圆的方程 快速基础能力提升 （学生版）

专题35圆的方程快速基础能力提升

【考点预测】

一、基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

二、基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

(1)圆的标准方程：(冗-a?+(y-份)=尸,圆心坐标为3力)，半径为r(/•>())

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为(_2,_旦］,半径

I22)

.sjD2+E2-4F

r一

2

(3)圆的直径式方程：若43,劣)必&,%)，则以线段AB为直径的圆的方程是

(x-x,)(x_乂)。'_)'2)=()

(4)圆的参数方程：

①/+)J=/(/>o)的参数方程为《x-rcos0(。为参数)；

y=rsin0

②(x-4)2+()，一b)2=/•2(r>0)的参数方程为1-"z»_1_>,C.CS(。为参数).

注：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a+rcosa〃+rsin夕)(0为参

数，(4加为圆心，，•为半径)，以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后

利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2、点与圆的位置关系判断

(1)点。(演),凡)与圆(X-fl)2+(y-b)1=r2的位置关系：

①(x-a)2+(y-b)2>r-<=>点P在圆外;

@(x-a)2+(y'-b)2=r2o点P在圆上；

③a-4)2+G，一份2<r2Q点p在圆内.

(2)点P(x°，孔)与圆工2+V+Dx++产=()的位置关系：

①x；+y；+DXQ+Ey0+F>。Q点P在圆外;

②x；+y；+Dx0+Ei，。+F=0o点P在圆上；

③£+y：+Dxn+坊+尸<0o点尸在圆内.

三、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

四、直线与圆的位置关系判断

1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心3㈤到直线+C=0的距离，则dJ"+刖9：

>JA2+B2

则4<ro直线与圆相交，交于两点P,。，IPQ|=2Vr2-d-：

d=直线与圆相切；

J>r<=>直.线与圆相离

2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转叱为方程根个数）

Ax+Bv+=0

由<、，"…2，消元得到一元二次方程〃/=。，〃/+/+，=。判别式为4,则:

（x-a）~+（y-b）-=r-

则A〉。0直线与圆相交；

△=0o直线与圆相切；

△<0=直线与圆相离.

五、两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆Q,。2的半径分别是R.r,（不妨设R>r）,且两圆的圆心距为d,则：

则“<R+厂o两圆相交；

d=R+r。两圆外切；

R—r<d<R+/'u>两圆出I离

d=R-ro两圆内切；

0<d<R-ro两圆内含（d=0时两圆为同心圆）

【典型例题】

例1.（2024.高二.安徽六安.期末）圆心在V轴上，半径为1,且过点（1,2）的圆的方程是（）

A.f+（）,-2）2=1B.x2+（y+2）2=l

C.（x-l）2+（y-3）2=lD.Y+（y_3）2=1

例2.（2024・高三•全国•专题练习）在平面直角坐标系xQy中，以。为圆心的圆与直线4-6,，-4=0相

切，则圆。的方程为（）

A.x2+y2=4B.x2+y2=3

C.x2+y2=2D.x2+y2=1

例3.(2024.高三•全国.专题练习)已知圆C:(x-6『+()，+8『=4,。为坐标原点，则以0c为直径的圆的

方程为()

A.(x-3)2+(y+4)2=100B.(x+3)2+(y-4)2=100

C.(x-3)2+(y+4)2=25D.(x+3)2+(y-4)2=25

例4.(2024.高二.四川成都.期末)圆。(工-1)2+()，-1)2=2关于直线/：产工-1对称后的方程为()

A.(X-21+)，2=2B.(X+2)2+3*2=2C.x2+(y-2)2=2

D.x2+(y+l)2=2

例5.(2024.广东•一模)过4T0),3(0,3),C(9,0)三点的圆与y轴交于M,N两点，则卿|=()

A.3B.4C.8D.6

例6.(2024•陕西西安•二模)设直线x+)-2=0与圆/+丁=4交于人I两点，则|人即=()

A.夜B.2>/2C.4D.4&

例7.(2024•河南•一模)已知圆M：(x-2)2+y2=[,则下列说法错误的是()

A.点(3,2)在圆外B.直线2x+)=4=0平分圆M

C.圆M的周长为2兀D.直线上+百)，=0与圆M相离

例8.(2024・高三•云南昆明•阶段练习)若点4(0,1)在圆O：f+y2_2x+4〃?y+2〃，_[=o外，则实数小的

B.(-2,0)

D.(YO,-2)50，Y0)

例9.(2024•高二・陕西西安•阶段练习)已知0。1：工2+9+21+8)，-8=0,OC2：/+)，2+4."4》-l=0,则

两圆的位置关系为()

A.相切B.外离C.内含D.相交

例10.(2024.高三.全国•专题练习)若方程/+)2—2«+3m+2(1—4/2))，+16i+9=0(/£R)表示圆，则实数/

的取值范围是()

