初中数学九年级下册：相似三角形判定定理的发现与建构教案

初中数学九年级下册：相似三角形判定定理的发现与建构教案

一、引言与教学价值阐述

相似形是初中几何课程的核心内容之一，它标志着学生的几何学习从全等形的研究迈入到更一般化的图形变换与关系研究领域。“相似三角形的判定”不仅是《相似》这一章节的基石，更是连通比例、变换、证明、测量等多项数学知识与能力的枢纽。本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的最新理念，强调在真实情境中发现问题，通过数学实验、合情推理与演绎论证相结合的方式，引导学生主动建构判定定理的完整体系。教学旨在超越单纯的记忆与应用，致力于发展学生的几何直观、逻辑推理、数学建模等核心素养，并渗透从特殊到一般、转化与化归等基本数学思想，体现数学的严谨性与应用性的统一。

二、理论依据与设计理念

本设计以建构主义学习理论、深度学习理论及“大单元教学”思想为指导。

1.建构主义视角：知识并非被动接受，而是学习者在原有认知基础上，通过主动活动建构而成。因此，教学设计将创设系列探究任务，引导学生通过观察、测量、猜想、验证、证明等环节，亲身“再发现”判定定理，完成从感性认识到理性认识的升华。

2.深度学习导向：追求在理解的基础上，批判性地学习新思想，并将其融入原有的认知结构，能够在新的情境中进行迁移和解决问题。本设计注重定理的生成过程，剖析定理间的内在联系（如从全等到相似的类比与推广），并设计具有挑战性的综合应用问题。

3.大单元教学整合：将“相似三角形的判定”置于“图形的相似”大单元中审视。明确其前位知识是“比例线段”和“相似多边形概念”，后续知识是“相似三角形的性质”及“位似”。教学设计中会通过复习回顾搭建桥梁，通过前瞻性任务预留接口，形成连贯的知识链条。

4.跨学科视野与技术融合：融入物理学中的光学（小孔成像）、艺术中的透视（绘画）、地理中的测量等情境，彰显数学的广泛应用价值。同时，合理运用动态几何软件（如几何画板），将静态的图形动态化、抽象的关系可视化，辅助学生突破“对应关系”的理解难点，提升探究效率。

三、学情深度分析

教学对象为九年级下学期学生。他们具备以下认知基础与潜在困难：

已有基础：

1.知识层面：已系统学习全等三角形的判定（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），掌握了平行线分线段成比例定理及其推论，理解了相似多边形的基本定义（对应角相等，对应边成比例）。

2.能力层面：具备一定的观察、动手操作能力，能够进行简单的逻辑推理和书写几何证明过程。

3.经验层面：在生活中对“形状相同、大小不同”的图形有大量感性认识。

可能面临的困难与障碍：

1.认知迁移的负干扰：全等三角形判定定理的深刻印象可能对相似判定定理的探索形成思维定势，特别是容易混淆“边边角”在两种判定中的不同地位。

2.对应关系的复杂性：相似涉及比例关系，与全等的相等关系相比更为抽象。在复杂图形中准确寻找对应边、对应角是学生普遍存在的难点。

3.合情推理到演绎论证的跨越：学生能通过测量数据猜想结论，但如何将基于特殊测量的猜想转化为普遍成立的几何定理，即完成严格的演绎证明，是思维上的一个重要跃升点。

4.定理体系的整合：三个判定定理（两角、两边成比例且夹角相等、三边成比例）的发现相对独立，学生不易自主建立起它们之间的内在逻辑联系，形成结构化认知。

基于以上分析，教学设计的突破口在于：巧妙利用与全等三角形的类比与对比，化解认知冲突；通过明确的图形标记和动态软件演示，强化对应关系；搭建“实验-猜想-论证-应用”的完整探究路径，促进思维进阶；设计总结反思环节，引导学生绘制思维导图，构建知识网络。

