聚焦核心素养构建数论网络-人教版五年级下册“因数与倍数”整体单元教学设计

聚焦核心素养，构建数论网络——人教版五年级下册“因数与倍数”整体单元教学设计

（本设计适用于小学五年级下学期数学学科）

一、单元整体规划与设计理念

（一）单元内容本质与知识结构分析

“因数与倍数”是“数与代数”领域的重要内容，隶属于数论的初步知识。本单元的学习建立在学生已经掌握了整数的认识、四则运算及其意义的基础之上，是对整数性质的一次系统性探索。从知识的内在逻辑看，因数与倍数是相互依存的整除关系，是后续学习公因数、公倍数、约分、通分、分数四则运算等知识的直接基础和逻辑前提。理解因数与倍数的概念，掌握其寻找方法，不仅能深化对整数性质的认识，更是培养抽象思维能力、逻辑推理能力和模型思想的关键载体。

本单元的知识网络呈现清晰的层次结构：整除关系是根基，由此引出因数与倍数的核心概念；在掌握概念的基础上，学习求一个数的因数和倍数的方法；进而探索2、5、3的倍数的特征，并引伸出奇数和偶数的概念；在此基础上，抽象出质数（素数）和合数的概念，最终通过分解质因数将因数研究系统化。这一系列概念环环相扣，构成了一个相对完整的初等数论认知体系。

（二）核心素养落点分析

1.数感与符号意识：在具体情境中理解因数与倍数的抽象关系，发展对数的性质的敏感度和判断力。用字母表示因数、倍数关系，初步建立数学模型。

2.抽象能力与推理意识：从具体算式中抽象出“整除”关系，并进一步概括出因数与倍数的概念。在探索一个数的因数与倍数的特征、2/5/3的倍数特征、质数与合数特征的过程中，经历观察、比较、归纳、猜想、验证等完整的推理过程，形成严谨的数学思维习惯。

3.模型思想与空间观念：通过“拼长方形”等操作活动，建立“因数”与长方形“形状”（长、宽）之间的几何模型，实现数形结合。利用数轴、百数表等直观工具探索数的规律，发展空间想象能力。

4.应用意识与创新意识：将因数、倍数的知识应用于解决简单的实际问题，如合理安排分组、设计编码等。鼓励学生发现并提出与数论相关的新问题，激发探究兴趣。

（三）单元学习目标（整体）

1.知识与技能：

1.2.理解因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数的意义。

2.3.掌握求一个数的因数、倍数的方法，能熟练找出一个数的所有因数和指定范围内的倍数。

3.4.掌握2、5、3的倍数的特征，能准确判断。

4.5.会分解质因数。

5.6.能综合运用本单元知识解决实际问题。

7.过程与方法：

1.8.经历概念形成的过程，学会从具体实例中抽象概括数学本质。

2.9.在探索数的特征活动中，掌握观察、归纳、猜想、验证等探究方法。

3.10.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析问题。

11.情感、态度与价值观：

1.12.体验数学知识间的内在联系，感受数学的严谨性和逻辑美。

2.13.在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的信心和兴趣。

3.14.体会数学在生活中的应用价值。

（四）单元教学重难点

1.教学重点：理解因数与倍数的含义及其相互依存关系；掌握求一个数的因数和倍数的方法；理解并掌握2、5、3的倍数特征；理解质数、合数的概念。

2.教学难点：理解因数与倍数概念的抽象性及相互依存关系；有序、完整地找出一个数的所有因数；理解质数与合数概念的本质，区分“1”的特殊性；灵活运用知识解决综合性问题。

（五）单元整体教学构想

本单元拟采用“总-分-总”的整合式教学思路。首先，通过一个统领性的大情境（如“数字王国结构探秘”），整体感知数的不同“角色”和“关系”，激发探究欲望。然后，分课时深入探究各个核心概念，但始终注重概念之间的横向对比与纵向联系。最后，通过单元主题式项目化学习活动，如“设计一个基于数论知识的密室逃脱密码锁”，进行综合应用与总结提升。课时安排上，打破传统逐节推进的模式，进行内容重组：

1.启动课（1课时）：因数与倍数的意义及关系。

2.探究课一（2课时）：找一个数的因数和倍数的方法及特征探究。

3.探究课二（2课时）：2、5、3的倍数特征，奇数与偶数。

4.探究课三（2课时）：质数与合数，分解质因数。

5.综合应用与整理复习（2课时）：知识网络构建与项目化实践活动。

二、核心课时教学设计示例：探究课一《有序探“因”，无限寻“倍”》

（一）课时教学目标

1.进一步巩固因数与倍数的概念，理解其相互依存关系。

2.掌握求一个数的因数和倍数的基本方法，并能用集合图表示。

3.通过探究活动，发现一个数的因数、倍数的特征（个数有限与无限，最小与最大）。

4.在探索过程中，发展有序思考的能力，渗透集合、数形结合思想。

（二）教学重难点

1.重点：掌握有序、不重不漏地求一个数的因数和倍数的方法。

2.难点：理解一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的；体会有序思考的重要性。

（三）教学准备

多媒体课件、学习任务单、每人准备12个完全相同的小正方形纸片（或方格纸）、数字卡片。

（四）教学过程

环节一：情境再现，概念关联

1.复习导入：呈现算式：12÷2=6，20÷4=5。提问：根据这些算式，你能说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？（学生口答）强调表述的完整性与相互性，如“2是12的因数，12是2的倍数”。

