初中数学九年级下册《位似图形：概念探析与作图实践》教案

初中数学九年级下册《位似图形：概念探析与作图实践》教案

一、教学设计指导思想与理论依据

（一）指导思想

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学建模素养。教学秉承“以学生发展为中心”的理念，通过创设真实情境、引导自主探究、促进合作交流、注重应用迁移，实现从“教知识”到“育素养”的转变。设计强调对图形变换本质的理解，将位似视为相似变换家族中的特殊成员，在完整的知识结构中定位其价值，帮助学生构建系统化、网络化的几何认知体系。

（二）理论依据

1.建构主义学习理论：知识不是被动接受的，而是学习者在原有经验基础上主动建构的。本设计通过设置认知冲突、提供探究工具（网格纸、几何画板等），引导学生在观察、操作、比较、归纳中自我建构位似图形的概念与性质。

2.范希尔几何思维水平理论：九年级学生正处于从“描述/分析”水平向“抽象/关联”水平过渡的关键期。教学通过从直观感知到抽象定义，从具体画图到一般方法，从性质探索到逻辑证明的阶梯式设计，助推学生几何思维层次的提升。

3.APOS理论（活动-过程-对象-图式）：针对“位似”这一抽象数学概念，设计活动阶段（动手画图、软件操作）、过程阶段（总结画法步骤、归纳性质）、对象阶段（将位似作为一个整体对象进行识别与操作）、图式阶段（将位似与相似、全等等概念整合形成“图形变换”图式）的完整学习路径。

二、教学内容与学情分析

（一）教学内容分析

1.地位与作用：本节课是人教版九年级下册第二十七章“相似”中“位似”单元的起始课。在此之前，学生已系统学习了全等三角形、图形的平移、轴对称、旋转以及相似多边形，掌握了图形全等与相似的基本性质和判定。“位似”是在“相似”基础上，对图形关系更为精细化、条件化的研究，它既是相似知识的深化与应用，又是连接几何与生活（如摄影、透视、测绘）、几何与科技（如图像处理、分形）的重要桥梁。同时，位似变换是继合同变换（平移、轴对称、旋转）之后，学生接触到的又一类重要的几何变换，完善了学生对图形变换的认识体系。

2.知识结构：

1.3.核心概念：位似图形的定义；位似中心（内位似、外位似）；位似比（相似比）。

2.4.核心性质：对应点连线交于一点（位似中心）；对应边平行或在同一直线上；任意对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3.5.核心技能：识别位似图形；利用位似中心与位似比进行位似图形的作图。

6.教学重点与难点：

1.7.教学重点：位似图形的概念及其核心性质。

2.8.教学难点：位似图形定义的深刻理解（特别是“对应边平行”这一条件与一般相似的区别）；位似中心在图形内、外、边上等不同情形下的作图方法。

（二）学情分析

1.已有知识与经验：

1.2.知识基础：学生已熟练掌握相似多边形的定义、性质和判定；熟悉利用比例线段和比例性质；具备基本的尺规作图能力和在网格中作图的能力。

2.3.生活经验：学生对放大镜、照片放大、电影放映、地图等生活中的“放大缩小”现象有直观感受，但尚未从数学角度抽象出其本质。

4.可能存在的困难与障碍：

1.5.概念理解：容易混淆“位似”与“一般相似”，难以准确把握“对应点连线交于一点”与“对应边平行”这两个核心特征的等价性及必要性。

2.6.空间想象：当位似中心位于图形内部或边上时，想象图形变换后的位置关系存在困难。

3.7.作图操作：对利用位似中心和位似比进行精确作图（尤其是反向缩小作图）的步骤和原理理解不深，容易出错。

8.学习心理与能力：九年级学生抽象逻辑思维能力显著增强，乐于探究有挑战性的问题，但持续专注力面临中考压力。他们具备一定的合作学习与信息技术应用能力。教学需设计富有思维含量的任务，激发探究欲，同时提供可视化工具支撑，降低想象难度。

三、教学目标

基于核心素养导向，制定以下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.结合生活实例和已有相似知识，理解位似图形的定义，能准确表述位似图形、位似中心、位似比（相似比）的概念。

2.掌握位似图形的核心性质：对应点连线经过同一位似中心；对应边平行或在同一直线上；任意对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3.能够熟练判断两个图形是否位似，并能指出位似中心和位似比。