四、教学目标与核心素养细化

依据课标与学情，制定如下三维教学目标，并明确其指向的核心素养：

(一)知识与技能

1.理解并掌握相似三角形的三个判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。

2.能准确、规范地运用判定定理证明两个三角形相似，并解决相关的几何计算与证明问题。

3.了解判定定理的探索过程，体会“特殊到一般”、“类比”、“转化”等数学思想方法。

(二)过程与方法

1.经历“直观感知→操作确认→推理论证”的完整探究过程，提升发现和提出问题的能力。

2.在小组合作探究中，学会设计实验方案、收集分析数据、归纳概括结论，发展科学探究的基本方法。

3.通过运用动态几何软件进行验证，体验信息技术在数学探究中的工具性作用。

(三)情感、态度与价值观

1.在探究活动中获得成功的体验，建立学习几何的自信心，培养严谨求实的科学态度。

2.感受相似三角形判定定理的简洁与和谐之美，体会数学理性精神的价值。

3.通过了解相似判定在测量、工程、艺术等领域的广泛应用，认识数学与社会发展的紧密联系，增强应用意识。

核心素养对接：

1.逻辑推理：贯穿于定理的证明与应用全过程，是本节课素养培养的主线。

2.几何直观：通过画图、识图、用图，特别是对图形运动、变化关系的把握来理解判定条件。

3.数学建模：将实际问题（如测量金字塔高度）抽象为相似三角形模型，利用判定定理求解。

4.数学抽象：从具体图形和测量数据中，抽象出普遍的几何关系（角相等、边成比例）。

五、教学重难点及突破策略

1.教学重点：相似三角形三个判定定理的理解与应用。

1.2.突破策略

：通过多层次、多角度的探究活动，让学生亲身参与定理的“发现”，在理解其来龙去脉的基础上进行记忆和应用。设计由浅入深的例题与变式，巩固对定理本质的把握。

3.教学难点：

1.4.难点一：判定定理的证明（特别是“两边夹角”和“三边”判定）。

2.5.难点二：在复杂图形中灵活、准确地识别和应用判定定理。

1.6.突破策略

：

1.2.7.对于难点一：采用“化归”思想。引导学生回忆“平行线分线段成比例”的推论，通过巧妙地构造平行线，将一般三角形相似问题转化为平行线下的相似基本图形（A字型、X型），从而利用“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”这一预备知识进行证明。教师通过搭建问题阶梯，引导学生自主完成证明思路的构造。

2.3.8.对于难点二：实施“图形变式”训练。设计一组图形位置、方向、叠加关系不断变化的习题，训练学生在动态中把握不变的本质关系。强调分析问题时的“定势破拆”训练：先寻找潜在的等角（公共角、对顶角、平行线产生的角等），再分析边的关系；或先寻找成比例的边组，再论证其夹角相等。

六、教学准备与资源

1.教师准备：

1.2.精心制作多媒体课件，内含生活实例图片、探究引导动画、定理证明流程图、例题与变式。

2.3.熟练操作几何画板，准备多个用于课堂演示的动态文件。

3.4.设计并打印《课堂探究学习任务单》。

5.学生准备：

1.6.复习全等三角形判定、平行线分线段成比例定理。

2.7.准备直尺、量角器、方格纸等作图工具。

3.8.每4-6人组成一个合作学习小组。

9.环境准备：具备多媒体投影和实物展台的教室。条件允许可安排学生机房或平板电脑，实现人手一机进行操作探究。

七、教学过程实施（详细环节）

第一课时：唤醒经验，初探“两角”判定

环节一：创设情境，提出问题（预计时间：8分钟）

1.情境导入：

1.2.展示图片：不同尺寸的国旗、同一建筑的不同比例模型图、透过放大镜看到的文字。

2.3.提问：这些图片中的图形有什么共同特征？（形状相同，大小不同）

3.4.追问：在数学中，我们如何定义这种关系？（相似多边形）对于最简单的多边形——三角形，要判定两个三角形相似，根据定义需要几个条件？（六个：三个角分别相等，三边对应成比例）

5.提出问题：

1.6.师：定义的条件过于繁琐。回想一下，我们判定两个三角形全等时，并没有要求验证所有的边角都相等，而是找到了几组简化的条件。那么，判定两个三角形相似，是否也存在简化的、更实用的方法呢？这就是我们本章要探究的核心问题。

2.7.揭示课题（板书）：§27.2.1相似三角形的判定（一）

环节二：温故知新，搭建桥梁（预计时间：7分钟）

1.复习回顾（师生问答）：

1.2.全等三角形的判定方法有哪些？（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）

2.3.相似多边形与全等多边形的定义有何异同？（同：对应角相等；异：边是成比例vs.相等）

3.4.我们学过的一个与三角形相似相关的重要结论是什么？（平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似——作为预备定理）

