解三角形17大考点（原卷版）-2026年高考数学

解三角形（17大考点）

>>>考点预览《<、

考点01利用正弦定理解三角形...........................................................1

考点02判断三角形解的个数.............................................................2

考点03正弦定理的应用.................................................................3

考点04利用余弦定理解三角形..........................................................4

考点05余弦定理的应用.................................................................5

考点06判断三角形形状.................................................................6

考点07正余弦定理的综合应用...........................................................7

考点08倍角关系........................................................................8

考点09与角度、边长有关的最值问题....................................................9

考点10三角形面积计算及应用..........................................................10

考点11三角形的周长计算及应用.......................................................13

考点12与角平分线、中线、高线有关的问题............................................14

考点13与外接圆、内切圆有关的问题...................................................17

考点14解三角形在平面几何中的应用...................................................18

考点15解三角形与三角函数的综合.....................................................20

考点16解三角形与平面向量的综合.....................................................21

考点17解三角形的实际应用............................................................22

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考点01利用正弦定理解三角形

■SBBi-MM-MMI■OHM■■■■■■,W■■■■■«■■■Mi■■■■■■■■■(■«■■■■W■■■■■>■W■■■■■■■■■■■■■■■■■MM-MM■■«■■■*■■■■■■■■■■■■■■■>■Ml-

7)王弦定理的表示

在ZU8。中，若角4MC对应的边分别是a,A,c,则各边和它所对角的正弦的比相等，即$=」

IsmAsin

j_c

(-sinC•

I(2)王弦定理的常见变形

!在△?!«。中，由正弦定理得."/=V=.'=4(A>0),贝!]〃=Asin力，h=ksinB,c=AsinC,由此可

sinAsinBsinC

i得正弦定理的下列变形：

Igsin/asinCcsinBb.八•，.•一.c

।(L-_77=v，~—r=—,­―7；=—，asmB=osinJ,asmC=csm力,osinC=csinB；

।sinBbsinAasinCc

|南a_b_c_a+〃_a+e_h-^c_a+b+e

；sinAsinBsinCsinA4-sinBsin力+sin。sin4+sinCsin力+sin4+sinC'

1/31

'（3）a:/>:c=sinJ:sin4:sinC；

LL

：@^-=J-r=^-F=2Rf（K为"BC外接圆的半径）.

।IsinAsinBsinC

I

a

1.（25-26高三•重庆南岸•阶段练习）在△力4。中，8=45°,C=75°,4C=JL则边8c的长为（）

A.B.6C.6+&D.1

2

2.（2025•江西景德镇•模拟预测）ZU8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若力=^，C=工,

412

a=\,则6=（）

A.显B.V3-1C.—D.G+1

32

3.（2025・贵州贵阳•模拟预测）在△力5c中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若

力=1,“==l,则角C的大小是（）

5兀一兀—五-兀，*5兀

A.—B.-C.TD.二或二

66J66

4.（2025高一・江苏常州•期末）己知△48C中，内角4B,。所对的边分别为小b,c,若4=30。,

。=1,c=G，则角。的值为（）

5.（202S•贵州遵义•模拟预测）在人力FC中，己知力=g,"=2,BC=4b,则。=（）

考点02判断三角形解的个数

「I巨如三鬲形的而菊花在熹三£「亲豌而透•「丽看'唯二痴/三扁形狼硅二魄.

!2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角

!形不能被唯一确定.

!注：从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以己知

la6和4解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

I

；①若sin4=应3>1,则满足条件的三角形的个数为0；

；②若sin5="皿W=L则满足条件的三角形的个数为1;

a

2/31

.^HIB・■fli^M・

[③若sin8=^W〈L则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0<sin8=%W.〈l可得B有两个值，！

|aa|

一个大于90。，一个小于90。，考虑到“大边对大角”、“三

!角形内角和等于18。…等，此时需进行讨论.!

II

laaai■MM■MM・■MM■»・・MM■■MM・■MM■■w■■MM■MM■■w・■w・.J

6.（25-26高三•河北保定•阶段练习）在△力8C中，若AC=6。=5，4B=2,则UBC解的个数为

4

（）

A.0个B.1个C.2个D.不确定

7.（2025•四川达州•模拟预测）在△>BC中,内角/,B,。的对边分别为即6,C.下列条件中能使ZU8C

唯一确定的是（）

A.J=45°,6=60。,C=75°B.b=3,c=4,8=30°

C.b=6c=2,4=60°D.力=12,c=12,C=12O°

8.（2025高三•江苏淮安・期中）在外接圆半径为4的△48C中，ZJBC=30°,若符合上述条件的三角形有

两个，则边/8的长可能为（）

A.2B.3C.4D.5

9.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）己知△力〃。的内角48,C的对边分别为。也。，且满足。=2亡,8=£的

