函数的单调性课件高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学选择性必修第二册作课人：廉文杰第二章

导数及其应用第6节

用导数研究函数的性质6.1函数的单调性第1课时（共1课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、正确理解利用导数判断函数的单调性的原理。2、掌握利用导数判断函数单调性的步骤。1、掌握利用导数判断函数单调性的步骤。1、理解利用导数判断函数的单调性的原理。新

知

引

入

1、函数的单调性函数的单调性是在刻画函数值的变化。增函数单调递增区间减函数单调递减区间新

知

引

入2、导数的定义是什么？在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x）在点x0处的导数。导数f＇(x0)刻画的是函数值y=f(x0)在点x0的瞬时变化率。导数和单调性都是在刻画函数值的变化情况，它们之间有何关系呢？新

知

引

入引例1：函数单调性导数f(x)=xf(x)=2x+5f(x)=-3x+4f(x)=2xf(x)=log3x单调递增单调递增单调递增单调递增单调递减单调递减单调递减f＇(x)=1f＇(x)=2f＇(x)=-3f＇(x)=2xln2

＞＞＞＞＜＜＜____0____0____0____0____0____0____0

新

知

引

入引例2：函数单调性导数正负情况f(x)=x2在（0，+∞）上单调递增在（-∞，0）上单调递减f＇(x)=2x在（0，+∞）上f＇(x)＞0在（-∞，0）上f＇(x)＜0学

习

新

知导数与函数的的单调性之间的关系

注意：1、2、f＇(x)＞0⇒f(x)是增函数

；f＇(x)＜0⇒f(x)是减函数。f＇(x)≥0且只有有限个点为0⇒f(x)是增函数。f＇(x)≤0且只有有限个点为0⇒f(x)是减函数。f(x)是增函数⇒f＇(x)≥0；f(x)是减函数⇒f＇(x)≤0学

习

新

知

利用导数判断函数单调性或求单调区间的步骤典

例

引

路例1、导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)ABCDD同

步

练

习

C典

例

引

路例2、求f(x)＝3x2－2lnx函数的单调区间.

同

步

练

习练2、求函数f(x)＝x2e－x的单调区间.解：函数的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′

＝2xe－x－x2e－x

＝e－x(2x－x2)，由f＇(x)＞0,解得0＜x＜2由f＇(x)＜0,解得x＜0或x＞2∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，

单调递增区间为(0，2)．典

例

引

路例3、讨论函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的单调性。解：函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的定义域为R

f＇(x)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3)

设f＇(x)＞0，则6(x+2)(x-3)＞0，即x＜-2或x＞3∴当x∈(-∞,2)或（3，+∞）时，f＇(x)＞0，

因此，在这两个区间上，函数f(x)均为单调递增；

当x∈(-2,3)时，f＇(x)＜0，

因此，在这个区间上，函数f(x)单调递减。同

步

练

习

典

例

引

路例4、讨论函数f(x)＝kx－lnx的单调区间．

同

步

练

习练4、已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f(x)的单调性．解:f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．①若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．②若a＞0，则由f′(x)＞0，得x＞－lna.

由f′(x)＜0，得x＜－lna.所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，

在(－lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；

当a＞0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，

在(－lna，＋∞)上单调递增．典

例

引

路

同

步

练

习练5、若函数f(x)=cosx-ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是______________．解：函数f(x)=cosx-ax在定义域为R，∵函数f(x)在定义域内单调递减∴f＇(x)=-sinx-a≤0恒成立∴a≥-sinx恒成立

又∵-sinx≤1∴a≥1典

例

引

路例6、若f(x)=(x2+2x-a)ex在[-3,+∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_________.解：f＇(x)=(2x+2)ex+(x2+2x-a)ex=(x2+4x+2-a)ex∵函数f(x)在[-3,+∞)上是单调递增函数∴当x∈[-3,+∞)时，f＇(x)≥0恒成立

即(x2+4x+2-a)ex≥0恒成立∴当x∈[-3,+∞)时，(x2+4x+2-a)≥0恒成立∴当x∈[-3,+∞)时，a≤x2+4x+2恒成立

又x2+4x+2=（x+2)2-2≥-2∴a≤-2同

步

练

习练6、已知函数f(x)=-x2+mx+2lnx在(2,3)上单调递减，则m的取值范围是______．

典

例

引

路

同

步

练

习

同

步

练

习全

课

总

结一、f＇(x)＞0⇒f(x)是增函数

；f＇(x)＜0⇒f(x)是减函数。f