5.类比猜想：

1.6.师：从定义看，相似比全等少了一个“边相等”的限制，多了一个“边成比例”的关系。这启示我们，相似的判定条件可能比全等“更宽松”。请大家类比全等的判定，大胆猜想，判定两个三角形相似可能需要哪些条件组合？

2.7.学生可能猜想：SSS（对应边成比例）、SAS（两边成比例且夹角相等）、AA（两角相等）等。教师将合理猜想板书于一侧，暂不做评判。

环节三：实验探究，发现定理（预计时间：15分钟）

1.聚焦“角”的关系：

1.2.师：在所有猜想中，“AA”（两个角相等）需要的条件最少。它是否成立呢？让我们从最特殊的三角形——直角三角形开始探究。

2.3.活动一（个人操作）：请画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°。再画一个Rt△A‘B’C‘，使∠C’=90°，∠A‘=30°。测量两组三角形的三边长度，计算对应边的比值，你有什么发现？

3.4.学生操作、计算后回答：对应边近似成比例，两个三角形相似。

4.5.师：改变∠A的度数（如45°、60°），重复上述过程，结论是否仍然成立？

5.6.学生再次验证。

7.推广到一般三角形：

1.8.活动二（小组合作，任务单驱动）：

1.2.9.任务1：任意画一个△ABC。

2.3.10.任务2：画一个△A‘B’C‘，使得∠A’=∠A，∠B‘=∠B。

3.4.11.任务3：用量角器验证∠C’与∠C的关系。（学生发现相等）

4.5.12.任务4：用刻度尺测量两个三角形的三边长度，分别计算AB/A‘B’，BC/B‘C’，CA/C‘A’的值。你发现了什么？

6.13.小组汇报：测量结果显示，三组对应边的比值非常接近。可以猜想：如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们的对应边成比例，即两个三角形相似。

14.动态验证：

1.15.教师用几何画板演示：构造一个△ABC，再构造一个△A‘B’C‘，设定∠A’=∠A，∠B‘=∠B。动态改变△ABC的形状或大小，同时保持△A’B‘C’的两个角约束不变。观察软件自动计算出的三边比值，并观察两个三角形的形状。学生直观看到，无论图形如何变化，对应边的比值始终相等，两个三角形始终保持相似。

环节四：推理论证，形成定理（预计时间：8分钟）

1.将猜想转化为命题：

1.2.师生共同将猜想翻译成规范的几何命题：“已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，∠A=∠A’，∠B=∠B‘。求证：△ABC∽△A’B‘C’。”

3.启发证明思路：

1.4.师：根据定义证明，需要证明三点：∠C=∠C‘（已由三角形内角和定理可证），以及三边对应成比例。如何证明边成比例呢？我们已有的最强有力的工具是什么？（平行线分线段成比例定理及其推论）

2.5.引导：能否在△ABC上“造”出一个与△A‘B’C‘全等的三角形，从而利用预备定理？如何“造”？关键是让造出的三角形满足“平行于一边”。

3.6.思路分析：在AB（或AC）上截取一段等于A‘B’，然后作平行线。教师通过课件动画展示证明的辅助线作法。

7.完成证明（教师板书关键步骤，学生跟述）：

1.8.在AB上截取AD=A‘B’，过D作DE∥BC，交AC于点E。

2.9.则△ADE∽△ABC（预备定理）。

3.10.由所作，∠ADE=∠B=∠B‘。

4.11.在△ADE与△A’B‘C’中，∠A=∠A‘，AD=A’B‘，∠ADE=∠B’。如果能证明DE=B‘C’，则△ADE≌△A‘B’C‘（ASA）。

5.12.由△ADE∽△ABC得AD/AB=AE/AC=DE/BC。

6.13.欲证DE=B‘C’，可证DE/BC=A‘B’/AB？这需要已知条件A‘B’/AB=B‘C’/BC，但这是我们尚未证明的结论。此路不通？

7.14.调整思路：我们只需证明△ADE与△A‘B’C‘相似即可，不必全等。由DE∥BC，得∠AED=∠C。又∠C’=180°-∠A‘-∠B’=180°-∠A-∠B=∠C。所以∠AED=∠C’。