4

三角形有两个，则6的取值范围为（）

A.（0,2扬B.（2>/2,4）C.（2,4）D.（2,272）

考点03正弦定理的应用

「正弦定理的应用

!①边化角,角化边<=>«:/>:c=sin/）:sin:sinC

I

j②大边对大角大角对大边

।a>b<^>A>BsinA>sin80cos4<cosB

I③八分比a+b+c_a+b_b+c_a+c_a_b_c_,

sin力+sin8+sinCsin4+sin〃sin4+sinCsinJ+sinCsinAsinBsinC

■MM■MM・■MMi・■MM■MM■W■MM■■MM■■W・■MM■

10.（25-26高三•江苏淮安•阶段练习）在048C中,“4<8"是'sinJvsinB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.（25-26高三•内蒙占包头•阶段练习）在98。中，内角4B,。的对边分别是a,b,c,若

3/31

acosB-bcosA=c,且。=§,则乙8=()

7171兀

A.—B.-D.-

106"I2

12.（2025高一•黑龙江哈尔滨•阶段练习）在中，角力，B,C的对边分别是。，b,c

ccosB-(2a-Z>)cosC=0,则角C=()

n-57r

B.-D.—

I3-T6

13.（2025•浙江•模拟预测）在ZVIA。中,角4、B、。的对边分别为。、b、c,atanB+wtaivl=-2ctaivl,

则8=()

c2715兀

AA.二3B.—D.——

36

14.（2025•福建泉州•模拟预测）已知明b,c分别为ZU8C三个内角/,B,C的对边，cosB=叵,且

5

3c?cosJ=acosC,tanA)

A.1B.3C.-1D.-3

考点04利用余弦定理解三角形

「(i)菊藐画旗推褊砺-----------------

!a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.

C°S4=人+荣-2=标+2-2=标+0一

2be2ac2ab

\（2）对余弦定理的理解

!①余弦定理对任意的三角形都成立.

|②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.

!③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦

!定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.

!④余弦定理的另一种常见变式：〃+c2/2=2bccos/l,a2+c2-h2=laccosB,a2+b2-c2=2abcosC.

.W・.HMM(■■MK■MMB..W・■■■■■■■W・

15.（25-26高三•重庆•阶段练习）MBC中，AB=®AC=>H,BC=4,则布・胜=（）

A.6B.-6C.-3D.3

16.（25・26高三•云南楚雄•阶段练习）ZU8C中，角48,C的对边分别为。也。，且力=小方=1,。=6,则

。=（）

A.@B.V2C.4D.2

22

4/31

17.（25・26高三•广东•阶段练习）平面直角坐标系方。y中,已知点力（3,2）,8（3,1）,C（1,4）,则COS/48C=

（）

V133713

B.如Vr•-----

613"iF

考点05余弦定理的应用

「盅加凝否铲獭及荚菊二的函底血而基薮基威元荷函两港版写病、不薮袤透嘉年万关系;!

!若有，将相关量对应余弦定理中的。、b.c和角A,把问题转化为边长计算或角度求解。代入公式后，!

；结合问题化简计算。；

18.（2025高三•四川广安•阶段练习）在△/4C中，角力、B、C的对边分别是。、b、c,若

37

S^=-a2s\nA,且力+。=一〃，则cos4=（）

ABC22

7>1-1一5

A.B.-C.-D.—

8866

19.（2025高二•河北保定•开学考试）在△力4。中，角4RC的对边分别为a,b,c,若

tanB=-粗,b=』3ac>则=（）

20.（2025•安徽合肥•模拟预测）在△片8c中，内角4优。的对边分别为。也c,若2加osC=42-c）,且

8=],贝”（）

B.V2C.&

21.（2025高三・海南海口•阶段练习）在△力〃C中，内角4B,。的对边分别为a,b,c.若

a2+y/3bc=b2+c2.则tan24的值为（）

C.73D.-V3

22.（2025高二・浙江金华•开学考试）在△NBC中,角44C打对的边分别为。也c,若/+c?一”，

则角8=（）

兀e71C3兀-2冗

A.-B.-C.—D.—

6343

23.【多选】（2025高二•福建•开学考试）。也c分别为△/8C内角48,。的对边.已知/+〃,则^sC

的值可能为（）

5/31

\_374

A.B.C.D.

