高中奥数数列不等式压轴卷

高中奥数数列不等式压轴卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三奥数班

试标题:高中奥数数列不等式压轴卷

一、选择题

1.设等差数列{a_n}的首项为1，公差为d，前n项和为S_n，若S_3>S_2，且S_6=S_4，则d的取值范围是

A.(-1,0)

B.(-1,1)

C.(0,1)

D.(-1,1)

2.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5的值为

A.31

B.33

C.35

D.37

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3n，则a_4的值是

A.15

B.17

C.19

D.21

4.若数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a_1+a_2+a_3=7，a_2+a_3+a_4=21，则q的值为

A.2

B.3

C.4

D.5

5.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+a_n，则a_5的值是

A.55

B.56

C.57

D.58

6.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（n≥3），且a_1=1，a_2=2，则a_6的值是

A.13

B.14

C.15

D.16

7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则a_3的值是

A.20

B.21

C.22

D.23

8.若数列{a_n}是公差为d的等差数列，且a_1=1，a_4+a_7=10，则d的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

9.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=na_n，则a_5的值是

A.5

B.10

C.15

D.20

10.若数列{a_n}满足a_n=n(n+1)，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5的值是

A.55

B.60

C.65

D.70

二、填空题

1.设等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则a_10的值是

2.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n，则a_5的值是

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则a_3的值是

4.若数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a_1+a_2+a_3=9，a_2+a_3+a_4=27，则q的值为

5.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+a_n，则a_5的值是

6.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（n≥3），且a_1=1，a_2=2，则a_6的值是

7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则a_3的值是

8.若数列{a_n}是公差为d的等差数列，且a_1=1，a_4+a_7=10，则d的值为

9.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=na_n，则a_5的值是

10.若数列{a_n}满足a_n=n(n+1)，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5的值是

三、多选题

1.设等差数列{a_n}的首项为1，公差为d，前n项和为S_n，若S_3>S_2，且S_6=S_4，则d的取值范围是

A.(-1,0)

B.(-1,1)

C.(0,1)

D.(-1,1)

2.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5的值为

A.31

B.33

C.35

D.37

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3n，则a_4的值是

A.15

B.17

C.19

D.21

4.若数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a_1+a_2+a_3=7，a_2+a_3+a_4=21，则q的值为

A.2

B.3

C.4

D.5

5.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+a_n，则a_5的值是

A.55

B.56

C.57

D.58

6.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（n≥3），且a_1=1，a_2=2，则a_6的值是

A.13

B.14

C.15

D.16

7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则a_3的值是

A.20

B.21

C.22

D.23

8.若数列{a_n}是公差为d的等差数列，且a_1=1，a_4+a_7=10，则d的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

9.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=na_n，则a_5的值是

A.5

B.10

C.15

D.20

10.若数列{a_n}满足a_n=n(n+1)，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5的值是

A.55

B.60

C.65

D.70

四、判断题

1.等差数列的任意两项之差等于公差。

2.等比数列的任意两项之比等于公比。

3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+a_n，则{a_n}是等差数列。

4.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（n≥3），且a_1=1，a_2=2，则{a_n}是斐波那契数列。

5.若数列{a_n}是公比为q的等比数列，且q=1，则{a_n}是常数列。

6.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=na_n，则{a_n}是等比数列。

7.若数列{a_n}满足a_n=n(n+1)，则{a_n}是等差数列。

8.若数列{a_n}是公差为d的等差数列，且d=0，则{a_n}是常数列。

9.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3n，则{a_n}是等差数列。

10.若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+1，则{a_n}是等比数列。

五、问答题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，求通项公式a_n。

2.若数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a_1+a_2+a_3=7，a_2+a_3+a_4=21，求q的值。

3.设数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（n≥3），且a_1=1，a_2=2，求a_10的值。

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：由S_3>S_2得a_3>0，即1+2d>0，解得d>-1/2。由S_6=S_4得3a_5=0，即a_5=0，解得d=0。故d的取值范围是(-1/2,0)，选项A符合。

2.D

解析：由a_n+1=2a_n+1得a_n=2a_{n-1}+1，且a_1=1。逐项计算得a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31，故a_5的值为37，选项D正确。

3.B

解析：由S_n=2a_n-3n得a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-3n-(2a_{n-1}-3(n-1))，化简得a_n=2a_{n-1}+3。当n=1时，a_1=S_1-3=2a_1-3，解得a_1=3。逐项计算得a_2=9，a_3=21，a_4=45，故a_4的值为17，选项B正确。

4.B

解析：由a_1+a_2+a_3=7得a_1+aq+aq^2=7，由a_2+a_3+a_4=21得aq+aq^2+aq^3=21。两式相除得q=3，故q的值为3，选项B正确。

5.C

解析：由S_n=n^2+a_n得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+a_n-(n-1)^2-a_{n-1}，化简得a_n=2n-1+a_{n-1}。当n=1时，a_1=S_1-a_1=1+a_1，解得a_1=0。逐项计算得a_2=3，a_3=5，a_4=9，a_5=13，故a_5的值为57，选项C正确。

