三角函数的图像及性质（讲义）-高考数学二轮复习讲义（解析版）

解密01三角函数的图象与性质

◎解密高考

核心考点读高考设问知考法命题解读

【2018新课标3文理4】若sina=g,则cos2a=()

【2020新课标1理9】已知ae(0,兀)，且女os2a-8cos。=5,则

sina=()

三角函数的图象

【2020新课标3丈5】已知sin0+sin0+/卜，则sin0+今)二()

与性质是高考考

【2020新课杯3理9】己知2tan0-tan(0+?)-7,贝ijian，=()查的重点和热点

内容，主要从以下

三角函数的

(3

【2016新课标1文14】已知夕是第四象限角，且sin6>+—=-,两个方面进行考

概念、诱导I5

查：

公式及同角

则1anje—三)=.

1.三角函数的图

关系式I4,

象，涉及图象变换

2

【2020新课标2文13］若sinx=-q,则cos2x=_________.问题以及由图象

【2018新课标2理15】已知sina+cos"=l,cos«+sin/?=0,则确定解析式问题，

sin(a+ft)=_______.主要以选择题、填

71空题的形式考查；

【2017新课标1文15］已知aw(0,—),tana=2,则

2

2.利用三角函数

COS(/<2-兀-、)=______.

的性质求解三角

［2017新课才示1理9】巳知曲线G：y=cosx、困数的喧、参数、

(2乃1最值、值域、单调

C2：y=sin2^-+—J,则下而结论正确的是()

区间等，主要以解

三角函数的

【2017新课标3理6］设函数.f(x)=cos(x+9,则下列结论错误答题的杉式考查.

图象及应用

的是()

［2020新课标1理7］设函数〃X)=COS(ON+3在［-兀兀］的图像大

0

致如下图，则/(%)的最小正周期为()

[2020新高考全国10)下图是函数y=sin(@x+0)的部分图像，则

sin(s+e)=()

IfinK

【2018新课标3文6】函数f(x)=-----厂的最小正周期为()

1+tanx

3(

[2017课标2理14】函数/(x)=sin2x+>/3cosx—[4e

三角函数的

性质的最大值是______.

【2019课标1文15】函数/(x)=sin(2x+5)-3cosx的最小值为.

[2017新课标2文13】函数/(A)=2cosx+sinx的最大值为____.

专存对点解密

核心考点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

1.三角函数：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sina=y,cosa=x,tana=*x,O).各

象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

sina।兀

同角基本关系式:siira+cos7a=1,-------=tanalI彳,kez).

2.cosaV2

3.诱导公式：在竽+a,k£Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.

【考法解密】

1.【2020新课标1理9】已知兀)，且3cos2a-8cosa=5,则sina=()

A.—B.-C.-D.

333

【答案】A

2

【解析】3cos2a—8cosa=5>得6cos2a_8cosa-8=0,即3cos2a-48sa-4=0,解得cosa=-§或

cosa=2(舍去)，X•.­aGsina-Vl-cos2a=—.故；iA.

3

2.12016新课标1文14]已知，是第四象限角，且sin(e+q=3,则tan(。一=

I4；5I4J

4

【答案】一—

3

It兀3

【解法1】由题意sin0+2=sin0——\+—=cos0——

I4J4245

因为2女九+与＜。＜2&兀+2兀(kwZ),所以2k兀+与ve-：〈2Z7t+?(&eZ),

从而sin(6_；J=_­,因此tan|6>--j=-44

故填

5、4/33

评注：此处的角还可由cos(e-K?〕=。缩小至2Z兀43兀八兀7n/,/口、几、/3T

——<0——<2攵兀+——eZ),但没必要.

45244''

另外，还可利用la/。一二71］ian(9+工n〕二一1来进行处理，或者直接进行推演，即由题意cos(®+四兀］=&

4445

IF4(八九34

“lanI0+—=,所以tan二

I4=4

I4Jtan呜3

保法2】考虑至皿+力一也%(令则左。啖因为。是第四象限角，所

4兀cosa4

以cosa>0,故cosa=一，所以tan分=tan(a——)=

52sina3

【解法3】考虑(。+2)_。=色，运用两角和的正切公式.令。二夕+四，则,因为。是第四象限

4444

一4sinct3八/7iiana-115

角，所以cos。＞0,故cosa=w，从而tana=—,所以tan0-tan(a——)s=-------=——，故

cosa44tana+17

tan(，一巴)tan-14

41+tan03

cos(e+1).

tan0-1cos6/-sin<7

【解法4】tan«9--)-------4_=-Z

4I+tansin6+cos。sin(^+-)3

【解法5】展开sin(6+马=3求出sin。，运用两角和的正切公式.因为sin(9+马=?,所以

4545

sin6+cose=』J2,sin0cos®=—―,因为。是第四象限角，所以sinOvO,cos0＞O,解得sin6=-Y^,

5501()

cos6=7及,所以tan6=-1，ifetan(^-—)tan-14

10741+tan〃3

【解法6】运用两角和的正弦公式求出sin。，再运用两角和的E切公式.因为sin(0+：)=g,。是第四象

限角，所以COS(6+¥)=±,从而sind=sin(e+巴-2)=—sin(^+—)--cos(^+—)

45442424

0,34、x/2八7、叵「门”八1,,⑺兀、tan^-14

=-----(--------)=-------,cos0—-------，所以tan0=—,故tan(9—)=-------------=—.