25lo5

考点06判断三角形形状

一M^a・■«■■*■■«■■»・M■«■■■■,«■■*■-M

「判定三角形形状的途径：

I（1）化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；I

!（2）化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁.i

I无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意I

!挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.;

兀1

24.（2025高一•浙江杭州•期中）在△ABC中，4=:，则"sinBv：；”是“ZU8C是钝角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

25.（25-26高二・贵州黔南•开学考试）在△川5c中，角4&C所对的边分别为々瓦。，已知

a-CCOSB=b-CCOsA,=a2+b2-ab,则△ABC的形状为（）

A.钝角三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形

26.（2025高三・全国•专题练习）在△48C中，角力，B,。所对的边分别为〃，瓦c,且出力,。成等比数列，

设△49C的面积为S,^accosB=—S，则△/8C的形状为（）.

3

A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

27.（2025高一•天津滨海新•期中）已知△48C三个内角儿B,C的对边分别是a,b,c,若

ccosC=acosA,则。的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

4

28.（2025•内蒙古赤峰•模拟预测）在△48C中，角力，B,C的对边分别是“，b,c,且6+。=丁，

cos8=，，则。的形状是（）

A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定的

29.（2025高二・江西新余•期末）在△/"。中，4&C的对边分别为a，〃，c,若acos/1-儿os4=0,贝lJ△48C

的形状为（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

3（）.（2025高三•贵州贵阳•阶段练习）在ZUBC中，若sin2/=sin28,则ZUBC为（）

6/31

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

31.（2025高三•上海闵行•期中）在△48C中，已知〃+/-庆=/,且从anC=ctan8,则A-8C的形状

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一个角为60。的直角三角形D.等边三角形

考点07正余弦定理的综合应用

像二箱形荷；如箴?石磊通的茶裴应血的三次式;妻丽庶说茶黄适行而集聂序不杳看福福正彝翅!

!的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.!

32.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）已知ZU8C的内角48,C所对的边分别为a,4c,若

1匕

9sin2B=4sin2J,cosC=——,则一=()

4a

2百

\r-z■---

3

33.（2025高三•湖北•期中）已知在锐角ZVJBC中，角4,〃，C所对的边分别为“"，c,若2s/+c'-/,

则£的取值可能为（）

b

2，）N

34.（2025高三•四川•阶段练习）在。中，内角49。的对边分别为a,6,c,且与二:;+c「；",则

35.（2025高一•甘肃白银•期末）在△NBC中，内角4,B,。所对的边分别为a,b,c,且/一/二5A,

36.（2025高三•江苏常州•阶段练习）在△/8c中，角4&C的对边分别为a、b、c,若一二十

tanJtanBtanC

7/31

2+f="osC则实数k的值为（）

ab

A.2B.4C.6D.8

37.（2025高三•重庆南岸•阶段练习）在锐角ZUB。中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,若

ba.「antanC,tanC,土日

—+T=4COSC,则-----+---的值是（）

abtanAtanB

34

A.2B.-C.4D.-

23

考点08倍角关系

第三届法币的福族素;王宴泌及维薪:菊河与菊苗薮的陶公募至座公羡砺莪布蠢说而的」!

I个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活I

।।

i性。i

38.(2025高三•江苏•阶段练习)记△48。的内角力，B,C所对的边分别为。，b,c,已知：=2cosC+L

b

(1)求证：C=2B;

3

(2)若cos5=w，c=6,求的面积.

39.(2025高三•广东•阶段练习)在八48。中，内角4B,。所对的边分别为a,b,c,边长均为正整数,

且6=4.

(1)若角4为钝角，求△/J8C的面积；

(2)若4=28,求a.

40.(2025•江西景德镇•模拟预测)在ZV18C中，角4，8,C的对边分别为〃，h,cfAD,BE分别为

AF)3

BC,4C边上的高，——=-,sin(C-Z?)=2sin/lcos2i9.

BE4

⑴求证:A=2B；

(2)若c=g,求a.

41.(2025高一•浙江绍兴•期中)在锐角△/14C中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知

b+c=2acosB.

(1)证明：A=2B；

(2)若b=l,求。的取值范围；

⑶若△48C的三边边长为连续的正整数，求△襁C的面积.

8/31

考点09与角度、边长有关的最值问题

「A一瓶胸靛!

求解三角形的角度范围问题，常见解题思路为：（1）对所给条件做出分析,根据条件特点选择合适定理!

।।

；表达所求角度，若已知边长值较多则考虑余弦定理，已知角度大小则考虑正弦定理；（2）根据角度的具体表；

；达式结构特点，讨论有关变量的具体定义域；（3）选择三角函数求值域或基本函数求值域方式，在所求定义；

I域内求得对应值域，即可得到问题所求的角度相关范围大小.

