核心素养导向的初中数学八年级下册《提公因式法》单元整体教学设计

核心素养导向的初中数学八年级下册《提公因式法》单元整体教学设计

  本单元教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于初中八年级学生的认知发展规律与已有知识结构（整数因数分解、整式乘除法、乘法分配律），旨在通过系统化的单元整体建构，引导学生深度理解因式分解的概念本质，重点掌握提公因式法的原理、方法与策略，并在此过程中，有效发展学生的抽象能力、运算能力、推理能力以及模型观念等数学核心素养。教学设计摒弃碎片化的知识点传授，强调从整体到局部、从具体到抽象、从理解到迁移的完整学习历程，通过创设真实或富有数学意义的问题情境，设计层层递进的探究任务与变式训练，帮助学生构建关于“因式分解—提公因式法”的稳固且可迁移的认知结构，为其后续学习分式运算、一元二次方程求解、二次函数分析等核心内容奠定坚实的代数变形基础。

一、单元整体分析

（一）课标要求与内容解读

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，“数与代数”领域在第三学段（7-9年级）明确要求：“能用提公因式法、公式法进行因式分解（指数为正整数）。”课标强调，因式分解是整式乘法的逆运算，是代数式恒等变形的重要工具。教学应引导学生理解因式分解与整式乘法之间的互逆关系，掌握提公因式法的基本方法。更深层次地，课标蕴含了通过因式分解发展学生逆向思维、结构化思维以及追求运算简洁性的数学思想。本单元“提公因式法”是学习因式分解的起点和基石，其掌握程度直接关系到后续公式法（平方差公式、完全平方公式）乃至十字相乘法的学习效果。因此，本单元的教学不能仅仅停留在技能操作层面，必须深入到算理理解和思维培养层面。

（二）教材分析

在北师大版初中数学教材体系中，因式分解内容安排于八年级下册第四章。教材的编排逻辑清晰：首先通过对比整式乘法与面积关系的逆向过程，引入因式分解的概念，明确其与整式乘法的互逆关系；然后，优先学习提公因式法，这是因为该方法最直观，直接源于乘法分配律的逆用，学生有牢固的认知基础；之后再学习公式法。提公因式法部分，教材从单项式公因式到多项式公因式（即“整体思想”），从一次提尽到多次提取，逐步增加难度和复杂性。教材提供了丰富的例题与习题，但作为顶尖教学设计，我们需要对教材内容进行深度整合与拓展，补充更具思维挑战性和现实关联性的情境与问题，以实现从“教教材”到“用教材教”的转变。

（三）学情分析

八年级学生已经系统地学习了有理数运算、整数因数分解、整式的概念、整式的加减运算以及整式的乘法运算（包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式），特别是对乘法分配律有着深刻的理解和熟练的应用。这些是学习提公因式法的坚实基础。然而，学生的思维发展也面临挑战：首先，从“正向”的整式乘法到“逆向”的因式分解，需要思维方向的转换，部分学生可能存在思维定势，难以顺利建立互逆观念。其次，确定公因式，特别是当系数为分数、负数，或公因式为多项式时，对学生观察的全面性、思维的严谨性提出了更高要求。再次，因式分解要求结果必须分解到“不能再分解为止”，这一“彻底性”原则需要学生在操作中不断强化自我监控意识。部分学生可能存在浅尝辄止、分解不彻底的问题。因此，教学设计需通过对比辨析、错例分析、反思总结等环节，针对性破解这些学习难点。

（四）单元学习目标（核心素养导向）

1.理解因式分解的概念，能准确辨析因式分解与整式乘法的区别与联系，建立清晰的互逆运算观念（数学抽象、逻辑推理）。

2.理解公因式的概念，能熟练、准确地确定多项式各项的公因式，包括数字系数、相同字母及其最低次幂（数学运算、逻辑推理）。

3.掌握提公因式法的基本步骤和原理，能正确地对多项式进行因式分解（数学运算）。

4.能够处理公因式为单项式或多项式（整体思想）、系数为负数、需要连续提取公因式等复杂情形，并确保分解的彻底性（数学运算、逻辑推理）。

5.能综合运用提公因式法和已学的数学知识（如有理数运算、整式运算）解决简单的实际问题或数学内部问题，体会因式分解在简化运算、解决问题中的价值（数学建模、应用意识）。

