2025-2026学年上海上师大附中高一上学期数学期末试卷（含答案）

上师大附中2025-2026学年第一学期高一年级数学期末一、填空题（第1~6题，每小题4分，第7~12题，每小题5分，共54分）1.已知全集，，则=_________.【答案】2.已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为_________.【答案】3.化简：（其中）．【答案】4.已知角的终边经过点，则_________．【答案】5.已知函数，则函数的值域为________．【答案】记，则_______.【答案】17.若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________．【答案】8.已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数的取值范围为_________.【答案】或.9.在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒．【答案】10.已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________.【答案】11.已知函数，若存在使得，则_________.【答案】或设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________．【答案】【解析】记集合，．由题意得，①当时，，，从而，解得，因唯一，令，解得，符合题意②当时，，，从而，解得，因唯一，令，解得，符合题意；综上，的取值为或．二．选择题（第13~14题，每小题4分，第15~16题，每小题5分，共18分）13.若，则的值是（）A．B．C． D．以上均不对【答案】A14.函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（）A． B．C． D．【答案】B15.设函数，若函数有两个零点，则下列结论中正确的是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】D16.函数，其中表示不超过的最大整数．给出以下两个命题：命题①：方程没有实数根；命题②：存在实数，使得当且时，都有．则下列选项中正确的是（）A．①、②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①、②均为假命题【答案】A三、解答题（共78分）17.本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分）已知幂函数，且在区间上是严格增函数．（1）求的值；（2）设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或.当时，在上是严格减函数，所以不符合题意；当时，在上是严格增函数，所以符合题意.故.（2）当时，，又，解得，时，，当时，，因为为奇函数，所以，又，18.本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分）某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由：（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？【答案】（1）选模型③（2）万元．【解析】（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误，由图可知，该函数的增长速度由快变慢，对于模型②，指数型的函数增长速度是由慢变快，故②错误，对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选模型③（2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，则，解得，故所求函数为，因为总奖金不少于9万元，所以，即，解得，所以至少应完成销售利润万元．19.本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分）已知函数，其中.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由（）因为，所以，所以；（2）由题知，代入原式得，整理得，即，①又，可得，，所以，，代入①得，，由，得.20.本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知（），函数在区间上的最小值和最大值分别是和.（1）求的表达式；（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）函数，因为，所以在区间上严格增，所以，即，解得，；（2）方程有两个不相等的实数根，得方程有两个不相等的实数根，令，则关于的一元二次方程有两个不相等的正实根，，；（3）令，由在上恒成立，得恒成立，得恒成立，即，恒成立，令，，在上严格增，，令，，可得，.21.本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数满足“关联”．（1）若，分别判断函数是否满足“关联”，“关联”（无需说明理由）；（2）若定义域为的函数满足“关联”，且当时，，解不等式；（3）已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句：：函数满足“关联”，且满足“关联”；：函数满足“关联”.判断是的什么条件，并证明你的结论.【答案】（1）见解析（2）（3）是的充要条件，证明见解析【解析】（1）满足“关联”，不满足“关联”；（2）满足“关联”，对于任意，都有，即对于任意，都有，即，即，当时，，，令，解得；当时，，令，解得；当时，总存在，使得，则，无解；当时，总存在，使得，则,无解；综上所述，不等式的解是；（3）充要条件，证明如下①若函数满足“关联”，即对于任意，都有，，又是关联的，任取，成立，即是增函数，任取，则，，，