平行四边形的性质及判定课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1平行四边形的性质及判定第1课时平行四边形的性质(一)1.平行四边形的定义:两组对边分别

的四边形叫作平行四边形。四边形ABCD是平行四边形记作

,读作

。

符号语言:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC。2.平行四边形的性质(对称性、边、角)(1)对称性:平行四边形是

,两条对角线的交点是它的对称中心。

(2)边的性质:平行四边形的两组对边分别

且

。

(3)角的性质:平行四边形的对角

,邻角

,内角和为

。平行▱ABCD

平行四边形ABCD

中心对称图形

平行相等相等互补360°(1)如图1,在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F。若AB=5,AD=3,则FC的长度是(

)A.1

B.1.5

C.2

D.2.5C(2)如图2,在▱ABCD中,AC的垂直平分线交AD于点E,且△CDE的周长为8,则▱ABCD的周长是

。

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如图,点E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F。若CD=6,求BF的长。解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥DC,AB=CD=6,∴∠F=∠DCE。∵点E是AD的中点,∴AE=DE。又∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴FA=CD=6,∴BF=FA+AB=12。[思维点拨]

根据平行四边形的性质找到证明三角形全等的足够条件是解决问题的关键。1.(2025·重庆八中)如图,在▱ABCD中,点E为CD边中点,连接AE并延长交BC延长线于点F。若BF=6,则AD的长为(

)A.2 B.3 C.4 D.5B2.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,B,D,F在同一直线上,且BE=DF。求证:AE=CF。证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABD=∠CDB,∴∠ABE=∠CDF。又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF。

(1)平行四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(

)A.1∶2∶3∶4 B.5∶6∶5∶6C.2∶4∶4∶5 D.4∶4∶3∶3(2)如图,在▱ABCD中,AE⊥CD,若∠DAE=30°,则∠B的度数是

。

60°B

如图,在▱ABCD中,E是BC边上一点,连接DE,使得DE=AD,作∠DAF=∠CDE。求证:(1)△DAF≌△EDC;证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADF=∠DEC。∵∠DAF=∠CDE,AD=DE,∴△DAF≌△EDC(ASA)。(2)AE平分∠BAF。(2)∵DE=AD,AD∥BC,∴∠AEF=∠DAE,∠DAE=∠AEB,∴∠AEB=∠AEF。∵△DAF≌△EDC,∴∠AFD=∠C。又∵∠B+∠C=180°,∠AFE+∠AFD=180°,∴∠B=∠AFE。又∵AE=AE,∴△BAE≌△FAE(AAS),∴∠BAE=∠FAE,即AE平分∠BAF。3.如图,E为平行四边形ABCD外一点,且EB⊥BC,ED⊥CD。若∠ABE=25°,则∠E的度数为(

)A.50°

B.55°C.60°

D.65°D4.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD,∠DCB,交对角线BD于点E,F。(1)若∠BCF=55°,求∠ABC的度数;(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC+∠BCD=180°。∵CF平分∠DCB,∠BCF=55°,∴∠BCD=2∠BCF=110°,∴∠ABC=180°-110°=70°。(2)求证:BE=DF。

第2课时平行四边形的性质(二)1.平行四边形的性质(对角线)平行四边形的对角线

。

2.梯形的定义一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。平行的两边称为梯形的

,较短的底通常称为

,较长的底通常称为

。

称为梯形的腰,两腰相等的梯形称为

。

3.等腰梯形的两腰

,两底角

。

注:等腰梯形是轴对称图形,两条对角线相等。互相平分

底上底下底不平行的两边

等腰梯形相等相等

D

(2)求证:CD=2DE。(2)证明:如答案图,延长DE至点F,使EF=ED,连接AF。∵点E为OA的中点,∴AE=OE。又∵∠AEF=∠OED,EF=ED,∴△AFE≌△ODE(SAS),∴AF=OD,∠FAE=∠DOE,∴AF∥OD,∴∠FAD+∠ADO=180°。∵AD=AO,∴∠ADO=∠AOD。∵∠AOD+∠COD=180°,∴∠FAD=∠DOC。∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,∴AD=OC,∴△DAF≌△COD(SAS),∴CD=DF,即CD=2DE。1.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(

)A.AB=BC B.AD=BCC.OA=OB D.AC⊥BDB

3.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,AC平分∠DAE。(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;(1)解:∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°。∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°。∵AC平分∠DAE,∴∠DAC=∠EAO=40°。∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=40°。(2)求证:AE=CF。(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC。∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°。又∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴AE=CF。

下列说法正确的是(

)A.凡是梯形对角线都相等B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是梯形C.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形D.只有两个角相等的梯形是等腰梯形C

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,连接AC,且AC=BC,在对角线AC上取点E,使CE=AD,连接BE。(1)求证:△DAC≌△ECB;

(2)若CA平分∠BCD,且AD=3,求BE的长。(2)解:由(1)可知∠DAC=∠ECB。∵CA平分∠BCD,∴∠ECB=∠DCA,∴∠DAC=∠DCA,∴CD=DA=3。又∵由(1)可知△DAC≌△ECB,∴BE=CD=3。4.已知梯形的两个对角分别是78°和120°,则另两个角分别是(