（五）单元教学重点与难点

教学重点：提公因式法的原理与正确应用。

教学难点：1.公因式为多项式时的识别与提取（整体思想的应用）。2.确保因式分解的彻底性。3.逆向思维的建立与巩固。

（六）单元整体教学结构规划

本单元计划用时4课时，采用“总—分—总”的螺旋式结构：

课时一：概念的生成——从整式乘法到因式分解。建立概念，明确互逆关系，初步感知公因式。

课时二：方法的探究——提公因式法的原理与应用（一）。重点突破单项式公因式的提取。

课时三：思维的深化——提公因式法的原理与应用（二）。攻克多项式公因式（整体思想）、系数为负、连续提取等难点。

课时四：整合与迁移——提公因式法的综合应用与单元复盘。进行综合应用、错例辨析、思维导图构建，完成单元知识方法的结构化。

二、分课时教学设计详案（以课时二、三为核心示范）

课时二：方法的探究——提公因式法的原理与应用（一）

（一）教学目标

1.经历从具体实例抽象概括提公因式法法则的过程，理解其源于乘法分配律的逆用。

2.能准确找出多项式各项的公因式（单项式），并掌握提公因式法的基本步骤。

3.能正确运用提公因式法对公因式为单项式的多项式进行因式分解。

4.在探究与合作中，提升观察、归纳和表达的能力。

（二）教学重难点

重点：提公因式法的步骤归纳与初步应用。

难点：公因式中字母部分的确立（相同字母的最低次幂）。

（三）教学准备

多媒体课件、学习任务单、实物投影仪。

（四）教学过程

  环节一：温故引新，搭建桥梁

  师生活动：

  1.回顾：请同学们快速计算：

    (1)m

(

a

+

b

+

c

)

=

?

m(a+b+c)=?

m(a+b+c)=?

    (2)2

x

(

x

−

3

y

)

=

?

2x(x-3y)=?

2x(x−3y)=?

    学生口答，教师板书。强调这是整式乘法中的单项式乘多项式。

  2.逆向设问：如果我现在知道一个多项式m

a

+

m

b

+

m

c

ma+mb+mc

ma+mb+mc，它是如何由更简单的整式乘积形式得到的呢？

    引导学生观察：m

a

+

m

b

+

m

c

=

m

⋅

a

+

m

⋅

b

+

m

⋅

c

ma+mb+mc=m\cdota+m\cdotb+m\cdotc

ma+mb+mc=m⋅a+m⋅b+m⋅c。它每一项都含有相同的因子m

m

m。

  3.类比联想：在算术中，我们把2

×

3

+

2

×

5

2\times3+2\times5

2×3+2×5写成2

×

(

3

+

5

)

2\times(3+5)

2×(3+5)，依据是什么？

    学生回答：乘法分配律（逆用）。

  4.概念引入：在代数中，同样可以这样做。我们把多项式m

a

+

m

b

+

m

c

ma+mb+mc

ma+mb+mc中公共的因子m

m

m提取出来，写成m

(

a

+

b

+

c

)

m(a+b+c)

