

③甲、乙先后同地出发同向而行,相遇前相距.如图:等量关系:时间:t先-

=t后;时间差路程:s后+s相距=s先.④甲、乙先后同地出发同向而行,相遇后相距.如图:(慢的先出发)等量关系:时间:t先-

=t后;路程:s快-s相距=s慢.时间差(3)火车过桥过洞问题:①火车车头进到火车车尾出.如图:行驶路程=

.桥长(洞长)+火车长

(4)火车追及错车与相遇错车问题:①追及错车问题.如图:等量关系:快车行驶的路程-慢车行驶的路程=两车车长之和.②相遇错车问题.如图:两车行驶的路程之和=两车车长之和.(5)飞机(行船)问题:顺行速度=

.逆行速度=

.顺行路程=逆行路程.(6)环形跑道问题:同时同地同向出发:快者追上慢者时比慢者多跑一圈;同时同地反向出发:两者相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.飞机自身速度(轮船自身速度)+风速(水速)

飞机自身速度(轮船自身速度)-风速(水速)

2.工程问题(1)基本关系工作量=工作效率×工作时间;工作量=人均效率×人数×工作时间.(2)相等关系:工作总量=各部分工作量之和.①按工作时间分,工作总量=各时间段的工作量之和;②按工作者分,工作总量=各工作者的工作量之和.(3)通常在没有具体数值的情况下,把工作总量看作“1”.例:做某件工作,甲单独做要8h才能完成,乙单独做要12h才能完成,问:①甲做1h完成全部工作量的

;

②乙做1h完成全部工作量的

;

③甲、乙合做1h完成全部工作量的

;

④甲做xh完成全部工作量的

;

⑤甲、乙合做xh完成全部工作量的

;

⑥甲先做2h完成全部工作量的

;

乙后做3h完成全部工作量的

;

甲、乙再合做xh完成全部工作量的

;

三次共完成全部工作量的

;

若结果完成了工作,则可列出方程

.

列一元一次方程解决行程问题

有一快递小哥骑电动车需要在规定的时间把快递送到某地,若他以30km/h的速度行驶就会提前2min到达,若他以20km/h的速度行驶就要迟到6min.(1)快递小哥行驶的路程是多少千米?

(2)当快递小哥以30km/h的速度行驶10min后,因某段路拥堵耽误了3min,为了刚好在规定时间到达,快递小哥应以怎样的速度行驶?

1.(2025·山东)已知某座桥长800m,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全通过共用了1min,这列火车完全在桥上的时间为40s,则火车的速度和车长分别是(

)A.20m/s,200m B.18m/s,180mC.16m/s,160m D.15m/s,150mC2.(1)甲、乙两人在一条长400m的环形跑道上练习跑步,甲的速度为6m/s,乙的速度为4m/s,若两人同时同地背向出发,经过

s两人首次相遇;(2)长江上有A、B两个港口,一艘轮船从A到B顺水航行要用2小时,从B到A(航线相同)逆水航行要用3.5小时.已知水流的速度为15千米/时,则轮船在静水中的航行速度是

.4055千米/时

解:(1)设后队追上前队用了t小时,由题意,得4(t+1)=6t,解得t=2,12×2=24(千米).答:当后队追上前队时,联络员骑行了24千米.3.某学校组织七年级学生步行到郊外旅行,七(1)班学生组成前队,速度为4千米/时,七(2)班同学组成后队,速度为6千米/时,前队出发1小时后,后队才出发,同时,后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络,骑车的速度是12千米/时(队伍长度忽略不计).(1)当后队追上前队时,联络员骑行了多少千米?(2)联络员出发到他第一次追上前队的过程中,何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等?

列一元一次方程解决工程问题

整理一批图书,由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h,然后增加2人与他们一起做8h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作4h?

4.(2026·重庆育才)某工程要求按期完成,甲队单独完成需40天,乙队单独