条件概率（课件）数学人教A版选择性必修第三册

7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率

第七章

随机变量及其分布人教A版选择性必修第三册·高二章节导读条件概率与全概率公式条件概率全概率公式随机变量离散型随机变量分布列均值和方差二项分布超几何分布连续型随机变量正态分布学

习

目

标123结合古典概型，了解条件概率，提升数学抽象的核心素养掌握条件概率的计算方法能计算简单随机事件的条件概率，提升数学运算的核心素养.新知导入

在必修二《概率》一章的学习中，我们已经知道，对于同一试验中的两个事件A与B，当事件A与B相互独立时，事件A与B同时发生的概率有

P(AB)=P(A)P(B)

那么，当事件A与B不相互独立时，如何表示事件A与B同时发生(即积事件AB)的概率呢？下面我们从以下具体问题入手.新知探究问题1

某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示.团员非团员合计男生16925女生14620合计301545在班级里随机选择一人做代表.(1)选到男生的概率是多少?(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?解：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.设事件A=“选到团员”，事件B=“选到男生”，根据表中的数据可得n(Ω)=45,n(A)=30,n(B)=25.(1)根据古典概型知识可知,选到男生的概率新知探究

此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知，(2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).思考

此时的样本空间还是Ω么？问题1

某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示.团员非团员合计男生16925女生14620合计301545在班级里随机选择一人做代表.(1)选到男生的概率是多少?(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?新知探究问题2

假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么

(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？

(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？

用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω＝{bb,bg,gb,gg}，且所有样本点是等可能的.设事件A=“选择的家庭中有女孩”事件B=“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则A＝{gg,bg,gb}，B＝{gg}.(1)根据古典概型知识可知,该家庭中两个都是女孩的概率为新知探究问题2

假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么

(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？

(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？(2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型知识可知新知探究思考

上面两个问题有什么共同点？在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是这个结论对于一般的古典概型仍然成立.

事实上，如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包ABABΩ含的样本点数的比值，即∴在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过来计算.定义新知条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

(1)当题目中出现“在……条件下”等字眼，一般为条件概率;

(2)当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率.思考1

什么样的概率问题属于条件概率?新知探究思考2

P(B|A)与P(A|B)的的意义相同吗？P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.思考3

P(B|A)和P(AB)的联系与区别是什么?联系：事件A,B都发生了.区别：(1)在P(B|A)中，事件A,B发生有时间上的差异，A先B后；

在P(AB)中，事件A,B同时发生.(2)样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本空间；

在P(AB)中，样本空间仍为Ω.因此有P(B|A)≥P(AB).新知探究问题3

在问题1和问题2中，都有P(B|A)≠P(B).一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等.如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件?

直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)＝P(B)成立.事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)>0，则反之，若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，则即事件A与B相互独立.

条件概率与事件独立性的关系：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B).新知探究问题4

对于任意两个事件A与B,如果已知P(A)与P(B|A),如何计算P(AB)呢？由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若P(A)>0，则我们称上式为为概率的乘法公式.典例分析例1

在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析：

如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率。所以，我们可以有以下两种思路：思路1:先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率，即思路2:

先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率，即典例分析解：设A＝“第1次抽到代数题”，B＝“第2次抽到几何题”.则“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.方法1：(1)从5道试题中每次不放回地随机抽取2道,试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点,即(2)“在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下,事件B发生的概率.利用条件概率公式，得典例分析方法2：已知第1次抽到代数题,这时还余下4道试题,其中代数题和几何题各2道.因此,事件A发生的条件下,事件B发生的概率为新知探究从例1可知，求条件概率有两种方法：方法一：公式法是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；方法二：缩小样本空间法

是根据条件概率的直观意义,增加了“A发生”的条件后,样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.注意：利用缩小样本空间求条件概率问题，应搞清楚是求哪个事件的样本点数.新知探究条件概率的性质：

条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则：典例分析例2

已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?分析：要知中奖概率是否与抽奖次序有关,只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张奖券有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”,“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”,利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则

事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关.典例分析例3

银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求:(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.分析:

最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对,或者第1次按错但第2次按对”.因此,可以先把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的性质求解.

解：(1)

设Ai＝“第i次按对密码”(i＝1,2)，

则事件“不超过2次就按对密码”可表示为

事件A1与

A2互斥,由概率的加法公式及乘法公式,得典例分析例3

银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求:(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.分析:

最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对,或者第1次按错但第2次按对”.因此,可以先把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的性质求解.

(2)设B＝“最后1位密码为偶数”，则求复杂事件的概率常分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和的概率.巩固练习课本48页解：由此可得，A发生，则B一定发生ΩBA巩固练习课本48页2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.解：设“第1次抽到A牌”为事件A,“第2次抽到A牌”为事件B，则“第1次和第2次都抽到A牌”为事件AB.方法1:在第1次抽到A牌的条件下,扑克牌中还剩下51张牌,其中有3张A牌,所以在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率是P(B|A)=方法2:在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率为P(B|A)=方法3:在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率为P(B|A)=用组合数计数定义公式缩小样本空间为A巩固练习课本48页3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求:(1)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；(2)两次都摸到白球的概率.设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，则解：∴在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为∴两次都摸到白球的概率为求简单事件的条件概率题型一题型探究

求简单事件的条件概率题型一题型探究

求简单事件的条件概率题型一题型探究解题感悟

概率的乘法公式题型二题型探究【例1】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(

)

C

概率的乘法公式题型二题型探究

0.75

概率的乘法公式题型二题型探究解题感悟

条件概率的性质题型三题型探究【例4】

在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题