小学二年级数学下册《有余数的除法》教案

小学二年级数学下册《有余数的除法》教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与运算”领域强调，要引导学生在具体情境中理解数的意义及运算的算理，建立数感和运算能力。本课“有余数的除法”是学生在学习了“平均分”和“表内除法”之后，对除法意义认识的第一次重要扩充，是从“恰好分完”到“平均分后有剩余”的认知飞跃，是后续学习多位数除法、理解“余数小于除数”以及解决周期问题等复杂情境的基石。从学科核心素养角度看，本课是培养学生运算能力和模型意识的绝佳载体。学生需要通过大量的操作活动，将“平均分后有剩余”的现实情境抽象为“被除数÷除数=商……余数”的数学模型，并理解算式中每个数字的具体含义。同时，探究“余数为什么一定要比除数小”的过程，蕴含了初步的推理意识，为数学思维的严谨性发展埋下种子。本课的重难点预判为：一是理解余数的产生过程及意义，二是掌握有余数除法的横式与竖式写法，核心挑战在于对“余数<除数”这一核心规律的理解与内化。

本课面向小学二年级下学期学生。他们已牢固掌握表内乘除法，熟悉“平均分”的操作与概念，具备初步的动手操作和小组合作能力。然而，他们的思维仍以具体形象思维为主，抽象概括能力正在发展中。“余数”作为一个新出现的、表征“剩余”部分的量，对学生而言是抽象的。常见的认知障碍包括：分物过程混乱导致对剩余部分归属不清；写算式时混淆商和余数的位置；难以自发发现并理解“余数小于除数”的必然性。因此，教学必须建立在充分的实物操作（如摆小棒、分圆片）之上，通过“分一分、摆一摆、圈一圈、写一写、说一说”的系列活动，将操作过程、语言表征与数学符号（算式）一一对应，搭建从具体到抽象的认知阶梯。教学中需通过设问、巡视和即时练习，动态评估学生从操作到符号化的转化程度，并为理解有困难的学生提供“再操作一次”或“用更少的物品分解步骤”等差异化支持。

二、教学目标

知识目标：学生通过分一分、摆一摆等操作活动，理解余数产生的实际意义，能正确写出有余数除法的横式与竖式，掌握算式中各部分名称（被除数、除数、商、余数），并能根据操作结果解释算式的含义，实现从具体操作到抽象符号的成功转化。

能力目标：在探究“余数为什么比除数小”的规律过程中，学生能基于操作数据进行观察、比较和归纳，发展初步的合情推理能力和归纳概括能力；在解决简单实际问题时，能运用有余数除法的模型进行思考和表达。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究活动中，学生能积极参与操作与讨论，敢于提出自己的发现和疑问，体验数学探究的乐趣和解决问题的成就感，初步养成乐于探索、严谨认真的学习态度。

数学思维目标：重点发展学生的模型意识，引导他们将“平均分后有剩余”的多次具体分物过程，抽象概括为统一的数学模型；在探索余数与除数关系时，渗透归纳推理和极限思想（余数最大能是多少？）。

评价与元认知目标：引导学生学会通过“用学具摆一摆”来检验自己的除法算式是否正确；在课堂小结时，能用自己的话回顾“今天学会了什么”和“是怎么学会的”，初步反思学习过程。

三、教学重点与难点

教学重点：理解有余数除法的意义，掌握其横式与竖式的正确写法。确立依据在于，这是除法概念从“整除”到“非整除”的关键拓展，是构建完整除法认知结构的核心节点。无论是课标要求还是后续学习，清晰理解余数的含义并规范书写算式都是不可或缺的基础能力。

教学难点：理解“余数必须比除数小”的道理，并能灵活运用。难点成因在于，这一规律具有抽象性和逻辑必然性，对于以形象思维为主的二年级学生而言，仅靠记忆难以真正理解。学生常见的错误是在计算时得出比除数大的“余数”，这源于对“还可以再分一份”的操作过程缺乏深刻体验。突破方向是设计层层递进的探究活动，让学生在“为什么不能再分了”的追问中，通过操作感知其必然性。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（包含动态分物过程、练习题）；板书设计（预留概念区、探究区、练习区）。

1.2学具与材料：每位学生准备一袋小棒（约15根）、学习任务单。

2.学生准备

2.1课前预习：回顾“平均分”的含义。

2.2物品准备：数学书、练习本。

3.环境准备

3.1座位安排：四人小组围坐，便于合作探究与学具操作。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境设疑，唤醒旧知：“同学们，还记得什么是平均分吗？我们来玩个小游戏。老师有6颗糖果，要平均分给坐得最端正的2个小组，每个小组能分到几颗？”（学生答：3颗）板书算式：6÷2=3（颗）。复习除法的意义。