!2、边长范围问题!

•边长是组成三角形的另一重要元素，因此与三角形边长有关的范围问题也十分常见,由于这一类范围!

;问题求解并不复杂，故以选择形式或填空形式出现较为多见.求解这类与边长有关的范围问题，正余弦定理;

；的灵活运用成为解题的关键步骤，常见的解答思路一般表现为：a）根据已知条件的特点，选择合适的定理i

i并代人具体值，得到与问题所求的对应关系等式；（2）根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点，，

!得到具体关系等式或不等式；（3）通过运算，求出问题所求边长对应具体取值范围.

42.（2025・湖北•模拟预测）锐角△49C中，角4B,。所对的边为a,b,c,A=2B,a+h=3,则边。

的取值范围是.

43.（2025高三・安徽淮南•阶段练习）在△力3c中，角4&C的对边分别是出叱,若△小€?是锐角三角形且

角4=28,则；的取值范围为_____.

b

44.（2025•广东广州•模拟预测）记锐角三角形力〃。的内角4&C所对的边分别为出从〜已知8=2。，

〃=2,贝Ub+c的取值范围是（）

A.(2,V3+1)B.(V3+1,+OC)C.(2,272+2)D.便+1,2&+2)

45.（2025•全国•模拟预测）已知。中，角4,B,。所对的边分别为。，b,c,满足

«cosC=（2/）-c）cos/l,且Q=b>a,则与一］的取值范围是.

46.（25-26高三・江西•阶段练习）记△45C的内角4民。的对边分别为db,c,且〃cos8=®sin（4+：）

则?的最大值为（）

b

A.y/2B.>/5C.2V2D.3

A4-f

47.（2025高一•福建三明•阶段练习）在锐角△48C中，N4=2/8,则不丁的范围是（）

2b

A・闯3）B-（J引41C八.（匕4司3、D.朋A

48.（2025高三・江西•阶段练习）记锐角三角形/18C的内角48,C的对边分别为。也c,若c+/）=2ocos8,

9/31

则上空的取值范围为________

a~b

49.(2025•江西抚州•模拟预测)已知△ABC的内角力、B、C的对边分别为。、b、c,若4=2B,则竺土竺

ab

的取值范围为.

50.(2025高二・浙江杭州•期中)在△力4C中，内角4优。所无•的边分别为满足b=〃-2/)cosC.

(1)求证：C=28；

(2)求2sinC+cos8-sin8的最大值.

51.(2025高一•福建三明•期末)的内角力，B,。所对的边分别是“，b,c,且秘=°2-，.

(1)若。=百，且力=?,求△ABC的面积；

(2)求cos/+sinC的最大值.

52.(2025高一•广东江门•期中)在A/BC中，内角4B,。对应的边分别是a、b、c,且

bcesC+ccosB=2acosA

(1)求角4的大小;

(2)若方=2,S/BC=3&，求a；

(3)若为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围.

53.(2025高三呐蒙古锡林郭勒盟•开学考试)在锐角中，角小B,。所对的边分别为a,4c,

请从以下条件①，条件②中选择一个作为已知.

①csin(C+B-/)=asin(5+Z)②(b-c)sinC=(b+a)(s\nB-s\nA).

(1)求角4

(2)求tanC+tanB的取值范围.

考点10三角形面积计算及应用

口.(1)常用的三角形的面积计算公式

I1I

j①s△处=5a-hQ=5b♦hh=-c•儿(〃“也也分别为边〃，加c上的高).

,②将儿=%sinC,hf,=cs\nA,〃<.=。5足夕代入上式可得5"8。=34/苗。=：反5小/1=：46©11夕，即三角

;形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.

I(2)三角形的其他面积公式

10/31

I11I

j①s△批=E«a+b+c）=qrl,其中”分别为ZVIB。的内切圆半径及A48C的周长.

I内。1sin5sinC1.sinAsinC。12sin力sin8

j②S-=2"7sin力'S^-b7疝8'$△，如=2c5C.；

i2.求三角形面积的方法i

I（i）若巳知三角形的一个角（角的大小或该角的正、余弦值）及该角的两边长度，代入公式求面积；!

!（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公I

।।

；式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.

；3.已知三角形面积求边、角的方法i

，（i）若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；i

!（2）若求边，就寻求与该边（或两边）有关联的角，利用面积公式列方程求解.!

!4.面积范围问题

II

!针对三角形面积进行提问的取值范围问题，属于中等难度的一类解三角形问题，可在选择填空或解答题中!

