高中数学联赛整除理论专题卷

高中数学联赛整除理论专题卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高二/理科班

高中数学联赛整除理论专题卷

一、选择题

1.设正整数a能整除正整数b，且a能整除c，则a一定能整除b+c。

A.正确

B.错误

2.若m、n为正整数，且m|n，则m的因数个数一定小于或等于n的因数个数。

A.正确

B.错误

3.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b。

A.正确

B.错误

4.设a、b为正整数，且a+b=20，若a|b，则a的可能取值有：

A.1,2,4,5,10,20

B.1,2,4,5

C.4,5,10

D.1,2,4,5,10

5.若n为正整数，且3|n，则3一定整除n+2。

A.正确

B.错误

6.设a、b为正整数，且a|b，b|c，则a|c。

A.正确

B.错误

7.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b或两者都整除。

A.正确

B.错误

8.设a、b为正整数，且a|b，则a的倍数一定包含b的所有倍数。

A.正确

B.错误

9.若n为正整数，且n|12，则n的可能取值有：

A.1,2,3,4,6,12

B.1,2,3,4,6

C.2,3,4,6

D.1,3,4,12

10.设a、b为正整数，且a|b，则b/a一定为整数。

A.正确

B.错误

二、填空题

1.若6|n，则n+5一定能被______整除。

2.设a、b为正整数，且a|b，b|c，若a=12，则c的可能取值有______。

3.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b或两者都整除，这是______的一个应用。

4.设a、b为正整数，且a|b，则a的所有倍数一定包含b的所有______。

5.若n为正整数，且n|18，则n的可能取值有______。

6.若3|n，则n+4一定能被______整除。

7.设a、b为正整数，且a|b，b|c，若b=24，则a的可能取值有______。

8.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b或两者都整除，这是______的一个应用。

9.设a、b为正整数，且a|b，则b/a一定为______。

10.若n为正整数，且n|30，则n的可能取值有______。

三、多选题

1.下列命题中，正确的是：

A.若a|b，b|c，则a|c

B.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b

C.若a、b为正整数，且a|b，则a的倍数一定包含b的所有倍数

D.若n为正整数，且n|12，则n的可能取值有1,2,3,4,6,12

E.若a、b为正整数，且a|b，则b/a一定为整数

2.设a、b为正整数，且a|b，下列说法中正确的是：

A.a的因数个数一定小于或等于b的因数个数

B.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b

C.a的所有倍数一定包含b的所有倍数

D.b/a一定为整数

E.a的倍数一定包含b的所有因数

3.下列命题中，正确的是：

A.若m、n为正整数，且m|n，则m的因数个数一定小于或等于n的因数个数

B.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b

C.若a、b为正整数，且a|b，则a的倍数一定包含b的所有倍数

D.若n为正整数，且n|18，则n的可能取值有1,2,3,6,9,18

E.若a、b为正整数，且a|b，则b/a一定为整数

4.设a、b为正整数，且a|b，下列说法中正确的是：

A.a的因数个数一定小于或等于b的因数个数

B.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b

C.a的所有倍数一定包含b的所有倍数

D.b/a一定为整数

E.a的倍数一定包含b的所有因数

5.下列命题中，正确的是：

A.若a|b，b|c，则a|c

B.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b

C.若a、b为正整数，且a|b，则a的倍数一定包含b的所有倍数

D.若n为正整数，且n|12，则n的可能取值有1,2,3,4,6,12

E.若a、b为正整数，且a|b，则b/a一定为整数

四、判断题

1.若a|b，则a的因数个数一定小于或等于b的因数个数。

Xxxxxx

2.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b。

Xxxxxx

3.若a、b为正整数，且a|b，则a的所有倍数一定包含b的所有倍数。

Xxxxxx

4.若n为正整数，且n|12，则n的可能取值有1,2,3,4,6,12。

Xxxxxx

5.若a、b为正整数，且a|b，则b/a一定为整数。

Xxxxxx

6.若m、n为正整数，且m|n，则m的因数个数一定小于或等于n的因数个数。

Xxxxxx

7.若p为素数，且p|ab，则p一定整除a或b或两者都整除。

Xxxxxx

8.设a、b为正整数，且a|b，则a的倍数一定包含b的所有因数。

Xxxxxx

9.若n为正整数，且n|18，则n的可能取值有1,2,3,6,9,18。

Xxxxxx

10.设a、b为正整数，且a|b，则b/a一定为整数。

Xxxxxx

五、问答题

1.若a、b为正整数，且a|b，b|c，证明a|c。

Xxxxxx

2.若p为素数，且p|ab，讨论p|a和p|b的关系。

Xxxxxx

3.设n为正整数，且n能整除12和18，求n的所有可能取值。

Xxxxxx

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A.正确

 解析：由整除的定义，若a|b，则存在整数k，使得b=ak。同理，存在整数l，使得c=al。则b+c=ak+al=a(k+l)，因为k+l是整数，所以a|b+c。

2.B.错误

 解析：反例，取m=2，n=4。m的因数有1,2，共2个；n的因数有1,2,4，共3个。m|n，但m的因数个数不小于n的因数个数。

3.A.正确

 解析：由素数的定义，p是素数，则其正因数只有1和p。若p|ab，则ab能被p整除，由算术基本定理，ab的质因数分解中必包含p。因此，p必须整除a或b，否则p会作为a和b的公有质因数出现在ab的分解中，这与a和b互质（或p不为a,b的因数）矛盾。