2.制造冲突，引出新课：“如果老师现在有7颗糖果，还是平均分给这2个小组，结果会怎样？请大家用小棒代替糖果，在桌上分一分。”学生操作后，引导汇报：“每个小组先分到3颗，还多出1颗。”教师追问：“这多出来的1颗，还能再平均分给两个小组吗？”（不能）。“对，在平均分的时候，有时会碰到这种‘分不完’的情况。今天我们就来专门研究这种‘分后有剩余’的数学问题——《有余数的除法》。”

第二、新授环节

本环节通过支架式教学，设计五个递进式探究任务，引导学生主动建构知识。

###任务一：操作感知，认识余数

1.教师活动：提出探究问题：“8根小棒，每4根摆一个正方形，可以摆几个？”引导学生动手操作并列出除法算式（8÷4=2）。接着改变条件：“现在有9根小棒，还是每4根摆一个正方形，请大家动手摆一摆，看看能摆几个？还剩几根？”巡视指导，收集不同结果。请学生上台演示操作过程，并追问：“摆完后剩下的这1根小棒，为什么不算进去？”引导学生说出“因为不够再摆一个正方形了”。

2.学生活动：动手操作小棒，直观感受从“正好摆完”到“摆后有剩余”的过程。尝试用语言描述操作结果：“摆了2个正方形，还剩1根。”在教师引导下，思考剩余小棒的特点（不够一份）。

3.即时评价标准：1.操作是否规范有序，能否清晰展示分的过程。2.语言描述是否准确，能否明确指出“剩余”部分。3.能否将操作结果与除法意义相联系。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★余数的产生：在平均分物品时，如果分到最后有剩余，并且剩下的数量不够再分一份，这个剩下的数就叫作“余数”。（教学提示：一定要联系“不够一份”来理解余数，这是核心。）

2.6.有余数除法的横式读写：9÷4=2（个）……1（根）。读作：9除以4等于2余1。引导学生同步指认：9是被除数，4是除数，2是商，1是余数。（教学提示：强调书写规范，特别是“……”的六个点要写清楚。）

###任务二：丰富表象，理解意义

1.教师活动：继续增加数据：“如果用10根、11根小棒来摆，每4根摆一个正方形，结果分别会怎样？请把操作结果记录在学习单的表格里。”组织学生四人小组合作完成。巡视中关注学生记录的完整性（图形、算式）。汇总结果后，引导学生观察一组算式（9÷4=2…1，10÷4=2…2，11÷4=2…3），提问：“这些算式有什么相同和不同的地方？”

2.学生活动：小组合作，完成操作与记录。通过观察和讨论，发现：除数都是4，商都是2，但余数分别是1、2、3，在变化。初步感知在“每份数”固定的情况下，总数增加，余数也会变化。

3.即时评价标准：1.小组分工是否明确，合作是否有效。2.记录是否完整、清晰。3.观察比较后能否发现算式间的异同点。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.▲余数的可变性：在除数不变的情况下，被除数增加，余数可能会发生变化。（教学提示：通过具体数据感受，避免抽象讲解。）

2.6.操作-记录-观察的学习方法：通过动手操作获取数据，用表格有序记录，再通过横向比较发现规律，这是数学探究的一种重要方法。

###任务三：关键探究，发现规律（余数<除数）

1.教师活动：这是突破难点的关键步骤。聚焦上一个任务中11根小棒的结果（11÷4=2…3），追问：“余数3，如果再加1根小棒变成12根呢？”学生操作后得出正好摆3个，没有余数。再追问：“那如果继续加，用13根、14根、15根小棒去摆，余数又会是几？请大家先不摆，根据前面的规律，在小组里猜一猜、说一说。”引导学生大胆猜想并验证。最后抛出核心问题：“请大家看看所有有余数的情况，余数可能是1、2、3。那么，余数有可能是4或者比4大的数吗？为什么？同桌之间讨论一下。”

2.学生活动：经历“猜想-验证”的过程。在讨论“余数能否是4”时，会自然而然地回到操作本源进行思考：“如果余4根，那这4根正好又可以摆一个正方形，就应该分到商里面去，不会剩下了。”从而在思维碰撞中理解“余数必须比除数小”的道理。

3.即时评价标准：1.猜想是否有依据，能否联系前面的操作经验。2.讨论时能否清晰表达自己的推理过程。3.能否最终达成“余数<除数”的共识性结论。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★核心规律：余数<除数：在有余数的除法中，余数一定要比除数小。因为余数如果等于或大于除数，就说明还可以再分一份。（教学提示：这是本课的灵魂，必须让学生从“可再分”的操作层面理解其必然性，而非死记硬背。）

