全概率公式（课件）数学人教A版选择性必修第三册

7.1条件概率与全概率公式7.1.2全概率公式

第七章

随机变量及其分布人教A版选择性必修第三册·高二章节导读条件概率与全概率公式条件概率全概率公式随机变量离散型随机变量分布列均值和方差二项分布超几何分布连续型随机变量正态分布学

习

目

标123理解并掌握全概率公式，提升数学抽象的核心素养了解贝叶斯公式，提升数学抽象的核心素养结合古典概型，会利用全概率公式及贝叶斯公式计算概率，提升数学运算的核心素养.知识回顾在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，即由条件概率公式可得1.条件概率：2.概率的乘法公式：3.条件概率的性质：设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);

设A和B是两个独立事件,则P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A).新知导入在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，再看一个求复杂事件概率的问题.问题1

从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?下面我们给出严格的推导.

因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是.但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.新知探究

用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2.P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)利用概率的加法公式和乘法公式，得新知探究

上述过程采用的方法是:按照某种标准:将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.问题2

按照某种标准,将一个复杂事件表示为多个互斥事件的并,根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？设A1,A2,....,An是一组两两互斥的事件,加法公式乘法公式定义新知全概率公式

我们称上面的公式为全概率公式．全概率公式是概率论中最基本的公式之一.

·····

·····

新知探究对公式的理解：

①

某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)(Ai

互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)发生概率的总和。

③可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”.

②每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起BAi(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式.追问

根据全概率公式的定义，它的使用条件有哪些？②A1∪A2∪…∪An=Ω；③P(Ai)>0,且.①A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件；典例分析例4

某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.典例分析设A1＝“第1天去A餐厅”,B1＝“第1天取B餐厅”,A2＝“第2天去A餐厅”,则解：

反思

根据本例是否可以归纳利用全概率公式求概率的方法步骤？设事件写概率代公式新知探究1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An

看作导致结果的若干个原因；2.求概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))；3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)).全概率公式求复杂事件概率的步骤：典例分析例5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.设Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，B=“任取一零件为次品”，如图所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率.典例分析例5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.解：设B＝“任取一个零件为次品”,Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1,2,3),则典例分析例5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.新知探究问题3

例5中P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么?P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么

就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额.新知探究将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式．*贝叶斯公式：

设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有

贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T.Bayes1702-1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系．典例分析例6在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；

(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.分析：设A=“发送的信号为0”,

B=“接受到的信号为0”.为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用下图直观表示.发送0(A)

接收0(B)

典例分析例6在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；

(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.解:巩固练习课本52页1.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.

巩固练习课本52页2.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.(1)求这件产品是合格品的概率；(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.解：设A＝“取到合格品”,Bi＝“取到的产品来自第i批”(i＝1,2),则全概率公式及其应用题型一题型探究

(1)若规定甲、乙、丙三名同学都回答这个问题，求至少有1名同学回答正确这个问题的概率；

全概率公式及其应用题型一题型探究

全概率公式及其应用题型一题型探究解题感悟运用全概率公式的一般步骤

贝叶斯公式及其应用题型二题型探究

(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？

贝叶斯公式及其应用题型二题型探究提分笔记若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验的具体结果未知，那么：（1）若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公