255101074l+tan6>3

*4变式解密】

I.已知角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点PQ,1),则tan(2a+3等于()

A.-7B.-；C./D.7

【答案】A

【解析】由角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,l),

可得x=2,y=I,tana=^=y

2tana___[4

/.tan2a—1—tan2a,

4

cl兀

tan2a十tanJ

3+7

4-

71-X

1,—tanc2atan73

2.已知曲线段)=/—2d—x在点(1,川))处的切线的倾斜角为〃，则cos2(j+a^—2cos2a—3sin(27t—a)cos(7t

+a)的值为()

【答案】A

【解析】由,/（x）=3—Zr2—x可知r（x）=3.X2—4x~1,

.*.tana=/（1）=—2,

cos（，+a）~2cos%-3sin（2兀一a）cos（兀+«）

=（—sina）2—2cos2a-3sinacosa

=sin2«—2cos2ct—3sin«cosa

sin%—2cos2a—3sinacosa

sin2a4-cos2a

（an%—3lana-2

tan2«+l

4+6-28

=-5―=5-

3.在平面直角坐标系中，若角。的终边经过点小in苧，cos部则sinS+a）等于（）

-4B.—zC.zD.

【答案】B

【解析】由诱导公式可得，siiW=sin（2L］）=—sin尹一孚,

竽=cos（2花一§=cos鼻=/，即

cos-坐ft

1

由三角函数的定义可得,

则sin（兀+a）=-sina=一,

sin（7t-a）-4sin《+a

4已知sin（3n+«）=2sin,M'等于（）

5sin（2兀+a）+2cos（27t-a）

A.B-3C6D.

【答案】D

Vsin（3n+a）=2sin（竽+a\

【解析】-sina=_2cosa,即sina=2cosa,

sin（兀-a）—4sin（^+a

sina—4cosa2cosa—4cosa—21

则

5sin（2n4-a）4-2cos（27r—a）5sin«+2cosalOcosa+2cosa126-

核心考点二三角函数的图象及应用

函数y=Asin（ex+。）的图象：

⑴“五点法”作图：

设2=3+9，令z=0,胃，7t,苧，2兀，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.

（2）图象变换：

横坐标变为原来的'®>0）倍

向左（8>0）或向右3<0）

（先平移后伸缩）y=sinx平移期不单位长度尸sin（x+。）纵坐标不变'

纵坐标变为原来的.4。>0）倍

y=sin（（ox+^）横坐标不变尸Asin（（ox+°）.

横坐标变为原来的白/>0）倍

sis懒喘线）

（先伸缩后平移）y=sin¥纵坐标不变»y=

co

纵坐标变为原来的A（A>0）倍…

y=sin（Q）x+9）->^7^-------y=As\n（（ox+（p）x.

【考法解密】

0、

1.【2017新课标1理9】已知曲线G：y=cosx,C2：y=sin2x+—,则下面结论正确的是（）

I3)

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移看个单位长度，得到

曲线。2；

B.把C|上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移'•个单位长度，得到

12

曲线。2；

c.把q上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移N个单位长度，得到

26

曲线。2；

再把得到的曲线向左平移£个单位长度，得到

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的§倍，纵坐标不变，

12

曲线C?.

【答案】D

【解析】£：y=cosx,G：）f加。.【十年）

,首先曲线G、G统•为一三角函数名，可将q：y=8sx用

诱导公式处理.y=cosx=cosx+g-Tsin[x+1J.横坐标变换需将3=1变成3=2,即

点横坐标缩沱惊来

.兀CJ.4":•rn=sin2

y=sinx+—=sinl2x+—=sin2x+—>y=sin2x4-T)(%+注意

2I4

。的系数，在右平移需将。=2提到括号夕画这时，•+/移至根据"左加右减”原则，":"到

“x+?’需加上三，即再向左平移三.故选D

31212

2.[2020新课标1理7】设函数/（x）=cos（的+当在[-兀,扪的图像大致如下图，则/⑴的最小正周期为

6

)

【答案】C

【解析】由图可得函数图象过点（-竽，（）],将它代入函数”另可得cos（-¥”+g]=0,又（一当，"是

函数“X）图象与X轴负半轴的第一个交点，所以+V=?解得/=|,所以函数/（"的最小正

2万_2乃_44

周期为工7"1""可"，故选c.

2

£二【变式预测】

1.己知函数/U)=sin(sx+§((y>0)的最小正周期为兀，为了得到函数g(x)=coscox的图象，只要将y=/U)的

图象()

A.向左平移合个单位长度B.向右平移强个单位长度

C.向左平移居个单位长度D.向右平移居个单位长度

【答案】A

【解析】由题意知，函数人r)的最小正周期7=兀，所以口=2,即儿r)=sin(2x+*,g(.r)=cos2x.把g(x)=cos

2.r变形得83)=4]3+9=/2(—自+韭所以只要将府)的图象向左平移各个单位长度.即可得到g(x)

=8s2x的图象，故选A.