2.问题驱动：我们已经知道了因数与倍数的意义。那么，对于一个数，比如18，它有哪些因数呢？它又是哪些数的倍数呢？怎样才能一个不漏地找出来？这就是我们今天要深入探究的问题。（板书课题：有序探“因”，无限寻“倍”）

环节二：操作探究，建构方法——探“因”之旅

活动一：动手操作，直观感知“因数”

1.任务提出：请你用手中的12个小正方形，拼出不同的长方形（包括正方形）。每拼出一种，就在学习单上记录下它的长和宽分别是几。

2.学生操作：独立或小组合作进行拼摆。

3.汇报交流：

1.4.学生汇报拼法及对应的长、宽：可以拼成长12宽1、长6宽2、长4宽3、长3宽4（重复，引导发现与长4宽3相同）、长2宽6、长1宽12。

2.5.引导发现：拼成的长方形的长和宽，与12有什么关系？（长和宽都是12的因数，因为它们相乘都等于12）

3.6.建立模型：将“拼长方形”的活动抽象为数学算式：12=1×12，12=2×6，12=3×4。从而直观地看到，1，12，2，6，3，4都是12的因数。

活动二：思维提升，抽象方法“找因数”

1.方法迁移：如果不摆小正方形，你能直接找出18的所有因数吗？引导学生尝试从整除的角度思考：哪些整数能整除18？可以怎么想才能不重复不遗漏？

2.探究路径：

1.3.思路一（配对法）：从最小的因数1开始试除。18÷1=18，所以1和18是因数；18÷2=9，所以2和9是因数；18÷3=6，所以3和6是因数；18÷4不能整除……继续试到何时停止？（当试除的因数开始重复或接近时）引导学生发现“成对出现”的规律。

2.4.思路二（有序除法）：按顺序用1，2，3，4……去试除18，记录下能整除的数和对应的商。

3.5.思路三（有序乘法）：思考哪两个整数相乘等于18？从1开始想：1×18=18，2×9=18，3×6=18，4×？没有，5×？没有，6×3=18（重复，停止）。