4.掌握在给定位似中心和位似比的条件下，利用尺规或网格绘制一个图形的位似图形的基本方法（包括放大和缩小，位似中心在图形外、边上、内部等不同情况）。

（二）过程与方法

1.经历从生活实例抽象出数学概念的过程，体会数学建模的思想。

2.通过观察、猜想、实验、验证、归纳等数学活动，探索并发现位似图形的性质，发展合情推理与演绎推理能力。

3.在解决位似作图问题的过程中，学会从多角度（利用性质、坐标、向量萌芽思想）思考问题，优化作图策略，提升几何作图能力和问题解决能力。

4.尝试运用几何画板等动态几何软件进行探究，感受信息技术在数学学习中的支撑作用。

（三）情感、态度与价值观

1.通过感受位似在摄影、艺术、测绘等领域的广泛应用，体会数学的实用价值和美学价值，增强学习数学的兴趣和应用意识。

2.在探究与合作中，培养严谨求实的科学态度、敢于探索的创新精神和合作交流的团队意识。

3.通过对图形变换体系的梳理，感受数学知识的内在联系与和谐统一，形成系统的数学观。

四、教学策略与资源准备

（一）教学策略

1.情境-问题导学策略：创设“电影放映”“地图绘制”“显微图像”等真实情境，引出核心问题：“这种特殊的放大缩小与一般相似有何不同？”驱动全程探究。

2.探究-发现式教学策略：摒弃直接告知概念和性质，设计层层递进的探究任务链，让学生在“做数学”中自主发现、归纳、概括。

3.可视化教学策略：充分利用几何画板的动态演示功能，将抽象的位似变换过程直观化、动态化，特别是展示位似中心移动、位似比变化时图形的连续变化，突破空间想象难点。

4.分层练习与差异化支持策略：设计基础性、巩固性、拓展性三类练习，满足不同层次学生需求。对作图困难的学生，提供网格纸、预设点等脚手架。

（二）教学资源与工具

1.多媒体课件：包含生活实例图片、动画演示、探究问题、例题与练习。

2.动态几何软件：几何画板（教师演示用，学生有条件可操作）。

3.学生学具：直尺、圆规、量角器、方格纸、任务探究单。

4.实物模型：可调节的相机模型（说明透视原理）、简易小孔成像装置。

五、教学过程实施（核心环节）

第一环节：创设情境，激趣引新（预计时间：8分钟）

师生活动：

1.视觉冲击：课件同时呈现三组图片。

1.2.组1：同一张电影胶片在影院银幕和手机屏幕上的画面。

2.3.组2：某城市卫星地图与其局部放大后的交通详图。

3.4.组3：显微镜下同一标本的低倍镜与高倍镜视野图像。

5.问题链导思：

1.6.（指向全体）这些每组中的两个图形，有什么共同的几何关系？（预设：相似）

2.7.（深化思考）这种相似，与我们之前学习的任意两个相似三角形（如形状相同的三角板）的相似，感觉上有什么微妙的不同吗？（引导学生关注“放大缩小的方向性”）

3.8.（核心设问）如果我们把每组中较小的图形上的每一个点，与较大的图形上对应的点用线连起来，猜猜看，这些连线会有什么规律？

设计意图：从高关联度的现实情境出发，让学生在熟悉的“相似”认知基础上产生新的疑惑点（方向性、连线规律），制造认知冲突，激发探究位似特殊性的内在动机。问题链由浅入深，直指本节课的核心特征——对应点连线共点。

第二环节：操作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

探究活动一：连线发现

1.任务：在学案提供的两组特殊摆放的相似△ABC和△A’B’C’（一组对应顶点连线交于一点O，另一组无此特征）图纸上，分别连接AA‘，BB’，CC‘，观察现象。

2.学生操作与汇报：学生动手连线，直观发现第一组连线交于一点O，第二组不交于一点。

3.教师追问：

1.4.对于第一组，点O有什么特殊之处？你能描述点O与各对应点连线的关系吗？（OA‘/OA,OB’/OB,OC‘/OC有何关系？）

2.5.两个三角形的对应边之间有何位置关系？（引导学生测量或观察，得出平行）

3.6.第二组图形满足对应边平行吗？（学生验证，发现不一定）

探究活动二：软件验证与归纳

1.动态演示：教师利用几何画板，展示一个三角形及其通过一个定点O放大的动态过程。引导学生观察：

1.2.随着放大，对应点连线始终经过点O。

2.3.对应边始终保持平行。

3.4.改变点O的位置（图形外、边上、内部），上述两个结论依然成立。

5.归纳定义：学生小组讨论，尝试用语言描述这种特殊的相似图形应满足的条件。教师引导学生规范表述，并给出严谨的数学定义。

位似图形的定义：如果两个相似多边形（或图形）的每组对应顶点的连线都相交于同一点，且对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。此时的相似比也称为位似比。