8.15.在△ADE与△A‘B’C‘中，∠A=∠A’，∠AED=∠C‘，且AD=A’B‘（所作）。

9.16.这里无法直接判定相似或全等。关键点出现！教师指出，此路再次受阻，证明陷入了循环。那么正确道路是什么？

10.17.揭示正确证法：实际上，经典的证明方法是直接利用平行线分线段成比例定理的推论。在AB上截取AD=A‘B’，在AC上截取AE=A‘C’。连接DE。由SAS可证△ADE≌△A‘B’C‘。然后只需证明DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，从而△A’B‘C’∽△ABC。如何证DE∥BC？由AD/AB=AE/AC（因为AD=A‘B’，AE=A‘C’，但A’B‘/AB与A’C‘/AC是否相等？这正是我们需要证明的！循环论证再现。

11.18.最终方案：实际上，“两角相等”判定定理最简洁的证明，依赖于“平行线截三角形相似”的预备定理和“同一法”。在AB上截取AD=A‘B’，过D作DE∥BC交AC于E。则△ADE∽△ABC。此时∠ADE=∠B=∠B‘，∠A=∠A’。又AD=A‘B’，若能证明DE=B‘C’，则△ADE≌△A‘B’C‘，从而△A’B‘C’∽△ABC。如何证DE=B‘C’？由相似得DE/BC=AD/AB。但我们不知道BC与B‘C’的关系。此处教师可以指出，为了严谨证明，我们需要引入更一般的比例理论。鉴于课时和初中生认知水平，教材通常采用“测量验证+公理化承认”或“利用平行线性质进行推导”的一种简略形式。教师可以采用一种学生易于接受的表述：由于∠A=∠A‘，∠B=∠B’，根据三角形内角和，∠C=∠C‘。因此两个三角形的形状被完全确定。在△ABC边AB上取点D使AD=A’B‘，根据角度相等，过D作与BC平行的直线必与AC交于一点E，使得△ADE与△A’B‘C’不仅角相等，而且由于平行线截线段成比例，其对应边也成比例，结合AD=A‘B’，可推得AE=A‘C’，DE=B‘C’。因此△ADE≌△A’B‘C‘，故△A’B‘C’∽△ABC。

12.19.说明

：此处的证明细节是教学难点。教师可根据学生接受程度，选择性地详述或略述，重点是让学生理解证明的核心思想是“通过构造一个与已知三角形相似的中间三角形，并证明它与另一个三角形全等”。

20.形成定理：

1.21.经过严格的论证（或基于实验和合理说明），我们得到第一个判定定理。

2.22.教师板书定理1：两角分别相等的两个三角形相似。（可简记为“AA”或“∠∠”）

3.23.符号语言：在△ABC和△A‘B’C‘中，∵∠A=∠A‘，∠B=∠B‘，∴△ABC∽△A’B‘C’。

4.24.强调：该定理是三个判定中最常用、最强大的一个，因为角相等往往更容易在图形中识别。

环节五：初步应用，巩固理解（预计时间：7分钟）

1.口答辨析：

1.2.判断：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似。（√）

②有一个角为80°的两个等腰三角形相似。（×，80°可能是顶角也可能是底角，对应关系不确定）

③两个等腰直角三角形相似。（√，角已确定：90°，45°，45°）

3.例题精讲（课本例题改编）：

1.4.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：△ADE∽△ABC。

2.5.学生独立思考，板书证明过程。

3.6.证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C。又∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC（两角分别相等）。

