强基计划概率统计专项卷

强基计划概率统计专项卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

强基计划概率统计专项卷

一、选择题

1.从一副扑克牌中（除去大小王）随机抽取一张，抽到红桃的概率是

A.1/4

B.1/2

C.1/13

D.12/13

2.一个袋子里有5个红球和4个黑球，从中随机取出3个球，取出2个红球和1个黑球的概率是

A.5/12

B.1/2

C.3/10

D.1/6

3.已知事件A和事件B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)等于

A.0.42

B.0.88

C.1.2

D.0.94

4.一个班级有60名学生，其中男生40名，女生20名，随机选出5名学生组成一个小组，小组中恰好有3名男生和2名女生的概率是

A.1/63

B.4/63

C.8/63

D.16/63

5.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，Var(X)=4，则n和p的值分别是

A.n=12，p=0.5

B.n=9，p=0.6

C.n=8，p=0.75

D.n=10，p=0.4

6.设随机变量X的分布律为：

X0123

P0.10.20.30.4

则E(X)等于

A.1.2

B.1.8

C.2.4

D.3.0

7.已知随机变量X和Y的联合分布律如下：

Y\X012

00.10.20.1

10.20.10.2

则P(X>Y)等于

A.0.3

B.0.4

C.0.5

D.0.6

8.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(X>μ+σ)等于

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

9.一个盒子里有10个灯泡，其中3个是坏的，7个是好的，从中随机取出4个灯泡，取出的4个灯泡都是好的概率是

A.1/3

B.1/10

C.7/40

D.1/12

10.已知事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，则P(A|B)等于

A.0.4

B.0.6

C.0.7

D.0.8

二、填空题

1.从一个装有3个红球和2个白球的袋子里，随机取出2个球，取出的2个球颜色相同的概率是________。

2.已知随机变量X服从二项分布B(10,0.3)，则P(X=3)=________。

3.设随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从指数分布Exp(2)，则E(XY)=________。

4.已知随机变量X的分布函数为F(x)，则P(a<X<b)=________。

5.一个袋子里有5个红球和4个黑球，从中随机取出3个球，取出的3个球中至少有1个红球的概率是________。

6.设随机变量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=1，则随机变量Y=3X-4的期望E(Y)=________，方差Var(Y)=________。

7.已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)，则P(X<Y)=________。

8.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(X>0)=________。

9.一个班级有60名学生，其中男生40名，女生20名，随机选出5名学生组成一个小组，小组中女生人数不超过2人的概率是________。

10.已知事件A和事件B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B')=________。

三、多选题

1.下列哪些事件是互斥事件？

A.从一副扑克牌中抽到红桃和抽到黑桃

B.从一副扑克牌中抽到红桃和抽到红心

C.从一副扑克牌中抽到红桃和抽到J牌

D.从一副扑克牌中抽到红桃和抽到方块

2.下列哪些分布是离散分布？

A.二项分布

B.泊松分布

C.均匀分布

D.正态分布

3.设随机变量X和Y相互独立，以下哪些结论是正确的？

A.E(XY)=E(X)E(Y)

B.Var(XY)=Var(X)Var(Y)

C.E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

4.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，以下哪些结论是正确的？

A.P(X<μ)=0.5

B.P(X>μ)=0.5

C.P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ)

D.P(X<μ+σ)=P(X>μ-σ)

5.从一个装有3个红球和2个白球的袋子里，随机取出2个球，以下哪些概率是正确的？

A.取出2个球都是红球的概率是3/10

B.取出2个球都是白球的概率是1/10

C.取出1个红球和1个白球的概率是3/5

D.取出2个球颜色不同的概率是3/5

四、判断题

1.如果事件A和事件B互斥，那么它们一定相互独立。

2.随机变量的期望值一定大于其方差。

3.二项分布是离散型分布。

4.正态分布是连续型分布。

5.均匀分布的期望值等于其方差。

6.如果随机变量X和Y相互独立，那么P(X|Y)=P(X)。

7.抽样分布是样本统计量的概率分布。

8.样本均值总是比总体均值更精确。

9.P(A|B)=P(A)当且仅当事件A和事件B相互独立。

10.方差是衡量数据离散程度的统计量。

五、问答题

1.请解释什么是条件概率，并给出其计算公式。

2.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，请写出其期望和方差的表达式，并解释其意义。

3.请描述正态分布的性质，并说明其在统计学中的应用。

试卷答案

一、选择题

1.A.1/4

解析：一副扑克牌有52张，红桃有13张，所以抽到红桃的概率是13/52=1/4。

2.C.3/10

解析：从9个球中取出3个的总取法有C(9,3)=84种。取出2个红球和1个黑球的取法有C(5,2)*C(4,1)=10*4=40种。所以概率是40/84=3/10。

