提公因式法课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2提公因式法

第1课时提公因式法(一)1.公因式的概念:多项式各项都含有的

,叫作这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式,也可以是多项式。

2.提公因式法:如果一个多项式的各项含有

,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式

的形式。这种因式分解的方法叫作提公因式法。

注:(1)确定公因式要从系数、字母以及次数三方面入手,公因式的系数取各项系数的最大公因数,字母取各项都含有的相同字母,指数取相同字母的最低次幂。公因式可以是一个数字(或一个字母),也可以是单项式或多项式;相同因式

公因式乘积(2)多项式的首项前有负号,一般应先提取负号,使括号内的第一项系数为正数,同时注意括号内其他各项都要变号;(3)提公因式时,应先确定公因式,再确定剩余的因式;当某项恰好是公因式时,提取后该项为1,注意不要漏项。

指出下列各组式子中的公因式:(1)ax,ay;(2)15p2,-10p;(3)12xyz,-9x2y2z,6x2z2;(4)12a(a+b)2,10ab(a+b),15a2(a+b)。解:(1)a。(2)5p。(3)3xz。(4)a(a+b)。1.下列各式中,公因式是a的是(

)A.ax+ay-2 B.2ma-4ma2C.4a2+6ab D.a2-2a+ma2.把多项式12ab+3ab3分解因式,应提的公因式是(

)A.12ab B.4ab C.3ab D.3ab33.(1)多项式3a2y-3ay+6y的公因式是

;

(2)多项式-27a2mbn+1+36am+1b2n+9ambn的公因式是

。

DC3y-9ambn

把下列各式因式分解:(1)2ab2-a2b;解:原式=ab(2b-a)。(2)6y2+18y+6;解:原式=6(y2+3y+1)。(3)-9m2n+27mn2-18mn。解:原式=-9mn(m-3n+2)。

[方法归纳]

提公因式法的一般步骤:(1)确定应提取的公因式;(2)多项式除以公因式,所得的商作为另一个因式;(3)把多项式写成这两个因式乘积的形式。4.因式分解:(1)x2+4x=

;

(2)2a2b+3ab2=

;

(3)24m2n-18n=

;

(4)-x3-xy+xz=

;

(5)-6ab+18abx+24aby=

。

x(x+4)ab(2a+3b)

6n(4m2-3)

-6ab(1-3x-4y)

解:∵2n+4-2n=2n×(24-1)=30×2n-1,∴对于任意正整数n,多项式2n+4-2n必有一个因数30。615第2课时提公因式法(二)1.提取公因式后,要注意结果的检查:(1)结果中单项式应放在多项式因式的前面;(2)要“提净”“分完”,提公因式后还能再提取公因式的要继续分解,相同因式需要写成幂的形式。2.掌握符号变化规律:(x-y)2n=(y-x)2n,(x-y)2n+1

=-(y-x)2n+1。

把下列各式因式分解:(1)xy(x-y)-x(x-y)2;解:原式=x(x-y)(y-x+y)=x(x-y)(2y-x)。(2)(2a+b)(2a-3b)+4a(2a+b)。解:原式=(2a+b)(2a-3b+4a)=(2a+b)(6a-3b)=3(2a+b)(2a-b)。[易错提示]

(1)公因式也可以是相同的多项式;(2)提公因式后,如果多项式中有同类项,要注意合并同类项,合并同类项后如有公因式要继续提取公因式。

把下列各式因式分解:(1)x(x-y)+2y(y-x);解:原式=x(x-y)-2y(x-y)=(x-y)(x-2y)。(2)10a(x-y)2+5a(y-x)3;解:原式=10a(y-x)2+5a(y-x)3=5a(y-x)2(2+y-x)。(3)(m-n)4+m(m-n)3+n(n-m)3;解:原式=(m-n)3·[(m-n)+m-n]=(m-n)3·(2m-2n)=2(m-n)3·(m-n)=2(m-n)4。

[方法归纳]

当多项式中有互为相反数的因式时,经常通过改变符号变成公因式,改变的原则是:变后不变前,变偶不变奇。1.分解因式b2(x-3)+b(x-3)的正确结果是(

)A.(x-3)(b2+b) B.b(x-3)(b+1)C.(x-3)(b2-b) D.b(x-3)(b-1)

(2)2(a-b)2-a+b;解:原式=2(a-b)2-(a-b)=(a-b)[2(a-b)-1]=(a-b)(2a-2b-1)。

B

先因式分解,再求值:3(x-2)2(x-7)+11(2-