6.概念辨析：

1.7.“位似”是“相似”的充分条件还是必要条件？（位似一定相似，相似不一定位似）

2.8.位似中心一定在图形之外吗？（展示几何画板中位似中心在形内、形上、形外的例子）

3.9.位似比k>0，k>1时是放大，0<k<1时是缩小。k的符号是否可以引入？（为高中学习埋下伏笔，但不展开，可简述k<0时图形在位似中心两侧）

设计意图：通过“动手连线”的初体验和“软件动态验证”的再确认，让学生亲身经历从现象观察到本质抽象的过程。定义的形成源于学生的探究发现，而非被动接受。即时的概念辨析能深化理解，澄清可能出现的模糊认识。

第三环节：推理论证，深化性质（预计时间：10分钟）

师生活动：

1.性质提出：根据定义和观察，我们已经发现了位似图形的几个特点。现在，我们需要用逻辑推理来证明这些性质是否必然成立。

2.性质证明探究：

1.3.性质1：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

1.2.4.引导：已知△ABC∽△A‘B’C‘，且AA’、BB‘交于点O。我们能证明OA’/OA=k吗？

2.3.5.学生思考：尝试连接AB，A‘B’。利用△OAB∽△OA‘B’（AA相似）即可得证。

4.6.性质2：位似图形的对应边平行（或在同一直线上）。

1.5.7.引导：如何由“对应点连线共点且成比例”推出“对应边平行”？

2.6.8.学生思考：由性质1，OA‘/OA=OB’/OB=k，且∠AOB=∠A‘OB’，可得△OAB∽△OA‘B’，从而∠OAB=∠OA‘B’，所以AB∥A’B‘。同理可证其他边。

9.教师总结：定义中的两个条件（点共线、边平行）是等价的，可以互相推导。我们通常用“对应点连线交于一点”作为判定位似的主要依据。

设计意图：将直观发现的“性质”提升到需要逻辑证明的“定理”层面，培养学生的演绎推理能力，体现数学的严谨性。通过证明，学生能更深刻地理解定义中各条件的内在联系。

第四环节：典例精析，掌握画法（预计时间：25分钟）

这是技能培养的核心环节，分层次、分情况展开。

例题1（基础—位似中心在图形外，放大）：

如图，已知△ABC和点O。以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍。

画法探究与演示：

1.方法一（连线延长法）：

1.2.步骤1：连接OA，OB，OC。

2.3.步骤2：分别在OA、OB、OC（或其延长线）上截取OA‘=2OA，OB’=2OB，OC‘=2OC。

3.4.步骤3：顺次连接A‘，B’，C‘，则△A‘B’C‘即为所求。

4.5.原理：直接应用位似图形的定义（对应点连线过位似中心，且距离比等于位似比）。

6.方法二（平行线法）：

1.7.步骤1：过点O作射线OA、OB、OC。

2.8.步骤2：过点A作BC的平行线？（错误示范，引发思考）。正确：分别过A、B、C三点，作其对边的平行线无法直接得到。应调整为：在射线OA上取A‘使OA’=2OA，然后过A‘分别作AB、AC的平行线，与射线OB、OC交于B’、C‘。

3.9.讨论：此方法原理是什么？（应用“对应边平行”的性质）哪种方法更简洁可靠？

10.教师几何画板动态演示，验证作图结果，并拖动点O，展示位似中心位置变化对位似图形位置的影响。

例题2（变式—位似中心在图形外，缩小）：

以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的1/3。

学生尝试：学生模仿例题1的方法一独立完成。关键点：在连线上（而非延长线上）截取OA‘=1/3OA。

例题3（挑战—位似中心在图形边上）：

如图，点O在△ABC的边BC上。以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的1.5倍。

小组合作探究：

1.思考：点B和点C的对应点在哪里？（B‘在射线OB上，且OB’=1.5OB；C‘与C重合？不对，因为OC’=1.5OC>OC，所以C‘在BC的延长线上。特别关注点C，因为O在BC上，所以点C的对应点C’仍在直线BC上。）