m(a+b+c)的形式。这种变形就叫作“提公因式法”。其中，m

m

m叫做多项式各项的“公因式”。

  设计意图：从学生已有的整式乘法和乘法分配律知识出发，通过逆向提问，自然引出“提取公共因子”的想法，实现知识间的正向迁移，为理解提公因式法的算理奠定坚实基础。

  环节二：合作探究，归纳法则

  师生活动：

  1.探究任务一：寻找公因式。

    出示多项式：(1)4

x

+

8

4x+8

4x+8(2)6

a

2

b

−

9

a

b

2

6a^2b-9ab^2

6a2b−9ab2(3)3

x

2

y

+

6

x

y

2

−

9

x

2

y

2

3x^2y+6xy^2-9x^2y^2

3x2y+6xy2−9x2y2

    请学生以小组为单位，讨论并回答：

    ①每个多项式的各项由哪几部分（系数、字母）构成？

    ②各项之间有哪些“公共”的部分？

    小组汇报，教师引导归纳确定公因式的方法：

    一看系数：取各项系数的最大公约数。

    二看字母：取各项都含有的相同字母。

    三看指数：取相同字母的最低次幂。

  2.探究任务二：尝试提取。

    请学生尝试将上述三个多项式的公因式提取出来，写出变形过程。

    学生板演，可能出现错误，如：6

a

2

b

−

9

a

b

2

=

3

a

b

(

2

a

−

3

b

)

6a^2b-9ab^2=3ab(2a-3b)

6a2b−9ab2=3ab(2a−3b)。教师组织学生辨析：提取后，括号内的项是如何得到的？（用原项除以公因式）

  3.归纳法则：

    师生共同总结提公因式法的基本步骤：

    第一步：找。找出多项式各项的公因式。

    第二步：提。将公因式提到括号外面，括号内写成原多项式各项除以这个公因式所得的商的和（或差）。

    第三步：查。检查括号内的多项式是否还有公因式（为后续“分解彻底”作伏笔）。

    教师板书关键步骤和注意事项。

  设计意图：通过小组探究，让学生亲身经历从具体例子中观察、归纳确定公因式“三步法”的过程，变教师灌输为学生自主建构。通过尝试提取和辨析，暴露认知冲突，深化对“提取”操作实质（即除法）的理解。

  环节三：典例精析，巩固内化

  师生活动：

  1.示例1：分解因式12

x

2

y

3

−

18

x

3

y

2

12x^2y^3-18x^3y^2

12x2y3−18x3y2。

    师生共同分析：系数最大公约数是6，相同字母是x和y，x的最低次幂是x

2

x^2

x2，y的最低次幂是y

2

y^2

y2，故公因式为6

x

2

y

2

6x^2y^2

6x2y2。板书完整过程，强调书写规范。

  2.示例2：分解因式−

4

m

3

+

12

m

2

−

8

m

-4m^3+12m^2-8m

−4m3+12m2−8m。

    引导学生发现第一项系数为负。提出问题：如何处理系数为负的情况？

    策略：通常将负号一并提取，使括号内首项为正，更简便美观。即公因式取−

4

m

-4m

−4m。

    板书：−

4

m

3

+

12

m

2

−

8

m

=

−

4

m

(

m

2

−

3

m

+

2

)

-4m^3+12m^2-8m=-4m(m^2-3m+2)

−4m3+12m2−8m=−4m(m2−3m+2)。

    追问：如果只提4

m

4m

4m可以吗？引导学生对比4

m

(

−

m

2

+

3

m

−

2

)

4m(-m^2+3m-2)

4m(−m2+3m−2)，体会提取负号的优点。

  3.巩固练习（学习任务单）：

    (1)15

a

3

b

2

+

5

a

2

b

15a^3b^2+5a^2b

15a3b2+5a2b(2)−

6

x

2

+

9

x

y

-6x^2+9xy

−6x2+9xy(3)8

a

3

b

2

−

12

a

b

3

c

8a^3b^2-12ab^3c

8a3b2−12ab3c

    学生独立完成，教师巡视指导，投影展示典型解答，组织互评。

  设计意图：通过有梯度的例题，将确定公因式的“三步法”和提公因式的步骤进行规范化示范和巩固。特别针对系数为负的难点进行突破，引导学生优化解题策略。即时练习促进技能内化。

  环节四：变式拓展，思维提升

  师生活动：

  1.变式：分解因式2

a

(

b

+

c

)

−

3

(

b

+

c

)

2a(b+c)-3(b+c)