A.{/|-!</<-}

B.{M-y<r<l}

C.{d-l<r<y}

D.{t\\<t<2]

例11.(2024・辽宁•二模)已知圆/+丁=4与圆/+),2-83+分+16=0关于直线/对称，则直线/的方程为

()

A.2x+y-3=0B.x-2y-8=0

C.2x-y-5=0D.x+2y=0

例12.(2024.北京朝阳•一模)已知直线x-Gy+6=0和圆f+尸=户(r>0)相交于A,B两点.若

同=6,贝ljr=()

A.2B.2y/3C.4D.372

例13.(2024•四川•模拟预测)若两条直线4：y=x+d4：y=x+b与圆f+y2—4工一2)，+相=0(m<5)的四个

交点能构成矩形，则。+〃=()

A.-1B.1C.2D.-2

例14.(2024•全国•模拟预测)若直线/和圆C的方程分别为y=x+m,a-l)2+(y-2)2=5-m,则

"3<加<5”是“直线/和圆C没有公共点”的()

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条，'牛

例15.(2024•广东韶关•二模)过点网-2,3)作斜率为—2的直线，若光线沿该直线传播经x轴反射后与圆

C:(x—3)2+(3，—2)2=/(/*>0)相切，则/•=()

A.72B.6C.2D.y/5

例16.(2024•新疆・二模)从直线x-y+2=0上的点向圆/+),2-4工-4)，+7=0引切线，则切线长的最小

值为()

A.—B.1C.—D.在一1

242

例17.（2024.高三.河南•阶段练习）已知直线），=履+1与圆/+尸=4相交于两点，若|脑7|二日，

则M=（）

A.gB.IC.72D.2

例18.（2024.广东广州.二模）若直线…力力与圆。:炉+），2=］相切，则圆。一。）2+（）,_加2=!与圆。

4

（）

A.外切B.相交C.内切D.没有公共点

例19.（2024.高三•山东青岛•期末）圆O:/+y2-4=0与圆c：/2+y2-4x+4y-12=0相交于A、B两点,

则$△皿=（）

A.2B.2\/2C.3拒D.6

例20.（2024.高三.全国•专题练习）过点P（3,l）作曲线。：/+）,2-2户。的两条切线，切点分别为AB,则

直线A8的方程为（）

A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0

例21.（2024.山西.模拟预测）写出一个过点（3,4）旦与圆4.r+3=0相切的直线方程.

例22.（2024・高三•北京顺义•阶段练习）已知直线丁=履+，〃（机为常数）与圆f+/=2交于点M,N,当

k变化时，若|加凶的最小值为2,则〃?=.

例23.（2024•天津•一模）已知圆G：/+/=4与圆。2：/+V-8x+6y+〃?=0外切，此时直线

/:K+），+1=。被圆G所截的弦长为.

【过关测试】

一、单选题

1.（2024♦云南昆明•模拟预测）已知应是圆C:f+（y_l）2=i的切线，点A为切点，若|/训=2,则点P的

轨迹方程是（）

A.（x-1）2+>,2=5B.x2+（y-l）2=5C.y2=2xD.A;2=2y

2.（2024・辽宁大连•一模）过点（一/）和（1,3）,且圆心在x轴上的圆的方程为（）

A.x2+y2=4B.(X-2)2+/=8

22

C.（A-l）+y=5D.（X-2）2+/=1O

3.（2024.浙江.一模）圆+）,：-2x+4y=（）的圆心C坐标和半径广分别为（）

A.C（l,-2）,r=>/5B.C（l,-2）,r=5

C.C（-l,2）,r=>/5D.C（-l,2）,r=5

4.（2024•高二・河北沧州•期末）已知点A为直线2x+y-10=0上任意一点，。为坐标原点.则以。4为直

径的圆除过定点（0,0）外还过定点（）

A.（10,0）B.（0,10）C.（2,4）D.（4,2）

5.（2024.高二.全国•课时练习）点尸（5,⑼与圆./+），2=24的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不确定

6.（2024•高三•北京西城•开学考试）已知圆f+y2=/+4经过点（〃一2㈤，且点以纳）到点。（1,0）的距离

为3,则（）

A.a=-4B.a=2C.b=2&D.b=4

7.（2024.四川南充•二模）已知圆C:V+2x+y2_i=o,直线/:%+〃（丁-1）=0与圆C（）

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

8.（2024.高三.重庆九龙坡•阶段练习）若直线工-）-〃?=0。〃>0）与圆*-1）2+（），-1）2=3相交所得的弦长

为阳,则，〃=（）

A.IB.2C.3D.4

9.（2024・辽宁•模拟预测）已知圆G：/+）?=16与圆。2：x2+/+红+）+旭一历二。交于A,B两点,当

k变化时，|A3|的最小值为4/，则机=（）

A.0B.±1C.±2D.±百

10.（2024.高三.重庆.阶段练习）已知圆2）2=2,直线/：）=履-1与圆。相离，点M是直

线/上的动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A,B,若四边形AC8W的面积最小值为26，则