4.A.1,2,4,5,10,20

 解析：由a|b知，a是b的因数。b=20的因数有1,2,4,5,10,20。在这些因数中，1,2,4,5,10,20本身都能整除20，即它们都满足a|b。选项A包含所有符合条件的a。

5.B.错误

 解析：反例，取n=3。3|n成立，但n+2=5，而3不整除5。

6.A.正确

 解析：由a|b知，存在整数k₁，使得b=ak₁。由b|c知，存在整数k₂，使得c=bk₂。将b的表达式代入c中，得c=(ak₁)k₂=a(k₁k₂)。因为k₁k₂是整数，所以a|c。

7.A.正确

 解析：这是算术基本定理（或欧几里得引理）的表述。如果素数p整除合数ab，则p必须至少是a或b的一个质因数。如果p不整除a，那么a可以写成p的幂次乘以p的互质整数q，即a=p^m*q。同理，b=p^n*r，其中r与p互质。则ab=p^(m+n)*(qr)。因为p是素数，所以p^(m+n)包含p作为因子，这意味着qr也必须包含p作为因子，即p|qr。但q和r都与p互质，所以p不可能整除q和r，这与算术基本定理矛盾。因此，p必须整除a或b。

8.B.错误

 解析：反例，取a=4，b=8。a|b成立。a的倍数有4,8,12,16,...，其中12不是b的倍数（8*1.5=12，但1.5不是整数）。

9.A.1,2,3,4,6,12

 解析：12的正因数就是能整除12的正整数，它们是1,2,3,4,6,12。

10.A.正确

 解析：由a|b知，存在整数k，使得b=ak。则b/a=ak/a=k。k是整数，所以b/a是整数。

二、填空题答案及解析

1.6

 解析：由6|n知，存在整数k，使得n=6k。则n+5=6k+5=6k+6-1=6(k+1)-1。因为k+1是整数，所以n+5被6减去1后，结果仍然能被6整除，即n+5-1能被6整除。又因为n+5-1=6k+4=2(3k+2)，不能被6整除。所以n+5本身能被6整除。

2.12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144

 解析：a=12。由a|b知，b是12的倍数。由b|c知，c是b的倍数，即c是12的倍数的倍数。c必须是12的2倍或以上的倍数。12的倍数有12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,...。我们需要找出这些倍数中，仍然是某个12的倍数的倍数的数。即c必须是12*m的形式，其中m是12的倍数。所以m可以是12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,...。对应的c值就是12*12,12*24,12*36,12*48,12*60,12*72,12*84,12*96,12*108,12*120,12*132,12*144，即12,288,432,576,720,864,1008,1152,1296,1440,1584,1728。但这显然不对，应该是12的倍数的倍数。正确理解是：c必须是形如12*k的形式，其中k本身是12的倍数。即k=12*m，m为正整数。所以c=12*(12*m)=144*m。m为正整数时，c的可能值为：144*1=144,144*2=288,...这显然不满足条件。重新思考：b|c意味着c是b的倍数。a|b意味着b是12的倍数。所以c必须是12的倍数的倍数。即c=12*k，其中k是12的倍数。k的最小值是12，此时c=12*12=144。k=24时，c=12*24=288。k=36时，c=12*36=432。这样下去，c的值是144的倍数：144,288,432,576,720,864,1008,1152,1296,1440,1584,1728,...但题目要求a=12时c的可能取值，c必须是12的倍数，即c形式为12k。c是b的倍数，b是12的倍数，即b=12j。所以c是12j的倍数，c=12k'。所以12k'=12j=>k'=j。即c必须是12的倍数。那么c的可能取值就是12的倍数：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,...但还需要满足b|c，即12j|12k'=>j|k'。所以k'必须是j的倍数。k'的最小值是j。所以c的最小值是12*j。我们需要列出所有可能的c值。由a=12,b是12的倍数j，c是12的倍数k，且12j|12k=>j|k=>k=j,2j,3j,...。所以c=12j,12(2j),12(3j),...。当j=1时，c=12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144。当j=2时，c=24,48,72,96,120,144,...。当j=3时，c=36,72,108,144,...。...综上，所有满足条件的c值是12的倍数：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,24,48,72,96,120,144,36,72,108,144,48,96,144,60,120,180,72,144,216,...看起来过于复杂。更简单的方法是：a|b,b|c=>a|c。a=12。所以c必须是12的倍数。c是b的倍数，b是12的倍数。所以c是12的倍数的倍数。即c形式为12k，k是正整数。k本身也必须是12的倍数（否则b不能整除c）。所以k=12m，m为正整数。则c=12*(12m)=144m。m为正整数时，c的可能值为：144*1=144,144*2=288,144*3=432,...这显然不对。重新思考：a|b,b|c=>a|c。a=12。所以c必须是12的倍数。c=bk，b=12j。所以c=12j*k。c是12的倍数，所以12j*k是12的倍数。因为12j已经是12的倍数，所以k必须是正整数即可。所以c的可能值是所有12的倍数：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,...即12的倍数。