2a(b+c)−3(b+c)。

    学生可能直接找数字和字母的公因式，发现没有。引导学生观察：两项是否含有共同的“式子”？学生发现(

b

+

c

)

(b+c)

(b+c)是共同的。

    教师指出：公因式不仅可以是一个数、一个字母，也可以是一个多项式。此时，我们可以把(

b

+

c

)

(b+c)

(b+c)看作一个整体，作为公因式提取出来。

    板书：2

a

(

b

+

c

)

−

3

(

b

+

c

)

=

(

b

+

c

)

(

2

a

−

3

)

2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)

2a(b+c)−3(b+c)=(b+c)(2a−3)。

    这是下一课时重点，此处作为“预伏”，激发学生思考。

  2.思维挑战：已知x

+

y

=

5

,

x

y

=

6

x+y=5,xy=6

x+y=5,xy=6，求x

2

y

+

x

y

2

x^2y+xy^2

x2y+xy2的值。

    引导学生分析：直接代入无法计算。观察式子x

2

y

+

x

y

2

x^2y+xy^2

x2y+xy2，可以如何变形？

    学生尝试提公因式：x

y

(

x

+

y

)

xy(x+y)

xy(x+y)。

    代入求值：6

×

5

=

30

6\times5=30

6×5=30。

    教师小结：提公因式法有时可以简化求值运算，体现了因式分解的应用价值。

  设计意图：设置“多项式整体”作为公因式的变式，为下节课埋下伏笔，打破学生认为公因式只能是单项式的思维定势。通过代数式求值问题，初步展示提公因式法的应用价值，提升学生运用知识解决问题的能力。

  环节五：课堂小结，反思评价

  师生活动：

  1.引导学生从知识、方法、思想三个层面总结本节课收获。

    知识：公因式的概念，提公因式法的步骤。

    方法：确定公因式的“三步法”（看系数、字母、指数）。

    思想：逆向思维（乘法分配律的逆用），整体思想（初步感知）。

  2.布置分层作业：

    基础题：教材课后练习对应题目。

    提高题：分解因式−

0.5

x

2

y

3

+

1.5

x

y

2

-0.5x^2y^3+1.5xy^2

−0.5x2y3+1.5xy2，思考公因式系数为小数时的处理方法。

    探究题：尝试证明：一个多位数的各位数字之和能被3整除，那么这个数本身能被3整除。（提示：将数表示为10的幂次形式并提公因式）

  设计意图：结构化的小结帮助学生梳理学习脉络。分层作业满足不同层次学生的发展需求，探究题将数与式建立联系，拓宽学生视野。

课时三：思维的深化——提公因式法的原理与应用（二）

（一）教学目标

1.巩固提公因式法的基本步骤，能熟练处理公因式为单项式的复杂情况（如系数为分数、小数）。

2.理解并掌握当公因式为多项式时的提公因式法，深刻体会“整体思想”在因式分解中的应用。

3.能够处理需要连续多次提取公因式的情形，确保因式分解的彻底性。

4.通过综合练习，提高观察、分析和灵活运用知识的能力。

（二）教学重难点

重点：公因式为多项式时的提公因式法。

难点：1.识别多项式公因式，并将其看作一个整体。2.分解的彻底性（连续提取）。

（三）教学过程

  环节一：复习诊断，聚焦难点

  师生活动：

  1.快速抢答：说出下列各多项式的公因式（单项式）。

    (1)6

x

3

−

9

x

2

6x^3-9x^2

6x3−9x2(2)−

8

a

2

b

2

+

12

a

b

3

-8a^2b^2+12ab^3

−8a2b2+12ab3(3)1

2

x

2

y

+

3

4

x

y

2

\frac{1}{2}x^2y+\frac{3}{4}xy^2

21​x2y+43​xy2

    重点点评第(3)题，公因式系数为分数1

4

x

y

\frac{1}{4}xy

41​xy（或1

2

x

y

\frac{1}{2}xy

21​xy，引导学生比较哪种更简便）。

  2.上节课“预伏”问题回顾：分解因式2

a

(

b

+

c

)

