2025-2026学年上海新川中学高二上学期数学期末试卷（含答案）

新川中学2025~2026学年高二上学期期末考试一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1.直线倾斜角的范围是____________．2.已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于______．3.抛物线的焦点坐标为______．4.的展开式中项的系数为______．5.在等差数列中，，公差，，则______．6.已知关于正整数的方程，则该方程的解为______．7.已知空间向量，，，且，则_________．8.圆的圆心到直线的距离为______．9.从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的选法有______种．10.已知数列满足，，且，，则______．11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为．延长切线交双曲线的右支于点为坐标原点，点为线段的中点，则______．12.设．数列满足下列条件：，，，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是______．二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知某食堂中午有2种主食、6种素菜，5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（）A.13种 B.22种 C.30种 D.60种14.若直线是圆的一条对称轴，则（）A. B. C.1 D.15.已知等比数列的前n项和为，则下列一定成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则16.已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为．若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（）A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线三、解答题（本大题共有5题，满分52分）17.（本题有2个小题，共8分，第1小题4分，第2小题4分）一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球。（1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法有多少种？（2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？18.（本题有2个小题，共10分，第1小题5分，第2小题5分）已知空间三点，，，设，．（1）若，且，求；（2）求与夹角的余弦值；19.（本题共10分，本题有2个小题，共10分，第1小题4分，第2小题6分）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，是数列的前项和，求．20.（本题有2个小题，共10分，第1小题5分，第2小题5分）已知抛物线C：．（1）若，求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程；（2）证明：以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切。21.（本题有3个小题，共14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）已知椭圆，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为．（1）求椭圆的焦距和离心率；（2）若，求直线的方程；（3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为．若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由． 参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为．延长切线交双曲线的右支于点为坐标原点，点为线段的中点，则______．【答案】【解析】双曲线的.

设双曲线的右焦点为，由中位线定理可得。

在中，可得.

设，由双曲线的定义可得.

在中，由余弦定理可得，解得，则．故答案为：5．12.设．数列满足下列条件：，，，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是______．【答案】【解析】由，数列满足下列条件：，

可得数列不是递减数列.

设数列中分别有个.

对任意的，都存在使得，其中互不相等，

对于数列中的1，由于，可得；

同理，对于数列中的5，同理可得；

对于数列中的2，由于，可得；

同理，对于数列中的4，由于，可得；

对于数列中的3．由于，可得；

若前20项和取得最大，则，所以前20项和的最大值为；故答案为：74．二、选择题13.D14.A15.D16.C15.已知等比数列的前n项和为，则下列一定成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】当时，，又当时，，

∴当时，，∴，即；

当时，，∴，即；

当时，，∴，即；

当时，．综上可得当时，．故选：D．16.已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为．若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（）A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线【答案】C【解析】不开设，以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，有．设点，则由①，②当时，方程②表示双曲线；当时，方程②表示圆；

当且时，方程②表示椭圆．故选C．三、解答题17.【答案】（1）；（2）.18.【答案】（1）；（2）.19.【答案】（1）；（2）.20.（本题有2个小题，共10分，第1小题5分，第2小题5分）已知抛物线C：．（1）若，求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程；（2）证明：以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切。【答案】（1）或或；（2）证明见解析.【解析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程，可得，即直线与抛物线只有一个公共点.当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线与抛物线方程，将代入得，展开可得.

当时，方程化为，解得，，此时直线与抛物线只有一个公共点.

当时，由直线与抛物线只有一个公共点，可知判别式，展开可得，即，解得，此时直线方程为，即.综上所述：所求直线方程为或或.

（2）设抛物线的焦点为，过焦点的弦为.再设.

根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，则焦点弦长.焦点弦的中点坐标为，抛物线的准线方程为，则焦点弦中点到准线的距离.

因为以焦点弦为直径的圆的半径，而焦点弦中点到准线的距离，所以，即圆心到准线的距离等于半径，所以以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切.

综上所述：以抛物线的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切得证.21.（本题有3个小题，共14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）已知椭圆，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为．（1）求椭圆的焦距和离心率；（2）若，求直线的方程；（3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为．若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由得，所以焦距，离心率．

（2），设直线的方程与椭圆联立得.

因为点与点不重合，所以可得点，于是由解得，直线的方程：．（