平面与平面垂直第2课时课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高一下学期数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步8.6.3

平面与平面垂直

第2课时平面与平面垂直的性质1.理解并掌握平面与平面垂直的性质定理；并能用文字、符号和图形语言描述定理，并能运用其证明有关的垂直问题.2.在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.◎

应用举例显

然

，b与a平行或相交.当b//a

时

，b//α;当b与a相交时，b与α也相交.如图，设b与a的交点为A,

过点A

在α内作直线

cla,则直线b,c所成的角就是二面角α—a—β

的平面角，

由α⊥β知，b⊥c.又因为b⊥a,a

和c是α内的两条相交直线，

所以blα

.思考

如下图，设α⊥β,anβ=a.则β内任意一条直线b与a有什么位置关系?相应地，b与α有什么位置关系?为什么?当b⊥a时，如图2,直线b与α有什么位置关系?为什么?要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报探究新知任务一

探究平面与平面垂直的性质.平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.符号语言若α⊥β,anβ=l,A

BCα,AB⊥l于点B,①面面垂直

②线在面内③线线垂直面面垂直

线面垂直◎

探究新知B

C则AB⊥β.缺一不可线面垂直的判定线面垂直的定义面面垂直的判定面面垂直的性质总

结

线线垂直线面垂直面面垂直任务

一探究平面与平面垂直的性质.已知两个平面垂直，下列命题错误的有

①③④说一说①一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

解：一个平面内只有垂直于交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，故①③错误；因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，故②正确；过一个平面内任意一点作交线的垂

线，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定

垂直于另一个平面，故④错误.探究新知设α∩β=

c,过点P

在平面α内作直线b⊥c.∴根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β

.∵过一点有且只有一条直线与平面β垂直，∴直线a,b重合，因此，即a

Cα

.任务二

探究平面与平面垂直的相关结论.思

考

如图，设平面α⊥β,点P

在平面α内，过点P

作平面β的垂线a,直线a与平面α具有什么位置关系?如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.探究新知如果一条直线垂直于两个互相垂直的平面中的一个，则这条直线要么在另一平面内，要么与另一平面平行.解：在α内作垂直于α与β交线的直线b.

∵a⊥β,∴b⊥β

.又a

⊥β,∴a//b.又adα,∴a//a.

即直线a与平面α平行.思考两个平面互相垂直的性质告诉我们，可以在一个平面内作另一个平面的垂线.

如果直线不在两个平面内，如图，已知平面α⊥β,

直线a

⊥β,ad

α,直线a

与平面α是什么位置关系呢?探究新知例1

如图，已知P

A⊥平

面ABC,平面PAB⊥

平面PBC,求证：BC⊥

平

面PAB.分

析

题目给出面面垂直能给我们提供什么条件?

找两个平面的交线，

作垂直出线面垂直↓过点A作PB的垂线AEBC⊥PA

BC⊥AEBC⊥平面PAB证明：如图，过点A

作A

E⊥PB.∵平面PAB⊥平

面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,∴AE⊥平面PBC.∵BCC平面PBC,∴AE⊥BC.∵PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,∴PA⊥BC.又PA∩AE=A,∴BC⊥

平面PAB.◎

应用举例PAl

平面A

BC平面P

AB⊥平

面P

BCB参考思路

DE=DA△ADE是等腰三角形M是EA

的中点DM⊥AE取CA的中点N,

连接MN,BNDM//BN

BN⊥

平面ECA例2

如图，△ABC

为正三角形，EC⊥平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点，求证：(1)DE=DA;(2)

平面BDM⊥平面ECA;(3)

平面DEA⊥平

面ECA.◎提

示证明线段相等的方法有哪些?◎

应用举例证明：(1)取CA的中点N

,

连接MN,BN,则MN//EC,

且

∵EC//BD,

∴MN//BD,MN=BD.∴四边形MNBD是平行四边形.∴DM//BN.

∵EC⊥平面ABC,

∴EC⊥BN.又CA⊥BN,ECnCA=C,∴BN⊥

平面E

CA.∴DM⊥平面ECA.又AEC平面DCE,∴DM⊥AE,又M是EA的中点，∴△ADE

是等腰三角形，即DE=DA.例

2

如图，△ABC

为正三角形，EC⊥平面ABC,BD//CE,

且CE=CA=2BD,M是EA的中点，求证：(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平

面ECA.◎

应用举例总结证明线段相等的方法：①等腰三角形②垂直平分线的性质

③全等证明：(2由(1)知，BN⊥

平

面ECA.∵BN

C

平面

MNBD,∴平面MNBD⊥平面ECA,即平面BDM⊥

平面E

CA.(3)由(1)知，DM⊥

平面E

CA.又DMC平面DEA,∴平面DEA⊥平

面ECA.如图，△ABC

为正三角形，EC⊥平

面ABC,BD//CE,

且CE=CA=2BD,M是EA的中点，求证：(1)DE=DA;(2)

平面BDM⊥

平面ECA;(3)

平面DEA⊥平面ECA.证明面面垂直方法：定义法；面面垂直判定定理步骤：①找线线垂直②再证线面垂直

③最后证面面垂直◎

应用举例总结CB证明：(1)∵四边形ABC

D是菱形AC∩BD=0∴点○是BD

的中点∵点G

为B

C

的中点∴OG//CD又∵OG不在平面EFC

D内，CD

C平面EFCD∴直线O

G//

平面E

FCD.例3

如图，在多面体ABCDEF

中，四边形ABCD

是菱形，AC,BD

相交于点O,EF//AB,AB=2EF

,

平面BCF⊥平面ABCD

,

点G为BC

的中点.(1)求证：直线OG//平面EFCD(2)求证：直线AC⊥

平面ODE.◎

应用举例提

示证明线面垂直的突破口是什么?

找到线线垂直参考思路线线垂直—→线面垂直；(2)

AC⊥平面EDO4C⊥OEFG⊥ACBilN

列

习如图，在多面体ABCDEF

中，四边形ABCD

是菱形，AC,BD

相交于点O,EF//AB,AB=2EF

,

平面BCF⊥平面ABCD

,点G为BC

的中点.(1)求证：直线OG//平面EFCD(2)求证：直线AC⊥

平面ODE.4C⊥OD菱形的对角线

相互垂直平分◎

应用举例CB(2)证明：∵BF=CF,G

为BC中点

∴FG⊥BC∵平面BCF⊥平面ABCD平面BCEN

平面ABCD=BC

FGC平面BCFFGlBC∴FG⊥平面A

BCD∵ACC平面ABCD∴FG⊥AC例3

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC,BD

相交于点O,EF//AB,AB=2EF,

平面BCF⊥平面ABCD

,点G为BC的中点.(1)求证：直线OG

//

平面EFCD(2)求证：直线AC⊥平面ODE.◎

应用举例∴OG//EF,OG=EF∴四边形EFGO为平行四边形∴FG//EO∵FG⊥AC,FG//EO,∴AC⊥EO∵四边形ABCD

是菱形，∴AC⊥DO∵AC⊥EO,AC⊥DO,EO∩DO=0EO,DO在平面ODE

内

，∴AC⊥平面ODE.例

3

如图，在多面体A

BCDEF

中，四边形ABCD

是菱形，AC,BD相交于点O,EF//AB,AB=2EF

,平面BCF⊥平面ABCD

,点G为BC

的中点.(1)求证：直线OG//平