−

3

(

b

+

c

)

2a(b+c)-3(b+c)

2a(b+c)−3(b+c)。请学生口述解答，并追问：这里的公因式是什么？（(b+c)）我们把它看作一个什么？（整体）

  3.揭示课题：今天我们将深入学习提公因式法，重点攻克当公因式是一个“整体”——即多项式时的情形，并解决如何保证分解彻底的问题。

  设计意图：通过复习快速激活旧知，针对系数为分数的情形进行巩固。回顾上节课的预伏问题，自然引出本节课的核心主题——“整体思想”下的多项式公因式。

  环节二：探究新知，突破重点——多项式公因式

  师生活动：

  1.探究活动一：火眼金睛找“整体”。

    出示一组多项式：

    (1)x

(

a

−

b

)

+

y

(

a

−

b

)

x(a-b)+y(a-b)

x(a−b)+y(a−b)

    (2)3

m

(

x

+

y

)

−

n

(

x

+

y

)

3m(x+y)-n(x+y)

3m(x+y)−n(x+y)

    (3)2

p

(

q

−

r

)

−

(

q

−

r

)

2p(q-r)-(q-r)

2p(q−r)−(q−r)（第三项可视为−

1

⋅

(

q

−

r

)

-1\cdot(q-r)

−1⋅(q−r)）

    (4)a

(

x

−

y

)

+

b

(

y

−

x

)

a(x-y)+b(y-x)

a(x−y)+b(y−x)

    请学生分组讨论，找出每个多项式中“隐藏”的公共整体（多项式公因式）。

    小组汇报。重点聚焦第(4)题：a

(

x

−

y

)

+

b

(

y

−

x

)

a(x-y)+b(y-x)

a(x−y)+b(y−x)。

    引发认知冲突：两项看起来没有公因式？(

x

−

y

)

(x-y)

(x−y)和(

y

−

x

)

(y-x)

(y−x)是什么关系？

  2.难点突破：互为相反数的多项式。

    引导学生回忆：y

−

x

=

−

(

x

−

y

)

y-x=-(x-y)

y−x=−(x−y)。

    因此，原式可以变形为：a

(

x

−

y

)

−

b

(

x

−

y

)

a(x-y)-b(x-y)

a(x−y)−b(x−y)或a

(

x

−

y

)

+

b

[

−

(

x

−

y

)

]

a(x-y)+b[-(x-y)]

a(x−y)+b[−(x−y)]。

    此时，公因式(

x

−

y

)

(x-y)

(x−y)就显现出来了。

    提炼策略：当多项式各项的公因式互为相反数时，可通过提取负号（或改变其中一项的符号）将其转化为相同的公因式。这是本节课的一个关键技巧。

  3.典例精讲：

    例1：分解因式5

x

(

a

−

2

b

)

−

10

y

(

a

−

2

b

)

5x(a-2b)-10y(a-2b)

5x(a−2b)−10y(a−2b)。

    （简单，巩固整体提取思想）

    例2：分解因式3

m

(

n

−

2

p

)

−

(

2

p

−

n

)

3m(n-2p)-(2p-n)

3m(n−2p)−(2p−n)。

    （引导学生将(

2

p

−

n

)

(2p-n)

(2p−n)转化为−

(

n

−

2

p

)

-(n-2p)

−(n−2p)）

    例3：分解因式2

a

(

x

−

y

)

2

−

4

b

(

y

−

x

)

3

2a(x-y)^2-4b(y-x)^3

2a(x−y)2−4b(y−x)3。

    （难度提升，涉及幂次。分析：(

y

−

x

)

3

=

[

−

(

x

−

y

)

]

3

=

−

(

x

−

y

)