4.7.师：此结论即我们探究所用的预备定理，现在我们用刚学的定理给予了更简洁的证明。这体现了知识之间的统一。

8.课堂小结与作业布置（预计时间：5分钟）

1.9.小结：引导学生回顾本课探索过程（情境→猜想→实验→证明→应用），重点总结定理1的内容、证明思路及初步应用。

2.10.作业：

1.3.11.基础题：课本课后练习对应题目。

2.4.12.思考题：①“一角相等”能否判定三角形相似？请举例说明。②结合直角三角形特点，从定理1可以推出直角三角形相似的什么特殊判定方法？

第二课时：深化探究，“边角边”与“边边边”判定

环节一：复习导入，提出新问题（预计时间：5分钟）

1.复习回顾：提问定理1的内容及符号语言。快速点评作业思考题：直角三角形只需一个锐角相等即可相似。

2.提出新任务：上节课我们研究了“角”的条件，今天我们将类比全等中的SAS和SSS，探究“边”的条件在相似判定中的作用。

环节二：探究“两边成比例且夹角相等”（预计时间：20分钟）

1.实验猜想：

1.2.活动三（小组合作）：在任务单上，给定∠α（如60°）。

2.3.任务1：画△ABC，使AB=6cm，AC=8cm，∠A=∠α。

3.4.任务2：画△A‘B’C‘，使A’B‘=9cm，A’C‘=12cm，∠A’=∠α。

4.5.任务3：测量第三边BC和B‘C’的长度，并计算BC/B‘C’的值。测量∠B与∠B‘，∠C与∠C’的关系。

5.6.小组汇报：BC/B‘C’≈6/9=8/12=2/3，∠B≈∠B‘，∠C≈∠C’。猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

7.动态验证与证明引导：

1.8.几何画板演示，强化猜想。

2.9.教师引导学生将猜想转化为命题：“已知：AB/A‘B’=AC/A‘C’，∠A=∠A‘。求证：△ABC∽△A’B‘C’。”

3.10.思路启发：能否再次利用“构造+平行线”的方法？在AB上截取AD=A‘B’，在AC上截取AE=A‘C’。连接DE。现在有了什么条件？（AD=A‘B’，AE=A‘C’，∠A=∠A‘）可得△ADE≌△A’B‘C’（SAS）。

4.11.接下来的目标是什么？（证明DE∥BC）如何证明平行？需要什么条件？（比例式：AD/AB=AE/AC）这个比例式成立吗？已知AB/A‘B’=AC/A‘C’，且AD=A‘B’，AE=A‘C’，所以AD/AB=A‘B’/AB=1/(AB/A‘B’)=A‘C’/AC=AE/AC。成立！

5.12.因此DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。又△ADE≌△A‘B’C‘，故△A’B‘C’∽△ABC。

13.形成定理：

1.14.教师板书定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。（可类比SAS记忆）

2.15.符号语言：∵AB/A‘B’=AC/A‘C’，且∠A=∠A‘，∴△ABC∽△A’B‘C’。

3.16.强调：“夹角相等”是至关重要的条件。类比全等中的“SSA”不成立，提出思考：“两边成比例且其中一边的对角相等”（即“SSA”的相似版本）是否成立？留下悬念。

环节三：探究“三边成比例”（预计时间：15分钟）

1.实验猜想：

1.2.活动四（快速实验）：给定三边比例，如2:3:4。让学生尝试画两个三角形，边长分别为2cm,3cm,4cm和4cm,6cm,8cm。用量角器测量最大角（对最长边）的度数，发现相等。猜想三边成比例的两个三角形相似。

3.证明引导：

1.4.命题：“已知：AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’。求证：△ABC∽△A’B‘C’。”

2.5.思路启发：我们已经有了定理2。能否将条件转化为满足定理2的形式？关键在于构造一个与△A’B‘C’全等，且与△ABC满足“两边成比例且夹角相等”的三角形。

3.6.详细分析：在AB上截取AD=A‘B’。过D点作DE∥BC交AC于E。则△ADE∽△ABC。我们希望能证明△ADE≌△A’B‘C’。

4.7.由相似得：AD/AB=AE/AC=DE/BC。设比值为k，则AD=k·AB，AE=k·AC，DE=k·BC。

5.8.已知A‘B’/AB=B‘C’/BC=C‘A’/AC，设这个公共比值为k‘。因为我们取了AD=A’B‘，所以A’B‘=AD=k·AB，故k=A’B‘/AB=k’。

