浙江省杭州市经济开发区重点中学2026届十校联考最后数学试题含解析

浙江省杭州市经济开发区重点中学2026届十校联考最后数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（）A． B．C． D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是A． B． C． D．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为A． B． C． D．5．如图，A、B为⊙O上两点，D为弧AB的中点，C在弧AD上，且∠ACB=120°，DE⊥BC于E，若AC=DE，则的值为（）A．3 B． C． D．6．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）cm．A． B． C． D．7．如图，A,B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束.设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是A．① B．④ C．②或④ D．①或③8．如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2：3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的面积为()

A．30 B．27 C．14 D．329．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A．（，-1） B．（2，﹣1） C．（1，-） D．（﹣1，）10．下列运算正确的是（）A． B．C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是______．12．已知抛物线y＝x2上一点A，以A为顶点作抛物线C：y＝x2＋bx＋c，点B(2，yB)为抛物线C上一点，当点A在抛物线y＝x2上任意移动时，则yB的取值范围是_________．13．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝____cm．14．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=3(x+2)2-1平移后得到抛物线y=3x2+2.请你写出一种平移方法.答：________.15．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为．16．地球上的海洋面积约为361000000km1，则科学记数法可表示为_______km1．17．若式子有意义，则实数x的取值范围是_______.三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半径．19．（5分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量，a为：（2）n为°，E组所占比例为%：（3）补全频数分布直方图；（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有名．20．（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？21．（10分）先化简分式：（-）÷∙，再从-3、-3、2、-2中选一个你喜欢的数作为的值代入求值．22．（10分）某商场服装部分为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额的数据，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（1）该商场服装营业员的人数为，图①中m的值为；（2）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．23．（12分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？24．（14分）解不等式，并把它的解集表示在数轴上.

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解析】

抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，-1），

可设新抛物线的解析式为：y=（x-h）1+k，

代入得：y=（x+1）1-1．

∴所得图象的解析式为：y=（x+1）1-1；

故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．2、B【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．3、C【解析】

如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.【详解】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴，故选C．【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．4、B【解析】

在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=：=，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．5、C【解析】

连接D为弧AB的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：在BC上截取,连接DF,则≌,根据全等三角形的性质可得：即根据等腰三角形的性质可得：设则即可求出的值.【详解】如图：连接D为弧AB的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：在BC上截取,连接DF,则≌,即根据等腰三角形的性质可得：设则故选C.【点睛】考查弧，弦之间的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，综合性比较强，关键是构造全等三角形.6、B【解析】分析：直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．详解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，设圆锥底面圆的半径为：r，则2πr=，解得：r=10，故这个圆锥的高为：（cm）．故选B．点睛：此题主要考查了圆锥的计算，正确得出圆锥的半径是解题关键．7、D【解析】

分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①．故选D．8、A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，∴，∵BE：AB=2：3，AE=AB+BE，∴BE：CD=2：3，BE：AE=2：5，∴，∵S△BEF=4，∴S△CDF=9，S△AED=25，∴S四边形ABFD=S△AED-S△BEF=25-4=21，∴S平行四边形ABCD=S△CDF+S四边形ABFD=9+21=30，故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，熟记相似三角形的面积等于相似比的平方是解题的关键.9、A【解析】

作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，则∠ADO=∠OEC=90°，得出∠1+∠1=90°，由正方形的性质得出OC=AO，∠1+∠3=90°，证出∠3=∠1，由AAS证明△OCE≌△AOD，得到OE=AD=1，CE=OD=，即可得出结果．【详解】解：作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，如图所示：则∠ADO=∠OEC=90°，∴∠1+∠1=90°．∵AO=1，AD=1，∴OD=，∴点A的坐标为（1，），∴AD=1，OD=．∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=90°，OC=AO，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠1．在△OCE和△AOD中，∵，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE=AD=1，CE=OD=，∴点C的坐标为（，﹣1）．故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．10、D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得.【详解】A.，故A选项错误，不符合题意；B.，故B选项错误，不符合题意；C.，故C选项错误，不符合题意；D.，正确，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1﹣1【解析】