2.6.数学推理的萌芽：“如果……那么……”的思考过程，是基于已知事实（除法的意义）进行的逻辑推理，这是数学证明思想的早期渗透。

###任务四：竖式建模，掌握写法

1.教师活动：“我们不仅可以用横式表示有余数的除法，还可以用竖式，它能把我们分的过程更清楚地展示出来。”以13÷4为例，结合课件动画演示分小棒过程，同步书写竖式。边写边讲解：“先写‘厂’字头，被除数13住进去，除数4站在门外。想：4乘几最接近13又不超过13？对，是3，把商3写在个位上。三四十二，13减12等于1，这个1就是剩下的，也就是余数。”强调书写步骤和位置。然后让学生尝试用竖式计算任务二中11÷4的情况。

2.学生活动：观看动画演示，理解竖式中每一步与实际分物过程的对应关系（商表示份数，乘减表示分掉了多少，余数表示剩下多少）。模仿书写，同桌互相检查书写格式是否正确。

3.即时评价标准：1.能否说出竖式中每一步计算对应的实际含义。2.书写格式是否规范，尤其是商的位置和横线长短。3.计算是否准确，最后是否检查余数是否小于除数。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★除法竖式的意义与写法：竖式是除法计算过程的程序化、可视化记录。掌握“一商、二乘、三减、四比（余数比除数小）”的步骤。（教学提示：初始阶段务必放慢节奏，确保每一步都与操作意义挂钩。）

2.6.数形结合：将具体的分物操作（形）与抽象的竖式计算（数）结合起来理解，是打通算理与算法的桥梁。

###任务五：对比辨析，深化理解

1.教师活动：出示两道题：①16÷4=4；②17÷4=4……1。提问：“这两道题都是把一些物品按每4个一份在分，结果有什么本质不同？”引导学生从是否“正好分完”（即余数是否为0）的角度进行区分。明确：余数是0时，就是以前学过的没有余数的除法（整除），它是今天我们学的有余数除法中的一种特殊情况。

2.学生活动：对比观察两个算式和其含义，认识到有余数除法和之前学习的除法是统一的整体，只是结果的表现形式不同。完成认知的整合。

3.即时评价标准：1.能否清晰指出两道题在结果上的区别。2.能否理解“整除”是“有余数除法”中余数为0的特殊情况。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.▲知识的统整：没有余数的除法（整除）和有余数的除法，都是“平均分”这一数学活动的结果，二者统一于除法运算的完整概念之下。（教学提示：帮助学生建立整体性认知结构，避免知识割裂。）

第三、当堂巩固训练

训练设计遵循分层、变式原则，提供及时反馈。

1.基础层（全员过关）：

1.2.圈一圈，填一填：出示图片：14个草莓，每5个装一盘。要求学生在图上圈一圈，然后填写横式和竖式。教师巡视，重点查看学困生的操作与书写对应情况。“圈对了吗？算式里的每个数能不能在图上找到它的家？”

3.综合层（灵活应用）：

1.4.判断改错：出示几道有典型错误的竖式（如余数比除数大、商的位置错、忘记写余数等）。让学生当“小医生”诊断并改正。“大家看看这个竖式‘病人’哪里不舒服？谁能开出药方？”

2.5.卡片游戏：教师出示一个除法算式卡片（如□÷6=4……△），提问：“余数△可能是哪些数？”引导学生运用“余数<除数”的规律快速说出1、2、3、4、5。

6.挑战层（思维拓展）：

1.7.逆向思考：“一个数除以7，商是5，余数最大是几？这时被除数是几？”鼓励学有余力的学生尝试解决，并与同桌分享思路。教师选取典型答案进行展示讲评。

反馈机制：基础层练习采用同桌互查、教师面批结合；综合层练习通过集体讨论、辨析典型错误进行反馈；挑战层练习则作为弹性内容，在课堂时间允许的情况下进行思路分享，不强求全体掌握。

第四、课堂小结

1.知识整合：“今天这节数学探索之旅，你收获了哪些宝藏？”引导学生从“学到了什么知识”（余数、算式写法、余数<除数）和“学会了什么方法”（动手分一分、用竖式算一算）两个方面进行梳理。鼓励学生尝试画出简单的思维导图或知识树。

2.方法提炼：“我们是怎么发现‘余数比除数小’这个秘密的？”回顾“操作-观察-猜想-验证-结论”的探究路径，强化科学探究的方法意识。

3.作业布置与延伸：

1.4.必做作业（基础性）：完成课本第60页“做一做”第1、2题。

2.5.选做作业（拓展性）：①生活小调查：找一找生活中哪些地方用到了“有余数的除法”？（如：包装、分组）②思维挑战：有23个小朋友去划船，每条船最多坐5人，至少需要几条船？