।।

；遇见其“身影”.解答这类问题,主要思路在于借助公式将面积问题等价转化为函数求值域或基本不等式求；

;最值，进而对问题作出具体完整的解答，这些解题思路在解题过程中具体可表现为：（1）对所求三角形大致;

i形状做出分析，明确选择面积求解公式；（2）运用正余弦定理，取得三角形边长、角度具体值,将其代人面积i

|公式中得到具体表达式；（3）根据袅达式结构特点，运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路，得到!

!具体的范围大小，即对应问题所求的面积范围值.!

।।

ii

i_____________________________________________i

aF）

54.（2025•山西•模拟预测）在△48c中，力=45“，BC=M，AB=—ACf则△45C1的面积是（）

2

33

A.-B.-C.3D.12

42

55.（25-26高三・湖北宜昌•阶段练习）在△力8c中，角45c所对的边分别为a,〃,c,且〃2=〃（力+4=1,

8=:，则△力的面积为（）

4

A.1B.—C.7D.7

224

56.（2025・安徽合肥•模拟预测）在中，内角4民。所对的边分别是a",若6=1,tanC=；,

4/+/=4〃/^访。,贝112\48。的面积为（）

A.—B.C.；D.1

842

57.（2025高一•陕西咸阳•期中）在ZU8C中，角4B,。的对边分别为。，b,c,若。=3,4=1,

sinC=2sin5,则△ABC的面积是()

11/31

58.（2025•湖南•模拟预测）在△/8C中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,已知/=[,方=3,三角形

4

的面积为6,则。=（）

A.65B.17C.Vl7D.病

59.（2025•广西北海•模拟预测）在八力中.内角4&C所对的边分别为a.Ac.已知cos4='a=4.△ABC

的面积为26,则〃+c=（）

A.27nB.2V10C.2V7D.3V2

60.（2025・陕西・模拟预测）在ZU8。中，角4&C所对的边分别为db,c,已知。=6,吗=®=，贝[△/18C

sinJ0

面枳的最大值为（）

A.yB.yC.12D.15.

61.（2025高三•陕西西安•阶段练习）在△48。中，内角4瓜。所对的边分别是d6,c,若才=£,且△48C

4

外接圆的半径为2,则A/IA。面积的最大值是（）

A.V2-IB.V2+1C.2>/2-2D.2夜+2

62.（2025高三・河南信阳•阶段练习）在锐角△力8c中，内角。的对边分别为〃也c,且满足

（b-c）2-a2=-bc,若。=6，则△月3c面积的最大值是（）

A.73B.—

4

C.—D.2G

2

63.（25・26高三•山西太原•阶段练习）在A46C中，角N、6、C所对的边为。、6、。，且acosC+ccos4=N>cosS.

⑴求角以

（2）当XC=12时，求面积的最大值.

64.（2025•辽宁鞍山•模拟预测）己知△48C的内角4氏。的对边分别为“也c,且△48C的周长为

3Z）sinC

sin5+sinC-sinJ

（1）求角/;

（2）若a=6，求面积的最大值.

65.（2025•江西新余•模拟预测）若ZVIBC的内角4SC的对边分别为“也c,且

12/31

、/q

2sin5+sinA-B—nI=sin------C

6k6

⑴求4;

（2）若加osC+ccos8=l,求MAC面积的最大值.

66.（2025•河北邯郸•模拟预测）在锐角△/^C中，内角4SC满足

<n\

2sin(/+C)2cos2--1l->/3cos25=0.

（1）求角8；

（2）若4c=2,求△N8C面积的取值范围;

(3)证明：cos2^+cos2C+2V3cos/4cosC+3cos25=0-

考点11三角形的周长计算及应用

吊算三转弦■:;疏丽福如奈布蕾直皤三「施i而篦霜而近萩扁「嵌女比黄轴兰丽!

!求和；若给一边及两角，先由内角和求第三角，再用正弦定理求另两边，最后相加。应用时，结合周长公！

；式列方程，如已知周长求边长，或结合面积公式联立求解，计算后验证三边是否满足三角形三边关系（两；

；边和大于第三边）。；

I______________________________________________________________________________________________________________________________________J

67.（2025高三•湖南•阶段练习）在ZU4C中，角48,。所对的边分别为a,b,c,若Q=3,6=6,cos8二茶,

则“8。的周长为（）

A.13B.14C.15D.16

68.（2025高一•黑龙江哈尔滨•期中）在中，角儿B,C所对的边分别为。，b,c,已知。=7,

V3sin/l+cosJ=2,且13AinC=7csin28