如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=1，即可求出B′D．【详解】如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=1，∵AD=6，∴DE=，∴B′D=1﹣1．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B′在何位置时，B′D的值最小是解题的关键．12、ya≥1【解析】

设点A的坐标为（m，n），由题意可知n=m1，从而可知抛物线C为y=（x-m）1+n，化简为y=x1-1mx+1m1，将x=1代入y=x1-1mx+1m1，利用二次函数的性质即可求出答案．【详解】设点A的坐标为（m，n），m为全体实数，

由于点A在抛物线y=x1上，

∴n=m1，

由于以A为顶点的抛物线C为y=x1+bx+c，

∴抛物线C为y=（x-m）1+n

化简为：y=x1-1mx+m1+n=x1-1mx+1m1，

∴令x=1，

∴ya=4-4m+1m1=1（m-1）1+1≥1，

∴ya≥1，

故答案为ya≥1【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意求出ya=4-4m+1m1=1（m-1）1+1．13、2－2【解析】

根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入运算即可．【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=4×=cm，故答案为：（2－2）cm.【点睛】此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，难度一般．14、答案不唯一【解析】分析：把y改写成顶点式，进而解答即可.详解：y先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位得到抛物线.故答案为y先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位得到抛物线.点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式为y=a(x-)²+,然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题.15、【解析】

要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE和OC的长求得．【详解】解：连接OD，如图所示，由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BOtan30°=6×=2，∵∠COE=90°，OC=3，∴OE=OCtan60°=3×=3，∴AE=OE﹣OA=3-2=，【点晴】切线的性质16、3.61×2【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将361000000用科学记数法表示为3.61×2．故答案为3.61×2．17、x≤2且x≠1【解析】

根据被开方数大于等于1，分母不等于1列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，且x≠1，解得且x≠1．故答案为且x≠1．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1；二次根式的被开方数是非负数．三、解答题（共7小题，满分69分）18、⊙O的半径为．【解析】

如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。【详解】解：如图，连接OA．交BC于H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，∴∠AHC＝∠BHO＝90°，∵，AC＝9，∴AH＝3，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，∴42+(r﹣3)2＝r2，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．19、（1）200；16（2）126；12%（3）见解析（4）940【解析】分析：（1）由于A组的频数比B组小24，而A组的频率比B组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a和b的值；（2）用360度乘以D组的频率可得到n的值，根据百分比之和为1可得E组百分比；（3）计算出C和E组的频数后补全频数分布直方图；(4）利用样本估计总体，用2000乘以D组和E组的频率和即可．本题解析：（）调查的总人数为，∴，，（）部分所对的圆心角，即，组所占比例为：，（）组的频数为，组的频数为，补全频数分布直方图为：（），∴估计成绩优秀的学生有人．点睛：本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，要认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体.20、12【解析】

设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，依题意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0，解得：x＝36或x＝24（不合题意，舍去），∴60﹣x＝60﹣36＝24（步），∴36﹣24＝12（步），则该矩形的长比宽多12步．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．21、；5【解析】

原式=（-）∙=∙=∙=a=2,原式=522、（1）25；28；（2）平均数：1.2；众数：3；中位数：1．【解析】

（1）观察统计图可得，该商场服装部营业员人数为2+5+7+8+3=25人，m%=1-32%-12%-8%-20%=28%，即m=28；（2）计算出所有营业员的销售总额除以营业员的总人数即可的平均数；观察统计图，根据众数、中位数的定义即可得答案．【详解】解：（1）根据条形图2+5+7+8+3=25（人），

m=100-20-32-12-8=28；故答案为：25；28；（2）观察条形统计图，∵∴这组数据的平均数是1.2．∵在这组数据中，