六、作业设计

基础性作业：全体学生必做。旨在巩固最核心的横式、竖式书写及对余数意义的理解。内容为教材配套的基础练习题，如看图列式计算、用竖式计算等。

拓展性作业：大多数学生可完成。设计为情境化应用，如：“妈妈买了22个苹果，每个盘子放5个，能放满几个盘子？还剩几个？”将数学与生活情境链接，培养学生应用意识。

探究性/创造性作业：学有余力学生选做。如：“你能写出一个除数是6，余数最大的除法算式吗？再写一个余数最小的。”或微型项目：“用彩色珠子穿手链，规律是‘2红1蓝’，你有15颗珠子，能按这个规律穿几组？最后一颗是什么颜色？”此题已隐含着周期问题的雏形，激发学生深度思考。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.余数的定义：在平均分时，分到最后剩余，且不够再分一份的那个数，叫作余数。理解的关键是“不够一份”。

★2.有余数除法的横式：被除数÷除数=商……余数。例如：11÷4=2……3。读法：11除以4等于2余3。

★3.算式各部分的名称：被除数（要分的总数）、除数（每份的个数）、商（分得的份数）、余数（剩下的个数）。要求学生能准确指认。

★4.核心规律：余数<除数：这是本课最重要的结论。因为如果余数等于或大于除数，就意味着还可以继续分。所有计算最后必须检查此条件。

★5.除法竖式的标准写法与步骤：

*写“厂”字头（除号）。

*被除数写里面，除数写外面。

*试商：想除数乘几最接近且不超过被除数。

*把商写在被除数对应数位的上面。

*乘：把商与除数的积写在被除数下面。

*减：用被除数减去这个积。

*比：检查余数是否比除数小。

▲6.竖式的算理：竖式中的每一步都对应着实际分物的过程：商是份数，“乘”和“减”表示分掉了多少，余数是最后剩下多少。理解算理是避免机械计算的关键。

★7.“至少”问题的处理（考点）：如“23人乘车，每车坐5人，至少需要几辆车？”此类问题，商5辆车后还剩3人，这3人也需要1辆车，所以答案是5+1=6辆。考点在于理解“进一法”的实际意义。

▲8.“周期”问题的初步接触（拓展）：如按照“红黄蓝”的顺序摆旗子，问第17面是什么颜色？可用17÷3=5……2来解答，余数2表示第17面是第二个颜色“黄”。此为重要拓展点。

★9.0作为余数的特殊情况：当平均分后没有剩余时，余数就是0。这就是之前学的整除情况。如：12÷4=3，也可以写成12÷4=3……0，强调除法的统一性。

★10.易错点辨析：

*横式中“……”的六个点书写不规范。

*竖式中商的位置写错（应写在个位）。

*计算后忘记写余数，或写的余数比除数大。

*解决“至少”问题时，忘记给商加1。

▲11.有余数除法的验算方法：商×除数+余数=被除数。这是检验计算结果是否正确的重要手段，可在后续课程中介绍。

八、教学反思

假设本次教学已完成，我将从以下几个方面进行复盘与反思。

（一）教学目标达成度分析

从课堂观察和学生练习反馈来看，“理解余数意义”和“掌握横式、竖式写法”这两个核心知识目标基本达成。大部分学生能正确操作学具并用算式表示结果。然而，“理解余数<除数的道理”这一难点目标的深度达成存在分层。约70%的学生能通过操作和讨论清晰阐述原因；20%的学生能够记住结论并应用，但解释起来稍显模糊；仍有约10%的学生在脱离学具的抽象判断时会出现犹豫或错误。这提示我在后续练习课中，需为这部分学生设计更多的“表象操作”（如在脑中想象分的过程）或简化学具（如用圆点图）进行再巩固。

（二）核心教学环节的有效性评估

1.导入环节：从“6颗糖”到“7颗糖”的认知冲突创设是成功的，迅速聚焦了“分不完”这一核心问题，激发了学生的探究欲。课堂用语如“这多出来的1颗，还能再平均分吗？”直击要害。

2.新授任务链：任务一至三的递进设计，尤其是任务三“猜想-验证-讨论”探究余数与除数关系，是本节课的高光环节。学生从“摆”到“不摆”，实现了从具体操作到抽象思考的跨越。当有学生说出“如果余4根，那这4根正好又可以摆一个，就不叫余了”时，表明思维的真正发生。但巡视中发现，个别小组在合作讨论时，仍是优生主导，个别学生参与度不高。下次可设计更明确的角色分工（如操作员、记录员、汇报员、质疑员），并规定“每人必须先说说自己的想法”。

3.竖式教学：结合课件动画同步演示分小棒与书写步骤，效果良好，建立了清晰的程序对应。但在学生初次独立书写时，仍有格式错误（如横线画得过长、余数对位不齐）。需要在板书示范时更加强调“数位对齐”的美观与重要性，并利用投影展示优秀和待改进的案例进行即时对比评析