6.对比优化：你喜欢哪种方法？为什么？引导学生认识到“有序思考”（从小到大或从大到小）是保证不重复不遗漏的关键。配对法和乘法思路本质相通，都体现了有序性。

7.归纳写法：通常，我们按从小到大的顺序写出一个数的所有因数，中间用逗号隔开。18的因数有：1,2,3,6,9,18。

8.集合表示：介绍用韦恩图表示一个数的因数集合。将18的所有因数写在一个椭圆里。

活动三：观察比较，发现“因数”特征

1.找一找：请学生独立找出16、15、7的因数。

1.2.16的因数：1,2,4,8,16。

2.3.15的因数：1,3,5,15。

3.4.7的因数：1,7。

5.议一议：观察这些数的因数，你有什么发现？（小组讨论）

1.6.引导发现特征：

1.2.7.一个数的最小因数是（1），最大因数是（它本身）。

2.3.8.一个数的因数的个数是（有限的）。

3.4.9.不同的数，因数的个数可能不同。

环节三：迁移类比，探索规律——寻“倍”之路

活动一：自主探究，掌握“找倍数”的方法

1.任务提出：你能找出3的倍数吗？想一想，可以怎么找？

2.学生尝试：学生可能列出3，6，9，12……或写出3×1=3，3×2=6，3×3=9……

3.方法提炼：

1.4.引导明确：找一个数的倍数，可以用这个数依次乘1、2、3、4……得到的积就是这个数的倍数。

2.5.规范表达：3的倍数有：3,6,9,12,15……

3.6.强调“……”的含义：表示可以继续乘下去，倍数的个数是无限的，我们只写出这个数本身和几个后续的倍数即可，通常写3-5个后用省略号。

7.集合表示：用另一个韦恩图表示3的倍数集合（因为是无限的，用箭头或“…”示意无限延伸）。

活动二：对比归纳，发现“倍数”特征

1.找一找：请学生找出2、5的倍数（各写5个）。

2.比一比：对比因数的特征，说说倍数的特征是什么？

1.3.引导发现：

1.2.4.一个数的最小倍数是（它本身）。

2.3.5.一个数的倍数的个数是（无限的）。

3.4.6.一个数（0除外）没有最大的倍数。

环节四：深化理解，构建联系

1.对比辨析：将“因数”与“倍数”的特征进行对比，完成填空表格（在学习单上）。

研究对象

个数

最小

最大

因数

有限

1

它本身

倍数

无限

它本身

没有

2.关系梳理：再次强调因数与倍数的相互依存关系。以“12是3的倍数，3是12的因数”为例，说明两者不能孤立存在。

3.集合关系图：展示一个数（如18）的因数集合和它的倍数集合（局部），让学生直观感受两个集合的关系（交集？包含？），明确因数是“有限的小集合”，倍数是“无限的大集合”，它们都基于同一个“母数”。

环节五：分层练习，巩固拓展

基础层（巩固方法）

1.写出下面各数的因数（按顺序）：24，36，17。

2.写出下面各数的倍数（各写5个）：7，11，50。

提升层（理解应用）

1.判断：

1.2.一个数的因数一定比它的倍数小。（）

2.3.15既是15的因数，又是15的倍数。（）

3.4.一个数越大，它的因数个数就越多。（）（可举例：质数可能很大但因数少）

5.一个数既是16的倍数，又是16的因数，这个数是多少？

6.一个长方形面积是24平方厘米（长和宽都是整厘米数），它的长和宽可能分别是多少？（此题为后面学习质数、合数及分解做铺垫）

拓展层（发展思维）

1.猜数游戏：老师的QQ号是一个两位数，它最大的因数是15，这个QQ号是多少？

2.探索：完美数。介绍像6这样的数，它的所有真因数（除了本身以外的因数）之和等于它本身（1+2+3=6）。你能找出下一个这样的数吗？（28）激发学生课外探究数论奥秘的兴趣。

环节六：课堂总结，反思提升

1.知识梳理：今天你学到了什么？怎样找一个数的因数和倍数？它们各有什么特征？

2.方法反思：在“找因数”的过程中，“有序思考”为什么重要？如果没有顺序，可能会怎样？

3.思想感悟：本节课我们用了哪些数学思想？（数形结合——拼长方形；集合思想——用图表示；有序思考；归纳推理）

4.预告延伸：今天我们发现不同数的因数个数不同。下节课我们将对自然数按照因数个数的特点进行分类，那会是一个更神奇的世界。

（五）教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.观察学生在操作活动中的参与度、合作意识。

2.3.关注学生在探究过程中的思维逻辑性和语言表达的准确性。

3.4.通过课堂提问、讨论，评估学生对概念和方法理解的深度。

5.表现性评价：学习任务单的完成情况，尤其是“找因数”的书写顺序和完整性，“找倍数”的规范性。

6.纸笔练习评价：分层练习的完成质量和正确率，作为知识与技能掌握程度的反馈。

（六）设计意图说明

本课时设计力图体现以下理念：

1.从直观到抽象：通过“拼长方形”这一经典操作活动，将抽象的“因数”与直观的几何图形建立联系，降低理解难度，揭示概念本质。

2.从方法到思想：不仅教授“找因数、倍数”的程序性知识，更着力引导学生在探究中体会“有序思考”这一核心思维策略的重要性，渗透数学思想方法。

3.从局部到整体：在分别探究因数和倍数后，通过对比和集合图，将二者特征进行结构化对比，构建知识网络，深化对概念间相互关系的理解。

4.从封闭到开放：练习设计由浅入深，既夯实基础，又设置挑战性问题（如完美数），满足不同层次学生需求，激发探究欲，体现数学的文化价值。

三、单元整体教学的其他关键课型设计要点

（一）启动课：《走进数的关系世界》设计要点

1.核心任务：在丰富的现实情境和算式中，抽象出“整除”关系，进而定义因数与倍数。

2.关键活动：

1.3.情境创设：如“排队问题”（每排人数相等，正好排完）、“分配问题”（奖品平均分给获奖者）。

2.4.算式分类：给出一组除法算式（整除和有余数），让学生分类，聚焦“商是整数而没有余数”的这一类。

3.5.语言建模：引导学生用“（）是（）的因数，（）是（）的倍数”的句式描述整除算式中的关系，并进行大量变式说理练习，直到熟练掌握这种相互依存的语言表达。

4.6.概念辨析：即时判断练习，如“3是因数，12是倍数”这种错误说法，强调关系的相对性。

（二）探究课二：《发现数字的“密码”——2、5、3的倍数特征》设计要点

1.核心任务：经历完整的探究过程，自主发现并验证2、5、3的倍数特征。

2.关键活动：

1.3.2、5的倍数特征：提供百数表，让学生圈出2和5的倍数，观察个位特征。此过程相对简单，重在引导学生掌握“观察个位”这一探究方向。

2.4.3的倍数特征（教学难点）：设计“认知冲突”。

1.3.5.猜想：学生可能受2、5影响，也去观察个位，发现规律不明显，产生困惑。

2.4.6.引导转向：提供计数器或小棒图，演示一个数如24（2捆10根和4根），可以看成2个十和4个一。拆开重组：2个十可以分成20根小棒，即2个十=20=2+（9+9）+2？更好的方式是引导学生将十位上的数字所代表的“十”拆成“9+1”，多个“9”可以先捆在一起（是3的倍数），剩下的就是各个数位上的数字之和。通过动手操作，直观感知“余下的部分决定了是否是3的倍数”。

