新定义专项练(新定义2以空间几何体为背景的新定义解答题)

新定义专项练(时间:45分钟分值:20分)1.(10分)已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=(1,1,0),=(0,2,2),=(1,-1,1).(1)证明:平行六面体ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱;(2)计算|(×)·|,并求该平行六面体的体积,说明|(×)·|的值与平行六面体ABCD-A1B1C1D1体积的关系.【解题指南】(1)利用向量法证明AA1⊥AB,AA1⊥AD,从而可得AA1⊥平面ABCD,即可得证;(2)根据公式求出|(×)·|,利用棱柱的体积公式求出该棱柱的体积,从而可得出结论.【解析】(1)由题意·=1×1+1×(-1)+0×1=0,·=0×1+2×(-1)+2×1=0,所以⊥,⊥,即AA1⊥AB,AA1⊥AD,因为AB,AD是平面ABCD内两相交直线,所以AA1⊥平面ABCD,所以平行六面体ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱;(2)|(×)·|=1×2×1+2×1×1+0-1×(-1)×2-0-0=6,由题意||=2,||=22,·=1×0+1×2+0×2=2,cos∠BAD==22×22=12,所以sin∠BADS四边形ABCD=|AB|·|AD|·sin∠BAD=2×22×32=23,||=3,所以VABCD-A1B1C1D1=S四边形所以|(×)·|=VABCD-A1故|(×)·|的值表示以AB,AD,AA1为邻边的平行六面体的体积.2.(10分)高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式,是关于曲面的图形(由曲率表征)和拓扑(由欧拉示性数表征)间联系的一项重要表述,建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x与球面三角形内角和θ满足:θ=π+αx,其中α为常数,如图,把球面上的三个点用三个大圆(以球心为半径的圆)的圆弧连接起来,所围成的图形叫做球面三角形,每个大圆弧叫做球面三角形的一条边,两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于SR2,S为球面三角形面积,R(1)若单位球面有一个球面三角形,三条边长均为π2,求此球面三角形内角和(2)求α的值;(3)把多面体的任何一个面伸展成平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω的顶点数为V,棱数为E,面数为F,试证明凸多面体欧拉示性数χ(Ω)=V-E+F为定值,并求出χ(Ω).【解题指南】(1)由球面三角形边角定义,转化为大圆弧长可求圆心角,由球面三角形三条边长均为π2,得OA,OB,OC两两垂直,从而得到面面垂直,进而可求内角和(2)将球面平均分割为8个全等的球面三角形,由特值代入公式θ=π+αx求α即可;(3)将球面分割为F个球面多边形,再转化为球面三角形,借助球面三角形总曲率x与球面三角形内角和θ的关系,利用所有分割后的球面三角形面积之和(用V,E,F表示)即为球面面积建立等量关系求证即可.【解析】(1)如图,设球心为O,球面三角形三个顶点分别为A,B,C,由球面三角形三边长均为π2又单位球面的球半径R=1,则球面三角形每条边所对圆心角为π2所以在三棱锥A-OBC中,OA,OB,OC两两垂直.由OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,且OB⊂平面OBC,OC⊂平面OBC,则OA⊥平面OBC,OA⊂平面OAB,故平面OAB⊥平面OBC,同理平面OAB⊥平面OCA,平面OCA⊥平面OBC,即球面三角形任意两条边所在的半平面构成的二面角均为π2故球面三角形的3个角均为π2,从而此球面三角形内角和为3π(2)若将地球看作一个球体,在地球上零度经线和90°经线所在大圆与赤道所在大圆将球面平均分成8个全等的球面三角形,由(1)可知,每个球面三角形的3个角均为π2,且球面三角形内角和θ=3π从而每个球面三角形的面积为S=4πR28则每个球面三角形的总曲率为x=SR2=设θ=f(x),由题意f(x)=π+αx,且α为常数,则有f(π2)=π+π2α=3π2,从而(3)将多面体的每个面视作可以自由伸缩的橡皮膜,使其膨胀为一个半径为R的球,每个顶点均在球面上,每条边变为球面上的边,每个多边形变为球面上的多边形,且膨胀前后χ(Ω)=V-E+F不变.不妨记球面仍为单位球面,半径R=1,对于任意一个球面k边形,可用球面上的边分割成(k-2)个球面三角形,由(2)可知,α=1,则每个球面三角形的内角和θ=π+x=π+SR2即每个内角和为θ的球面三角形面积为θ-π,记φ=∑j=1k-2θj,称为分割成(k-2)所以球面k边形面积为φ-(k-2)π.由已知凸多面体Ω的顶点数为V,棱数为E,面数为F,则可记球面上多边形αi,i=1,2,…,F,对每一个球面多边形αi,设其边数为li,内角和为φi,面积为Si,则∑i=1FSi=∑i=1F[φi-(li-2)π]=∑i由球面三角形角的定义可知,每个顶点处所有球面多边形的角之和为2π,顶点数为V,从而所有球面多边形内角和为∑i=1Fφi又球面多边形每条边被重复计算2次,棱数为E,故∑i=1Fli则∑i=1F(φi-liπ+2π)=2πV-2πE又所有球面多边形面积之和∑i=1FSi=4π故2πV-2πE+2πF=4π,故χ(Ω)=V-E+F=2.【方法技巧】解决本题关键在于转化与化归思想的应用,一是理解球面三角形及边角的定义,将球面