6.D

解析：由a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（n≥3）得{a_n}是斐波那契数列，且a_1=1，a_2=2。逐项计算得a_3=3，a_4=5，a_5=8，a_6=13，故a_6的值为16，选项D正确。

7.B

解析：由S_n=3n^2+n得a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))，化简得a_n=6n-2。当n=1时，a_1=S_1-a_1=3+1-a_1，解得a_1=2。逐项计算得a_3=16，故a_3的值为21，选项B正确。

8.B

解析：由a_4+a_7=10得(1+3d)+(1+6d)=10，解得d=1。故d的值为2，选项B正确。

9.C

解析：由S_n=na_n得a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，化简得a_n=n*a_{n-1}/(n-1)。当n=1时，a_1=S_1-a_1=a_1，解得a_1=0。逐项计算得a_5=20，故a_5的值为19，选项C正确。

10.C

解析：由a_n=n(n+1)得a_1=2，a_2=6，a_3=12，a_4=20，a_5=30，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5的值为70，选项C正确。

二、填空题

1.34

解析：由a_n=a_1+(n-1)d得a_10=2+(10-1)3=34。

2.16

解析：由a_n=a_1*q^{n-1}得a_5=1*2^4=16。

3.14

解析：由a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))，化简得a_n=4n-1。当n=3时，a_3=4*3-1=11。

4.3

解析：由a_1+a_2+a_3=9得a_1+aq+aq^2=9，由a_2+a_3+a_4=27得aq+aq^2+aq^3=27。两式相除得q=3。

5.55

解析：由S_n=n^2+a_n得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+a_n-(n-1)^2-a_{n-1}，化简得a_n=2n-1+a_{n-1}。当n=5时，a_5=2*5-1+a_4=9+a_4=55。

6.13

解析：由a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（n≥3）得{a_n}是斐波那契数列，且a_1=1，a_2=2。逐项计算得a_6=8+a_5=13。

7.22

解析：由S_n=3n^2+n得a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))，化简得a_n=6n-2。当n=3时，a_3=6*3-2=16。

8.1

解析：由a_4+a_7=10得(1+3d)+(1+6d)=10，解得d=1。

9.15

解析：由S_n=na_n得a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，化简得a_n=n*a_{n-1}/(n-1)。当n=5时，a_5=5*a_4/4=15。

10.55

解析：由a_n=n(n+1)得a_1=2，a_2=6，a_3=12，a_4=20，a_5=30，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5的值为70。

三、多选题

1.A

解析：由S_3>S_2得a_3>0，即1+2d>0，解得d>-1/2。由S_6=S_4得3a_5=0，即a_5=0，解得d=0。故d的取值范围是(-1/2,0)，选项A符合。

2.D

解析：由a_n+1=2a_n+1得a_n=2a_{n-1}+1，且a_1=1。逐项计算得a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31，故a_5的值为37，选项D正确。

3.B

解析：由S_n=2a_n-3n得a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-3n-(2a_{n-1}-3(n-1))，化简得a_n=2a_{n-1}+3。当n=1时，a_1=S_1-3=2a_1-3，解得a_1=3。逐项计算得a_4=9，故a_4的值为17，选项B正确。

4.B

解析：由a_1+a_2+a_3=7得a_1+aq+aq^2=7，由a_2+a_3+a_4=21得aq+aq^2+aq^3=21。两式相除得q=3，故q的值为3，选项B正确。

5.C

解析：由S_n=n^2+a_n得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+a_n-(n-1)^2-a_{n-1}，化简得a_n=2n-1+a_{n-1}。当n=5时，a_5=2*5-1+a_4=9+a_4=57，选项C正确。

6.D

解析：由a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（n≥3）得{a_n}是斐波那契数列，且a_1=1，a_2=2。逐项计算得a_6=8+a_5=13，故a_6的值为16，选项D正确。

7.B

解析：由S_n=3n^2+n得a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))，化简得a_n=6n-2。当n=3时，a_3=6*3-2=16，故a_3的值为21，选项B正确。

8.B

解析：由a_4+a_7=10得(1+3d)+(1+6d)=10，解得d=1。故d的值为2，选项B正确。

9.C

解析：由S_n=na_n得a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，化简得a_n=n*a_{n-1}/(n-1)。当n=5时，a_5=5*a_4/4=15，故a_5的值为19，选项C正确。

10.C

解析：由a_n=n(n+1)得a_1=2，a_2=6，a_3=12，a_4=20，a_5=30，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5的值为70，选项C正确。

四、判断题

1.正确

解析：等差数列的定义就是任意两项之差等于公差。

2.正确

解析：等比数列的定义就是任意两项之比等于公比。

3.正确

解析：由S_n=n^2+a_n得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+a_n-(n-1)^2-a_{n-1}，化简得a_n=2n-1+a_{n-1}，故{a_n}是等差数列。

4.正确

解析：斐波那契数列的定义就是a_n=a_{n-1}+a_{n-2}（n≥3），且a_1=1，a_2=2。

5.正确

解析：公比为q的等比数列，若q=1，则每一项都相等，故是常数列。

6.错误

解析：由S_n=na_n得a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{