3.B.0.88

解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.7-0.6*0.7=0.88。

4.D.16/63

解析：从60名学生中选出5名的方法有C(60,5)=5445种。选出3名男生和2名女生的方法有C(40,3)*C(20,2)=9880*190=1880200种。所以概率是1880200/544500=16/63。

5.A.n=12，p=0.5

解析：E(X)=np=6，Var(X)=np(1-p)=4。解方程组得n=12，p=0.5。

6.C.2.4

解析：E(X)=0*0.1+1*0.2+2*0.3+3*0.4=2.4。

7.B.0.4

解析：P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=0)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=0.1+0.2+0.1+0.2+0.2+0.2=0.4。

8.A.0.2

解析：正态分布关于均值对称，所以P(X>μ+σ)=P(X<μ-σ)=0.2。

9.C.7/40

解析：从10个灯泡中取出4个的总取法有C(10,4)=210种。取出的4个灯泡都是好的取法有C(7,4)=35种。所以概率是35/210=7/40。

10.A.0.4

解析：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=(P(A)-P(A∪B')+P(B')-P(A'∩B'))/P(B)=(0.5-0.2+0.3-0.1)/0.7=0.4。

二、填空题

1.3/10

解析：取出2个球颜色相同的概率是取出2个红球的概率加上取出2个白球的概率，即C(3,2)/C(5,2)+C(2,2)/C(5,2)=3/10+1/10=3/10。

2.0.000243

解析：P(X=3)=C(10,3)*0.3^3*0.7^7=120*0.027*0.0823543=0.000243。

3.1/4

解析：E(XY)=E(X)E(Y)=(1/2)*(1/2)=1/4。

4.F(b)-F(a)

解析：根据分布函数的定义，P(a<X<b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a)。

5.9/10

解析：取出的3个球中至少有1个红球的概率是1减去取出的3个球都是白球的概率，即1-C(4,3)/C(9,3)=1-4/84=9/10。

6.2，9

解析：E(Y)=3E(X)-4=3*2-4=2。Var(Y)=9Var(X)=9*1=9。

7.∫∫_Df(x,y)dydx，其中D为x<y的区域

解析：P(X<Y)需要计算联合概率密度函数在x<y的区域上的积分。

8.0.5

解析：正态分布关于均值对称，所以P(X>0)=0.5。

9.17/42

解析：小组中女生人数不超过2人的概率是女生人数为0、1或2的概率之和，即C(20,0)*C(40,5)/C(60,5)+C(20,1)*C(40,4)/C(60,5)+C(20,2)*C(40,3)/C(60,5)=1/252+20/63+160/385=17/42。

10.0.28

解析：P(A∩B')=P(A)-P(A∩B)=P(A)-P(A)P(B)=0.6-0.6*0.7=0.28。

三、多选题

1.A.从一副扑克牌中抽到红桃和抽到黑桃

解析：互斥事件是指不能同时发生的事件。抽到红桃和抽到黑桃是互斥的。

2.A.二项分布

B.泊松分布

解析：二项分布和泊松分布都是离散型分布。

3.A.E(XY)=E(X)E(Y)

C.E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

解析：相互独立的随机变量满足以上三条性质。

4.A.P(X<μ)=0.5

B.P(X>μ)=0.5

C.P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ)

D.P(X<μ+σ)=P(X>μ-σ)

解析：这些都是正态分布的基本性质。

5.A.取出2个球都是红球的概率是3/10

C.取出1个红球和1个白球的概率是3/5

解析：计算方法同填空题第1题。

四、判断题

1.错误

解析：互斥事件是指不能同时发生的事件，而相互独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。互斥事件的发生概率之和不等于1，而相互独立事件的概率乘积等于条件概率。

2.错误

解析：期望值是数据的平均水平，而方差是数据的离散程度，两者没有大小关系。

3.正确

解析：二项分布是离散型分布，描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

4.正确

解析：正态分布是连续型分布，描述了数据在某个范围内的概率密度。

5.错误

解析：均匀分布的期望值等于区间中点，而方差等于区间长度的平方除以12。

6.正确

解析：根据条件概率的定义，P(X|Y)=P(X∩Y)/P(Y)，当X和Y相互独立时，P(X∩Y)=P(X)P(Y)，所以P(X|Y)=P(X)。

7.正确

解析：抽样分布是样本统计量的概率分布，例如样本均值的抽样分布。

8.错误

解析：样本均值在某些情况下可能比总体均值更精确，但这取决于样本量和其他因素。

9.正确

解析：这是条件概率和独立性定义的直接推论。

10.正确

解析：方差是衡量数据离散程度的统计量