3.算术基本定理（或欧几里得引理）

 解析：若p为素数，且p|ab，则根据算术基本定理（或欧几里得引理），p必须整除a或b，或者p同时整除a和b。如果p同时整除a和b，则p|a且p|b，所以p|ab（因为(ab)/(ab)=1，1是整数）。如果p不整除a也不整除b，那么a和b中每个数的质因数分解中都不包含p。根据算术基本定理，ab的质因数分解是a的质因数分解和b的质因数分解的组合。由于a和b的质因数分解中都不包含p，所以ab的质因数分解中也不包含p。这与p|ab矛盾。因此，p必须整除a或b。

4.因数

 解析：由a|b知，存在整数k₁，使得b=ak₁。a的所有倍数可以表示为a*m，其中m是正整数。对于任意一个a*m，设m=k₁k₂，其中k₂是正整数。则a*m=a*(k₁k₂)=(ak₁)k₂=b*k₂。因为b*k₂是b的k₂倍，k₂是正整数，所以a*m是b的倍数。这意味着a的所有倍数都包含在b的所有倍数中。或者说，b的所有倍数都可以写成a乘以某个整数的形式。

5.1,2,3,6,9,18

 解析：18的正因数就是能整除18的正整数，它们是1,2,3,6,9,18。

6.3

 解析：由3|n知，存在整数k，使得n=3k。则n+4=3k+4=3k+3+1=3(k+1)+1。因为k+1是整数，所以n+4被3减去1后，结果仍然能被3整除，即n+4-1能被3整除。又因为n+4-1=3k+3=3(k+1)，显然能被3整除。所以n+4本身能被3整除。

7.1,2,3,4,6,8,12,24

 解析：b=24。由a|b知，a是24的因数。24的正因数有1,2,3,4,6,8,12,24。这些因数都满足a|b。

8.算术基本定理（或欧几里得引理）

 解析：同第3题解析。

9.整数

 解析：由a|b知，存在整数k，使得b=ak。则b/a=ak/a=k。k是整数，所以b/a是整数。

10.1,2,3,5,6,10,15,30

 解析：30的正因数就是能整除30的正整数，它们是1,2,3,5,6,10,15,30。

三、多选题答案及解析

1.A,B,C,D,E

 解析：A.正确。见第一题解析。B.正确。见第三题解析。C.正确。见第四题解析。D.正确。见第九题解析。E.正确。见第十题解析。

2.B,C,D,E

 解析：A.错误。见第二题解析。B.正确。见第三题解析。C.正确。见第四题解析。D.正确。见第十题解析。E.正确。a的倍数形式为a*m，b的因数是d，若d|a*m，则d|a或d|m。因为d|a，所以a的倍数一定包含b的所有因数。

3.A,B,C,D,E

 解析：A.正确。见第二题解析。B.正确。见第三题解析。C.正确。见第四题解析。D.正确。18的正因数有1,2,3,6,9,18。这些因数都满足n|18。E.正确。见第十题解析。

4.A,B,C,D,E

 解析：A.正确。见第二题解析。B.正确。见第三题解析。C.正确。见第四题解析。D.正确。见第十题解析。E.正确。a的倍数形式为a*m，b的因数是d，若d|a*m，则d|a或d|m。因为d|a，所以a的倍数一定包含b的所有因数。

5.A,B,C,D,E

 解析：A.正确。见第六题解析。B.正确。见第三题解析。C.正确。见第四题解析。D.正确。12的正因数有1,2,3,4,6,12。这些因数都满足n|12。E.正确。见第十题解析。

四、判断题答案及解析

1.A.正确

 解析：同第一题解析。

2.A.正确

 解析：同第三题解析。

3.A.正确

 解析：同第四题解析。

4.A.正确

 解析：同第九题解析。

5.A.正确

 解析：同第十题解析。

6.A.正确

 解析：同第二题解析。

7.A.正确

 解析：同第三题解析。

8.B.错误

 解析：反例，取a=4，b=8。a|b成立。a的倍数有4,8,12,16,...，其中12不是b的倍数（8*1.5=12，但1.5不是整数）。所以a的倍数不一定包含b的所有因数。

9.A.正确

 解析：同第九题解析。