3

(y-x)^3=[-(x-y)]^3=-(x-y)^3

(y−x)3=[−(x−y)]3=−(x−y)3，或利用偶次幂不变号，奇次幂变号的性质直接处理）

    教师板书规范过程，强调将多项式公因式视作一个整体字母（如用大写字母M代替）来思考提取过程，帮助学生理解。

  设计意图：通过一组有梯度的探究问题，引导学生发现、识别多项式公因式。重点攻克“互为相反数”这一难点，通过变形策略的教学，培养学生灵活处理代数式的能力。典例讲解规范书写，渗透整体代换思想。

  环节三：深化理解，确保彻底——连续提取公因式

  师生活动：

  1.问题驱动：分解因式2

x

(

x

−

y

)

2

−

4

y

(

x

−

y

)

3

2x(x-y)^2-4y(x-y)^3

2x(x−y)2−4y(x−y)3。

    学生尝试。公因式为2

(

x

−

y

)

2

2(x-y)^2

2(x−y)2。

    提取后得：2

(

x

−

y

)

2

[

x

−

2

y

(

x

−

y

)

]

=

2

(

x

−

y

)

2

(

x

−

2

x

y

+

2

y

2

)

2(x-y)^2[x-2y(x-y)]=2(x-y)^2(x-2xy+2y^2)

2(x−y)2[x−2y(x−y)]=2(x−y)2(x−2xy+2y2)。

    提问：括号内的多项式x

−

2

x

y

+

2

y

2

x-2xy+2y^2

x−2xy+2y2还能再分解吗？（学生观察，不能）

    教师肯定：本次分解完成。

  2.挑战升级：分解因式3

a

(

m

−

n

)

3

−

6

a

2

(

n

−

m

)

2

3a(m-n)^3-6a^2(n-m)^2

3a(m−n)3−6a2(n−m)2。

    学生独立或小组合作完成。可能出现两种路径：先处理相反数关系，再提取；或直接利用幂的性质。教师展示不同解法，比较优劣。

    得到：3

a

(

m

−

n

)

2

[

(

m

−

n

)

−

2

a

]

=

3

a

(

m

−

n

)

2

(

m

−

n

−

2

a

)

3a(m-n)^2[(m-n)-2a]=3a(m-n)^2(m-n-2a)

3a(m−n)2[(m−n)−2a]=3a(m−n)2(m−n−2a)。

  3.核心探究：分解因式a

(

x

−

y

)

3

+

b

(

y

−

x

)

2

a(x-y)^3+b(y-x)^2

a(x−y)3+b(y−x)2。

    完成后，教师提出关键问题：我们提取的公因式是(

x

−

y

)

2

(x-y)^2

(x−y)2。请大家检查，提完公因式后，括号内是否还有公因式可提？括号内的多项式本身能否用其他方法（如公式法）分解？（目前不能）我们如何判断分解已经“彻底”？

    师生共同归纳“彻底性”标准：

    ①括号内的多项式各项之间没有公因式（单项式或多项式）。

    ②括号内的多项式不能再用已学的因式分解方法（目前是提公因式法）继续分解。

    强调：“分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。”这是铁律。

  4.典型错例辨析：

    出示错误分解：6

x

2

y

−

9

x

y

2

=

3

x

y

(

2

x

−

3

y

)

=

x

(

2

x

−

3

y

)

⋅

3

y

6x^2y-9xy^2=3xy(2x-3y)=x(2x-3y)\cdot3y

6x2y−9xy2=3xy(2x−3y)=x(2x−3y)⋅3y……

    学生指出错误：第一步正确，第二步画蛇添足，不再是乘积形式，且改变了原式。

    出示：4

a

3

b

−

8

a

2

b

2

=

4

a

2

b

(

a

−

2

b

)

4a^3b-8a^2b^2=4a^2b(a-2b)

4a3b−8a2b2=4a2b(a−2b)（正确）vs4

a

3

b

−

8

a

2

b

2

=

2

a

b

(

2

a

2

−

4

a

b

)

4a^3b-8a^2b^2=2ab(2a^2-4ab)

