提公因式法-提公因式为多项式的因式分解课件北师大版八年级数学下册

第2课时

公因式为多项式的因式分解4.2提公因式法复习导入1.多项式的第一项系数为负数时，2.公因式的系数是多项式各项__________________；3.字母取多项式各项中都含有的____________；4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即_________.提公因式法因式分解的一般步骤：系数的最大公约数相同的字母最低次幂先提取“-”号，注意多项式的各项变号；二、探究新知：小组交流：确定公因式的方法“三定”一定系数：找到系数的最大公约数。二定字母：找到相同字母。三定指数：找到相同字母的最低次幂。方法归纳：二、探究新知：尝试将这几个多项式分别写成几个因式的积的形式====二、探究新知：定义归纳：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫做提公因式法。。=二、探究新知：填空：三、例题讲解：例1：计算例2：判断三、例题讲解：例3：计算小结注意事项：①提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数相同。②多项式中某一项全提公因式后不要漏掉“1”这一项。③如果多项式的第一项系数是负数，先提出“－”号，多项式各项都要变号。导入新知

注意：多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号.钱例1.2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数.导入新知

思考：（1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？最大公约数相同的字母最低次幂新知探究解：(1)a(x-3)+2b(x-3)=

(x-3)(a+2b).例1

把下列各式分解因式：(1)a(x-3)+2b(x-3)；(2)y(x+1)+y2(x+1)2.=y(x+1)(1+xy+y).探究点1：整体提公因式法(2)y(x+1)+y2(x+1)2PPP(a+2b)PPyP(1

+P)新知探究1.x(a+b)+y(a+b)2.3a(x-

y)-(x-

y)3.6(p+q)2

-12(q+p)=(a+b)(x+y)=(x-

y)(3a-1)=6(p+q)(p+q-2)【练一练】1.将下列式子因式分解.探究点1：整体提公因式法新知探究2.

先化简，再求值：(x＋2y)(x－2y)－(2y－x)2，其中

x＝2，y＝－1.解：原式＝(x＋2y)(x－2y)－(x－2y)2＝(x－2y)(x＋2y－x＋2y)＝4y(x－2y)＝4xy－8y2.当

x＝2，y＝－1时，原式＝4×2×(－1)－8×(－1)2＝－8－8＝－16.探究点1：整体提公因式法新知探究探究点2：变形后提公因式法下面的多项式有公因式吗？与同伴交流思考．(1)5(a－b)－m(b－a)；(2)3(m＋n)＋2a(－m－n)；(3)m(x－y)2－n(y－x)2；(4)c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3.思考：a－b和

b－a，m＋n和

－m－n，(x－y)2和(y－x)2，(b－a)3和(a－b)3有什么关系？a－b＝－(b－a)，m＋n＝－(m＋n)，(x－y)2＝(y－x)2，(b－a)3＝－(a－b)3.新知探究探究点2：变形后提公因式法问题：仿照5(a－b)－m(b－a)＝5(a－b)＋m(a－b)＝(5＋m)(a－b)，将其他3个多项式因式分解．解：3(m＋n)＋2a(－m－n)＝3(m＋n)－2a(m＋n)

＝(3－2a)(m＋n)．c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3＝c2(b－a)3－(c－1)(b－a)3

＝(c2－c＋1)(b－a)3.m(x－y)2－n(y－x)2＝m(x－y)2－n(x－y)2

＝(m－n)(x－y)2.新知探究【归纳总结】两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：(2)

当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数.

如：a-b

和

b-a，则

a-b=-(b-a).(1)

当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等.

如：a-b

和

-b+a，则

a-b=-b+a.探究点2：变形后提公因式法新知探究由此可知规律：(1)a-b

与

-a+b

互为相反数.

(a-b)n

=(b-a)n

(n是偶数)

(a-b)n

=-(b-a)n

(n是奇数)(2)

a+b与

b+a

相等，a-

b

与

-b+a

相等.

(a±b)n

=(±b+a)n

(n是整数)a+b

与

-a-b

互为相反数.

(-a-b)n

=(a+b)n(n

是偶数)

(-a-b)n=-(a+b)n(n

是奇数)探究点2：变形后提公因式法

把下列各式因式分解：(1)a(x－y)＋b(y－x)；(2)6(m－n)3－12(n－m)2.解：(1)a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)＝(x－y)(a－b)解：(2)6(m－n)3－12(n－m)2

＝6(m－n)3－12(n－m)2＝6(m－n)2[(m－n)－2]＝6(m－n)2(m－n－2)例题讲解在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：(1)(a-b)=___(b-a)；(2)(a-b)2=___(b-a)2；(3)(a-b)3=___(b-a)3；(4)(a-b)4=___(b-a)4；(5)(a+b)

=___(b+a)；(6)(a+b)2=___(b+a)2；+--+++(7)(a+b)3=__(-b-a)3；-(8)(a+b)4=__(-a-b)4.+当各项的幂的底数的绝对值相等，仅符号不同时，应先处理符号，若为偶次幂，则若为奇数幂，则相反数的偶次幂相等相反数的奇次幂任互为相反是偶次幂相等奇次幂相反数常用恒等变形随堂练习1.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是().A.x2-y2B.x2+2xC.x2+2y2D.x2-xy+y2B2.多项式-9x2y+3xy2-6xyz

各项的公因式是().A.-3xyB.3yzC.3xzD.-3xA3.因式分解

a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)2.解：原式=a(a-b)3+2a2(a-b)2-2ab(a-b)2=a(a-b)2[(a-b)+2a-2b]=a(a-b)2(3a-3b)=3a(a-b)34.已知

x、y都是正整数，且x(x-y)-y(y-x)=12，求

x、y.解：∵x(x-y)-y(y-x)=12∴(x-y)(x+y)=12∵x、y是正整数∴12分解成1×12，2×6，3×4又∵x-y与x+y奇偶性相同，且x-y<x+yx-y=2x+y=6∴x=4y=2∴5.已知

a-b=5，ab=6，求代数式a2b-ab2+4ab的值.解：a2b-ab2+4ab=ab(a-b+4).将

a-b=5，ab=6代入计算，则原式=6×(5+4)=54.课堂小结因式分解公因式为多项式注意确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数分两步：（整体思想）第一步找公因式；第二步提公因式.1.提公因式要彻底；2.提取以后勿漏项；3.某项提出要写1；4.首项为负先提负.当堂反馈1.将3x(a－b)＋9y(a－b)因式分解，应提的公因式是(

D

)A.3x－9yB.3x＋9yC.a－bD.3(a－b)2.若(p－q)2－(q－p)3＝(q－p)2E，则E是(

C

)A.1－q－pB.q－pC.1＋p－qD.1＋q－pDC当堂反馈3.把b2(x－2)＋b(2－x)因式分解的结果为(

C

)A.b(x－2)(b＋1)B.(x－2)(b2＋b)C.b(x－2)(b－1)D.(x－2)(b2－b)C4.因式分解：(1)3a(b－c)－3(b－c)；解：原式＝3(b－c)(a－1).(2)(2x－1)(3x