6.9.所以，AE=k·AC=k‘·AC=C’A‘？这里需要C’A‘/AC=k’才能成立，而这是已知的。因此AE=C‘A’。同理可证DE=B‘C’。

7.10.在△ADE与△A‘B’C‘中，AD=A’B‘，AE=C’A‘，DE=B’C‘，所以△ADE≌△A’B‘C’（SSS）。故△A‘B’C‘∽△ABC。

8.11.教师梳理证明脉络，强调“设比值k”和“利用中间相似三角形△ADE”的桥梁作用。

12.形成定理：

1.13.教师板书定理3：三边成比例的两个三角形相似。

2.14.符号语言：∵AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’，∴△ABC∽△A’B‘C’。

环节四：定理辨析与体系建构（预计时间：10分钟）

1.对比与辨析（表格归纳）：

判定方法

所需条件

与全等判定的类比

特别提醒

定理1(AA)

两角分别相等

类似于AAS/ASA，但更宽松

最常用，只需两个独立条件

定理2(SAS类比)

两边成比例且夹角相等

类似于SAS，边是成比例而非相等

夹角相等是关键

定理3(SSS类比)

三边成比例

类似于SSS，边是成比例而非相等

计算比例时注意对应顺序

定义法

三角等，三边成比例

最根本，但最繁琐

一般不直接使用

2.解答课前悬念：

1.3.“两边成比例且其中一边的对角相等”（即“SSA”相似版）是否成立？展示反例：用几何画板构造一个满足AB/A‘B’=AC/A‘C’，∠B=∠B‘，但这两个三角形一个锐角三角形，一个钝角三角形，显然不相似。强调判定定理的严谨性。

4.体系建构：

1.5.引导学生理解，这三个定理从不同角度（纯角、边角结合、纯边）简化了相似的条件。它们和预备定理（平行线截相似）共同构成了相似三角形的判定体系。

环节五：综合应用与课堂小结（预计时间：10分钟）

1.例题精讲（综合型）：

1.2.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5。求证：△ABC∽△DCA。

2.3.分析：已知∠B=∠ACD，考虑用“AA”或“SAS类比”。观察已知边，AB=6，AC=5，CD=7.5，AC=5（公共边），BC=4。寻找包含已知等角（∠B和∠ACD）的边组。在△ABC中，夹∠B的边是AB和BC；在△DCA中，夹∠ACD的边是AC和CD。计算AB/AC=6/5，BC/CD=4/7.5=8/15，比值不等，不满足“SAS类比”。再尝试其他边组？计算AB/CD=6/7.5=4/5，AC/AC=1，不相等。计算AC/AB=5/6，CD/BC=7.5/4=15/8，不相等。

3.4.启发：是否必须用“SAS类比”？已知∠B=∠ACD，还有一个公共角！在△ABC和△DCA中，∠B=∠ACD，且∠ACB是公共角吗？不是。注意顶点顺序：对应关系是△ABC与△DCA。∠BAC与∠ADC是对应角吗？不确定。但图中有一个潜在的等角：∠ACB与∠DAC是否相等？未知。看来直接找两对角相等有困难。

4.5.重新审视图形与条件：已知∠B=∠ACD。如果再有一对角相等就好了。观察边：AB=6，AC=5，CD=7.5，以及BC=4，AD未知。计算已知边中可能成比例的组：AB/AC=6/5=1.2，AC/CD=5/7.5=2/3≈0.667，不成比例。AB/CD=0.8，AC/BC=1.25，不成比例。

5.6.关键突破：题目要求证△ABC∽△DCA，注意顶点对应关系是A→D，B→C，C→A。因此，需要证明∠BAC=∠ADC，以及∠ACB=∠DAC，或者证明边满足比例关系。从边的角度看，需要证明AB/DC=BC/CA=AC/DA。已知AB=6,DC=7.5,BC=4,CA=5。计算AB/DC=0.8，BC/CA=0.8。所以AB/DC=BC/CA成立！即两组对应边成比例。现在，这两组边的夹角分别是∠B和∠ACD，而题目已知∠B=∠ACD。这恰好满足“两边成比例且夹角相等”的条件！夹∠B的边是AB和BC，夹∠ACD的边是DC和CA。因为对应关系是AB对应DC，BC对应CA，夹角∠B对应∠ACD。条件完全满足。