4a3b−8a2b2=2ab(2a2−4ab)（不彻底）。

    引导学生辨析，强化“彻底性”意识。

  设计意图：通过逐步复杂的例题，自然引出“连续提取”和“彻底性”问题。将判断“彻底性”的标准显性化、条理化，并通过错例辨析，加深学生印象，培养学生良好的解题习惯和自我监控能力。

  环节四：综合应用，能力跃升

  师生活动：

  1.综合练习（学习任务单）：

    (1)12

x

y

z

−

9

x

2

y

2

12xyz-9x^2y^2

12xyz−9x2y2

    (2)−

2

a

2

(

b

−

c

)

+

8

a

(

c

−

b

)

-2a^2(b-c)+8a(c-b)

−2a2(b−c)+8a(c−b)

    (3)5

(

x

−

y

)

3

+

10

(

y

−

x

)

2

5(x-y)^3+10(y-x)^2

5(x−y)3+10(y−x)2

    (4)m

(

m

−

n

)

2

−

n

(

n

−

m

)

3

m(m-n)^2-n(n-m)^3

m(m−n)2−n(n−m)3

    学生独立完成，教师巡视，重点关注中等及以下学生对于多项式公因式和彻底性的掌握情况。投影展示学生作品，组织互评、纠错。

  2.拓展应用：简便计算。

    (1)13.8

×

0.125

+

86.2

×

1

8

13.8\times0.125+86.2\times\frac{1}{8}

13.8×0.125+86.2×81​

    引导学生将小数、分数统一，发现公因数1

8

\frac{1}{8}

81​或0.125。

    (2)已知a

+

b

=

3

,

a

b

=

2

a+b=3,ab=2

a+b=3,ab=2，求a

2

b

+

a

b

2

+

a

2

+

b

2

a^2b+ab^2+a^2+b^2

a2b+ab2+a2+b2的值。

    分析：多项式a

2

b

+

a

b

2

+

a

2

+

b

2

a^2b+ab^2+a^2+b^2

a2b+ab2+a2+b2不能直接提公因式。尝试分组：(

a

2

b

+

a

b

2

)

+

(

a

2

+

b

2

)

=

a

b

(

a

+

b

)

+

(

a

2

+

b

2

)

(a^2b+ab^2)+(a^2+b^2)=ab(a+b)+(a^2+b^2)

(a2b+ab2)+(a2+b2)=ab(a+b)+(a2+b2)。

    此时a

2

+

b

2

a^2+b^2

a2+b2需用公式(

a

+

b

)

2

−

2

a

b

(a+b)^2-2ab

(a+b)2−2ab转化。

    此题综合性强，教师可适度引导，或作为课后思考题。

  设计意图：综合练习覆盖本节课所有难点，检验学习效果。拓展应用将提公因式法置于更广阔的数学背景下（简便计算、代数求值），体现其工具价值，并初步渗透分组分解的思想，为后续学习铺垫。

  环节五：总结反思，构建网络

  师生活动：

  1.引导学生绘制关于“提公因式法”的思维导图（雏形），包括：定义、公因式类型（单项式、多项式）、确定方法、基本步骤、注意事项（符号、彻底性）、主要应用。

  2.课堂小结：今天我们深化了对提公因式法的认识。关键在于两点：一是建立“整体思想”，善于发现并提取多项式公因式，并能灵活处理互为相反数的情况；二是牢固树立“彻底分解”的观念，养成检查的好习惯。

  3.布置作业：

    必做题：教材习题中针对多项式公因式和综合应用的题目。

    选做题：分解因式(

a

+

b

+

c

)

2

−

(

a

−

b

−

c

)

2

(a+b+c)^2-(a-b-c)^2

(a+b+c)2−(a−b−c)2（提示：将其看作两个平方的差，或用整体思想）。

    预习作业：阅读教材下一节“公式法”引言，思考：我们学过的乘法公式中，哪些有可能逆用进行因式分解？

  设计意图：通过构建思维导图，促进学生将新知纳入已