2.学生分组尝试画图，教师巡视指导。

3.展示不同画法，讨论难点：如何处理与位似中心共线的点的对应点。

例题4（拓展—位似中心在图形内部）：

（作为选讲或课后思考）在网格图中，△ABC的位似中心O在其内部，位似比为2:1，画出位似图形。

提示：网格图中，可以利用“坐标”的思想来定位对应点，为下节课学习“平面直角坐标系中的位似”作铺垫。

画法归纳总结：

师生共同总结位似作图的一般步骤与注意事项：

1.定中心：确定位似中心O。

2.画射线：连接图形各关键点与位似中心O，得到射线。

3.取对应点：根据位似比k，在各射线上取点，使新点到O的距离与原点到O的距离之比为|k|。（k>1在外截取，0<k<1在内截取；关注符号可能性）。

4.连新图形：顺次连接新的对应点。

5.注意事项：位似中心在图形上或内部时，要特别注意相关点与位似中心的共线关系，防止位置错误。

设计意图：通过由易到难、情况各异的例题，全面覆盖位似作图的各种基本情况。在画法探索中，不仅教授技能，更注重对原理的追问（为什么这样画？）和方法的优化（哪种更好？）。将错误作为资源，在辨析中深化理解。归纳步骤形成思维模型，提升学生的迁移能力。

第五环节：分层练习，巩固提升（预计时间：15分钟）

A组（基础达标）：

1.判断下列各对图形是否位似。若是，指出位似中心与位似比。

2.如图，已知五边形ABCDE和位似中心O，位似比为1:2，画出缩小后的图形。

B组（能力提升）：

1.在方格纸中，已知△ABC和点P(2,1)。以点P为位似中心，相似比为2，将△ABC放大。探究放大后图形关键点的坐标与原图形关键点坐标之间的关系。

2.小明想把一个三角形区域按比例尺1:500画到图纸上，他应该运用什么几何变换原理？若图纸上需要一个边长为4cm的等边三角形，实际区域对应边的长度是多少米？

C组（拓展探究）：

1.（联系物理）小孔成像实验中，蜡烛火焰高2cm，距小孔20cm，屏幕距小孔10cm。屏幕上火焰的像是放大还是缩小？像高多少？用位似的知识解释这一现象。

2.尝试用几何画板构造一个动态的位似图形：固定一个原图形和一个位似中心，通过滑动条控制位似比k从-2到2连续变化，观察位似图形的变化。

设计意图：三层练习设计满足差异化需求。A组紧扣双基，确保全体学生掌握核心概念与基本画法。B组连接坐标与比例尺，指向应用与后续知识。C组融合物理、信息技术，体现学科交叉与探究深度，激发学有余力学生的兴趣。

第六环节：课堂小结，体系重构（预计时间：5分钟）

师生活动：不以教师复述为主，采用“思维导图”填空或“问题链”回顾的方式。

1.今天我们在“相似”的大家族中，认识了哪位特殊的新成员？它的“特殊身份证”是什么？（定义）

2.这位新成员有哪些重要的“性格特征”？（性质）

3.我们如何“克隆”出一个图形的位似图形？（画法步骤与原理）

4.你能将“位似”安放在我们学过的“图形变换”知识大厦的哪一层？请尝试画出包含平移、轴对称、旋转、相似、位似的关系图。

设计意图：引导学生从知识（是什么）、性质（为什么）、方法（怎么做）和结构（何处安放）四个维度进行反思性总结，将新知系统化地纳入认知结构，实现知识的意义建构。

第七环节：布置作业，延伸学习

1.必做题：教材对应练习题；完成一份关于“生活中位似现象”的观察报告（附照片或草图，并用数学语言简要说明）。

2.选做题：利用位似原理，设计一个将不规则图形放大到指定尺寸的简易作图工具（绘制设计草图）；探究在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的图形坐标变换公式。

3.预习作业：阅读教材下一节“用坐标表示位似”，思考平面直角坐标系如何简化位似的相关问题。

六、板书设计（纲要式）

左侧主板书：

27.3位似图形

一、定义

1.条件：①相似②对应点连线交于一点O③对应边平行(或在同一直线)

2.命名：位似图形；位似中心O；位似比k(k>0)

二、性质（↔定义）

1.