)A.78°和120° B.102°和60°C.120°和78° D.60°和120°B5.如图,已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为O。如果BD=8

cm,那么梯形ABCD的上、下底之和等于

cm。

第3课时平行四边形的判定(一)平行四边形的判定(1)两组对边分别

的四边形是平行四边形(定义);

(2)两组对边分别

的四边形是平行四边形;

(3)一组对边

的四边形是平行四边形。

注:①必须是同一组对边平行且相等,也就是说一组对边平行,另一组对边相等时,不一定是平行四边形;②有两边相等,并且另外两条边也相等的四边形不一定是平行四边形。平行相等平行且相等

如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD,∠1=∠2,求证:四边形ABCD是平行四边形。证明:∵∠1=∠2,∴AB∥CD。∵∠BAD=∠BCD,∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2,即∠CAD=∠BCA,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形。1.如图,AB∥MN∥CD,AD∥EF∥BC,则图中平行四边形的个数为(

)A.7B.8C.9D.10C2.如图,已知AC垂直平分BD,DF⊥BD,∠ABC=∠DCF。(1)求证:四边形ACFD是平行四边形;(1)证明:∵AC垂直平分BD,∴AB=AD,BC=DC。∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠ABC=∠ADC。∵∠ABC=∠DCF,∴∠ADC=∠DCF,∴AD∥CF。∵AC⊥BD,DF⊥BD,∴DF∥AC,∴四边形ACFD是平行四边形。(2)若DF=CF=10,CD=12,求BD的长。

如图,将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°。嘉淇发现,旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形,并推理如下:点A,C分别转到了点C,A处,而点B转到了点D处。∵CB=AD,∴四边形ABCD是平行四边形。小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“∵CB=AD,”和“∴四边形……”之间作补充。下列正确的是(

)A.嘉淇推理严谨,不必补充B.应补充:且AB=CDC.应补充:且AB∥CDD.应补充:且OA=OCB3.如图,在▱ABCD的各边AB,BC,CD,DA上,分别取点K,L,M,N,使AK=CM,BL=DN,则四边形KLMN为平行四边形吗?请说明理由。解:四边形KLMN是平行四边形。理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D。∵AK=CM,∴BK=DM。又∵BL=DN,∴△BKL≌△DMN(SAS),∴KL=MN。同理,可得△AKN≌△CML,∴KN=ML,∴四边形KLMN是平行四边形

如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC边上的点,且∠1=∠2。(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∠A=∠DCF,AB=CD。又∵∠1=∠2,∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即ED=BF。又∵ED∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形。(2)连接CE,若CE平分∠DCB,CF=4,DE=6,求▱ABCD的周长。(2)解:∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE。又∵AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴ED=DC=6。∵四边形BEDF是平行四边形,∴BF=DE=6,∴BC=BF+CF=10,∴C▱ABCD=2(BC+DC)=2×(10+6)=32。4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,F为AB上一点,DF与AC交于点E,且DE=FE。(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;(1)证明:∵AB∥CD,∴∠EDC=∠EFA,∠ECD=∠EAF。∵DE=FE,∴△ECD≌△EAF(AAS),∴CD=AF。又∵CD∥AF,∴四边形AFCD是平行四边形。

第4课时平行四边形的判定(二)1.平行四边形的判定对角线

的四边形是平行四边形。

2.两条平行线间的距离的定义如果两条直线互相平行,那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为平行线之间的距离。两条平行线之间的距离

。

注:平行线间的距离是指垂线段的长度,当两条平行线的位置确定时,它们之间的距离也随之确定下来了。互相平分

处处相等

(1)已知四边形ABCD中,AC与BD交于点O,若AC=10,BD=8,则当AO=

,DO=

时,四边形ABCD是平行四边形;

、(2)如图,已知AB,CD相交于点O,AC∥BD,AC=BD,点E,F分别是OC,OD的中点。求证:四边形AFBE是平行四边形。

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1.在四边形ABCD中,AC,BD交于点O。下列条件:①AD∥BC且AB=CD;②AB=CD且OA=OC;③∠DAB=∠DCB且OA=OC;④∠DAB=∠DCB且OB=OD。其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个A2.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AB,CD于点E,F,连接DE,BF。求证:四边形DEBF是平行四边形。证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,OD=OB,AO=OC,∴∠BAO=∠DCO。又∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF。又∵OD=OB,∴四边形DEBF是平行四边形。

如图,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=4,BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为

。[思维点拨]

解决此类问题,首先要明确两个三角形的高具有什么样的特征,然后利用平行线间的距离处处相等可以得出高的等量关系。83.如图,两平行线间有一个三角形和一个平行四边形,它们的底分别为a和b。若三角形的面积大于平行四边形的面积,则a,b满足的条件是(

)A.a=b B.a<2b C.a=2b D.a>2bD4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,AE⊥BC于点E,AB=10

cm,AD=12

cm,AE=8

cm,则AB,CD之间的距离为

cm,S四边形ABCD=

cm2。9.696

如图,在▱ABCD中,AF平分∠BAD交BC于点F,CE平分∠BCD交AD于点E。(1)若AD=12,AB=6,求CF的长;(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,BC=AD=12,∴∠DAF=∠AFB