3.5.7.归纳验证：引导学生计算一系列3的倍数的各个数位上的数字之和，发现规律。再用反例（非3的倍数）验证。最终得出结论。

4.6.8.对比沟通：对比2、5与3的倍数特征探究方法的异同，理解“为什么看个位”和“为什么看和”的数学原理（与10进制数的位值制表示有关），提升思维层次。

7.9.奇数与偶数：作为2的倍数特征的自然延伸，结合生活实例理解。

（三）探究课三：《数的“个性”分类——质数与合数》设计要点

1.核心任务：根据一个数因数的个数这一新标准，对自然数（0、1除外）进行重新分类，理解质数与合数的本质。

2.关键活动：

1.3.分类活动：给出1~20各数的所有因数，让学生尝试按“因数个数”或“因数的特点”进行分类。学生可能会出现多种分法，引导聚焦到“只有两个因数（1和它本身）”、“有两个以上因数”、“只有1个因数（1）”这三类。

2.4.概念命名与定义：揭示质数（素数）、合数的概念。重点讨论“1”的特殊性（既不是质数也不是合数），理解分类标准的严谨性。

3.5.判断与筛选：掌握判断一个数是否为质数的方法（看因数的个数，或用试除法）。介绍“筛法”（如埃拉托斯特尼筛法）找出100以内的质数，感受古人的智慧。

4.6.分解质因数：从合数“拆解”回质数相乘的形式，理解算术基本定理的雏形。强调书写格式（短除法），理解其是因数研究的深化和系统化。

（四）综合应用与整理复习课：《数论密室逃脱——综合实践活动》设计要点

1.核心任务：以小组合作形式，完成一个基于本单元知识的综合性、挑战性任务。

2.活动流程：

1.3.情境导入：创设“密室逃脱”情境，最终的密码锁是一个多位数字，需要解开一系列与因数、倍数、质数、合数、奇偶数相关的谜题，才能获得密码线索。

2.4.任务链设计（示例）：

1.3.5.线索一：房间号是一个两位数的质数，十位数字是偶数，个位数字是5的倍数。这个数是（）。（考察质数、奇数偶数、5的倍数特征的综合应用，答案是25？25不是质数，矛盾。应设计为：十位是偶数的最小质数？25非质数，所以无解？需重新设计逻辑严密的题目，例如：“我是一个两位质数，我的十位数字是偶数中唯一的质数，我的个位数字是比十位数字大3的奇数。”答案是23。）

2.4.6.线索二：根据线索一得到的数A，找出A的所有因数之和B。

3.5.7.线索三：B是2和3的公倍数，且是一个两位数，这个数可能是多少？选出最小的那个作为C。

4.6.8.线索四：将C分解质因数，把这些质因数按从小到大的顺序排列，连接成一个新的数字串D。

5.7.9.线索五：D是最终密码锁的一部分，另一部分是“100以内，既不是质数也不是合数的那个数”。请写出完整的密码。

8.10.小组合作探究：各组领取任务卡，利用所学知识分析、推理、计算，逐步破解。

9.11.成果展示与交流：各组展示破解过程和最终密码，分享解题思路和遇到的困难。

10.12.单元知识网络图构建：在活动后，引导学生以思维导图的形式，自主梳理本单元所有核心概念及其相互关系，形成结构化认知。

四、跨学科视野与前沿教学理念的融入

1.信息技术深度融合：

1.2.利用动态几何软件（如GeoGebra）模拟“拼长方形”过程，快速枚举所有可能，并同步生成乘法算式。

2.3.使用编程思维（Scratch或Python简单代码）演示“筛法”找质数，让学生感受算法效率。

3.4.设计在线互动游戏，如“因数倍数闪电判断”、“质数合数分类器”，增加练习趣味性和即时反馈。

5.与科学的跨学科联系：

1.6.联系生物中的遗传密码（DNA碱基对的数量关系有时涉及倍数）。

2.7.联系物理中的周期性现象（如振动频率是基频的倍数，产生谐波），感受“倍数”在描述规律中的应用。

8.与文学、历史的联系：

1.9.介绍中国古代的“更相减损术”与求最大公因数的渊源。

2.10.讲述“哥德巴赫猜想”、“完美数”、“