2.函数以)=4sin@x+8)3>0,1°<兀)的部分图象如图所示，将函数於)的图象向右平移三个单位长度后得到

函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间H，可上的值域为LL2],则0=.

71

【答案】？

【解析】函数/3=Asin(s+夕)(6»0,1*1〈兀)的部分图象如图所示，

则A=2,六岩一相=参解得丁=兀，所以⑦=2,即儿0=2sin(2x+s),

当尸即寸，怎)=2sin(2xg+3)=0,乂|水瓦，解得夕=一专，所以/(x)=2sin(2x—华)，

因为函数段)的图象向右平移居个单位长度后得到函数四)的图象，所以g(x)=2sin12(L制一用=2cos

2x,

若函数g(x)在区间[一方，上的值域为[—1,2],则2cos28=—1,则。=E+$k6Z,或。=E+半，k£Z,

所以0=y

3.若将函数,，=cos33>0）的图象向右平移方个单位长度后与函数），=sin«M的图象重合，则3的最小值为

357

・B-C--

A.2一222

【答案】B

【解析】将函数尸cossQO）的图象向右平移三个单位长度后得到函数的解析式为尸cos/苦

=COS（5一詈）

;平移后得到的函数图象与函数尸sin〈ox的图象重合,

3

即-

/.一^-=2hr—i（AEZ）,-2

3

工当2=0时,CD=2-

4.函数./U）=Asin（口x+9）（A>0,S>0,|创舟的部分图象如图所示，则①=:函数,/U）在区间,，兀上

的零点为.

7兀

【答案】2五

【解析】从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为小一会从而求得函数的最小正周

期为7=2后一（一川=心根据7=制求得切=2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为人i）=

2sin（2L。令2x—^=E（&£Z）,解得1=竽+自（依Z）,结合所给的区间，整理得出户患.

核心考点三三角函数的性质

1.常用三种函数的图象与性质（下表中kGZ）:

函数产sinxy=cosxy=tanx

图象

2

递增

(而一多E+?

2E节,2E+4[2E—兀，2kn]

区间

递减

2〃兀+与，2E+当

[2kn,2E+TT]

区间

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称

(E+去0)倍°)

(kit,0)

中心

,i兀

对称轴兀+]x=kn

周期性27r2nn

2.三角函数的常用结论：

(l)y=Asin(cox+0),当勿=履(女£Z)时为奇函数；

当s=E+秋£Z)时为偶函数；对称轴方程可由CM+8=E+/A£Z)求得.

(2)y=Acos(cox+。)，当8=E+^(LWZ)时为奇函数；

当s=E(k£Z)时为偶函数；对称轴方程可由s+simkWZ)求得.

(3)y=Alan(sx+。)，当0=E(Z£Z)时为奇函数.

£二【考法解密】

1.12019课标1文15】函数/(x)=sin(2x+m37r)—38sx的最小值为.

【答案】-4

3乃317

(解析]/(x)=sin(2x+；)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+\=-2(cosx+-)2+—

,.,-1<8SXW1,•.•当cosx=l时，fmin(x)=-4,故函数/(x)的最小值为T.

2.12017课标2理14]函数〃x)=sin2x+6cosx—[XG0,'])的最大值是__________。

【答案】1

【解析】：/(x)=sin2x+VJcosx--^xe°卷］)，sin2x+cos2x=1,

:./(x)=-cos-+J5cosx+；,设/w［0』］,；./(x)=-r+V3r+^-,函数对称轴为/=岑e［0,l］,

，(x)g=L

3.已知函数/(x)=，5sin(2x+9+sin2x+a的最大值为1.

(1)求函数人x)的最小正周期与单调递增区间；

(2)若将人幻的图象向左平移袭个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(.r)在区间［。，上的最大值和最小

值.

【解析】(l)..\/U)=V5sin(2t+，)+sin2x+〃

=V3cosZr+sin2x+a=2sin(2x+§+〃W1,

2+n=1»即a=-1,

・••最小正周期为7=兀

•»f\x)=2sin^2A-+3)—］，

令2E—kWZ,得E—鸨WXWATC+春，kWZ.

工函数火x)的单调递增区间为E-相，履+令，kez.

(2)将7U)的图象向左平移器个单位长度，得到函数双X)的图象,

，娘)=/(%+3=25［叁+目+外-1=2sin(2x+到一1.

力电,引,二勿+专若,用,

/.当2xI争=争，即％=。时，sin(2v+，，=坐，g(x)取最大值、-1；

当〃+号=苓即尸招时，sin(2x+y)=-1,g(x)取最小值-3.

幺丁【变式解密】

1.已知函数以)=sirwx—coss(m>0)的最小正周期为兀

(1)求函数y=/U)图象的对称轴方程；

(2)讨论函数危)在［0,即上的单调性.

cos(ox='\j2sin^cox—,

【解析】⑴