6.7.证明过程（板书）：

在△ABC和△DCA中，

∵AB/CD=6/7.5=4/5，

BC/CA=4/5，

∴AB/CD=BC/CA。

又∵∠B=∠ACD，

∴△ABC∽△DCA（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

7.8.教学反思点：此例题旨在训练学生在复杂图形中准确找到对应边和夹角。强调判定定理的选择策略：有等角优先考虑“AA”；若等角只有一对，则观察等角的两边是否成比例，考虑“SAS类比”；若给出多边长度，可计算三边比例，考虑“SSS”。

9.课堂小结：

1.10.引导学生总结三判定定理的内容、证明思路（构造平行线实现化归）及应用选择策略。

2.11.对比全等与相似判定，体会数学知识的螺旋上升。

12.作业布置：

1.13.基础题：课后练习。

2.14.提高题：一道需要添加辅助线构造相似三角形的证明题。

3.15.实践题：尝试用相似三角形的知识，设计一个测量校园旗杆高度的方案（写出简要步骤和原理）。

第三课时：综合应用、数学建模与单元总结

环节一：模型建立——相似三角形在测量中的应用（预计时间：15分钟）

1.问题呈现（泰勒斯测金字塔导入）：

1.2.讲述数学史故事，引出问题：如何在不攀登的情况下，测量金字塔的高度？

2.3.展示简化模型：在阳光下，金字塔的影子为BC，同时立一根已知长度的小木棒A‘B’，测量其影子B‘C’的长度。如何求金字塔高AB？

4.建立模型：

1.5.引导学生将实物抽象为几何图形：太阳光线平行，所以∠ACB=∠A‘C’B‘。又∠B=∠B’=90°。所以△ABC∽△A‘B’C‘（AA）。

2.6.根据相似性质，AB/A‘B’=BC/B‘C’，即可求AB。

3.7.师生共同总结“影子测量法”的数学模型与步骤。

8.模型变式：

1.9.如果没有太阳（阴天），如何测量？介绍“镜面反射法”：将镜子放在地面点E处，人后退到点D，直到眼睛C看到镜子中的金字塔顶端A的像。测量相关距离和人身高。引导学生分析光线的反射角相等，抽象出相似三角形。

2.10.介绍“标杆测距法”等，让学生感受一题多模，体会数学建模的灵活性。

环节二：综合应用与思维拓展（预计时间：25分钟）

1.典型题组训练（分组竞赛）：

1.2.题组一（识别判定）：给出多组图形和条件，快速判断使用哪个判定定理，并说明理由。

2.3.题组二（证明书写）：综合性几何证明题，涉及多次相似判定，或需要先证相似再得比例线段。例如，在圆幂定理背景下的相似问题，或与平行四边形、梯形结合的题目。

3.4.题组三（计算求解）：利用相似判定建立方程，求线段长度或比例。例如，在梯形、三角形角平分线背景下的问题。

5.思维拓展（一题多解）：

1.6.出示经典题：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，连接CE并延长交AB于G。若∠1=∠2，求证：∠3=∠4。（此题通常需多次运用相似或面积法）

2.7.引导学生从不同角度（利用“AA”判定不同的三角形相似）进行尝试，比较解法的优劣，提升思维发散性。

环节三：单元总结与知识结构化（预计时间：10分钟）

1.绘制思维导图：

1.2.以“相似三角形的判定”为中心，引导学生分组绘制思维导图。分支应包括：预备定理（平行线）、三个判定定理（条件、符号、证明思路）、与全等判定的关系、应用领域（测量、证明、计算）、思想方法（类比、转化、建模）等。

2.3.小组展示并互评。

4.总结升华：

1.5.教师总结：相似三角形的判定是研究相似形的基础。从定义到简化判定，我们经历了完整的数学探究过程。这三个判定定理，连同平行线预备定理，构成了一个简洁而强大的工具集。它们不仅是解决几何问题的利器，也是连接现实世界与数学模型的桥梁。希望大家不仅记住结论，更能理解其背后的逻辑、思想和方法，并将其迁移到未来的学习中。

八、教学评价设计

本教学采用过程性评价与终结性评价相结合的方式。

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：记录学生在探究活动中的参与度、合作意识、操作规范性、发言质量。

2.3.任务单评价：检查《课堂探究学习任务单》的完成情况，关注数据记录的准确性、结论归纳的合理性。

3.4.小组合作评价：通过小组汇报和互评，考察团队协作和沟通能力。

4.5.练习反馈：通过课堂练习的即