（）

A.k=-\B.k=-2

C.攵=一1或k=』D.4=-2或4=-

72

11.（2024・高三•河南周I」•开学考试）过圆。:/+丁=4外一点P（3,4）作圆。的切线，切点分别为A,B,

则网=（）

A4x/21R2V2Tr4>/5八275

5555

12.（2024・云南昆明.一模）过点P（—2,0）作圆C：/+）,2_4工_4=0的两条切线，切点分别为A,。，则

四边形P4C8的面积为（）

A.4B.4拒C.8D,8&

13.（2024・高二•全国・专题练习）已知圆G"2+y2+2x+83，-8=。和圆G：（x—5『+（＞'-4『=25,则圆C1

与圆C?的公切线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

14.（2024•高三・山东枣庄•期末）已知圆G：*+l）2+（y+l）2=l,圆。2：/+丁2-4x-4.），—1=0,则两圆的

公切线条数为（）

A.1B.2C.3D.4

15.（2024.高三.河北衡水.阶段练习）圆G：（x-3）2+y2=9与圆G：f+），2+8尸0的公切线条数为（）

A.IB.2C.3D.4

16.（2024.高三.江苏苏州•期中）圆产+丁―6x+4y+l2=0与圆f+）,2一］44—2），+14=0的公切线的条数是

（）.

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

17.（2024.广东韶关•一模）已知圆"：/+〉，2一6工-8），=0,点/＞（2,2）,下列命题正确的是（）

A.圆M的圆心为（3,4）

B.过点P的直线可能与圆M相切

C.圆M上的点到点P距离的最大值为5+石

D.若以。为圆心的圆和圆M内切，则圆尸的半径为5-石

18.（2024.高三.湖南邵阳•阶段练习）已知圆。:/+/-2工=0,则下列命题正确的是（）

A.圆C的圆心是（0.1）B.点（1,0）在圆。内

C.圆C的最大弦长为2D.过原点可以作圆C的两条切线

19.（2024.辽宁葫芦岛•二模）过四点（（）,（））,（4,0）,（-11）,（4,2）中的三点的圆的方程为（）

A.（x-2）2+（y-l）2=5B.（A-2）2+（y-3）2=13

C.&-$2+（）,一12=22D.U-1）2+（y-l）2=1

20.（2024•云南红河•二模）若圆。：/+/+2人-3=0与圆U：/+y2-2y-1=（）交于A8两点，则下列选

项中正确的是（）

A.点（L-1）在圆。2内

B.直线A8的方程为1+y一】=0

C.圆的点到直线AB距离的最大值为2+夜

D.圆上存在两点P,。，使得|尸@＞|阳

21.（2024•河北沧州•模拟预测）已知圆G：f+/-2x-2y-2=0,圆G：/+V-8x-10y+32=0,则下

列选项正确的是（）

A.直线CG的方程为4.L3y-l=0

B.圆G和圆G共有4条公切线

C.若P,Q分别是圆C1和圆C?上的动点，则|P0的最大值为10

D.经过点。，g的所有圆中面积最小的圆的面积为f25几

22.（2024.高二•湖南郴州•期末）已知|员|。”2+），2一44一2），-13=0,则下列命题正确的是（）

A.圆心坐标为（2,1）

B.直线/：x+）-1=0与圆。相交所得的弦长为8

C.圆C与圆。：/+丁=8有三条公切线.

D.圆C上恰有三个点到直线y=x+〃的距离为正,则6=3或-5

23.（2024•黑龙江齐齐哈尔•一模）已知圆。1：（.L3）2+/=1,&：/+（、,-4）2=16,则下列结论正确的有

（）

A.若圆&和圆。2外离,则。＞4

B.若圆G和圆C2外切，则即土^

c.当4=0时，圆G和圆G有且仅有一条公切线

D.当。二一2时，圆G和圆G相交

三、填空题

24.（2024.高三•河北.阶段练习）已知圆C满足以下两个条件：①圆C的半径为右；②直线/：x-y+3=0

被圆C所截得的弦长为2.写出一个符合以上条件的圆C的标准方程为.

25.（2024.高三•浙江湖州•期末）已知圆C的圆心在直线产工+1上且与＞轴相切，请写出一个同时满足上

述条件的圆的标准方程：.

26.（2024.高三.全国•专题练习）圆心在直线2."），-7=。上的圆E与），轴交于A（0,-4）,8（0,-2）两点，则

圆E的方程为.

27.（2024.全国.模拟预测）若过点（H）的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为.

28.（2024.高三.海南省直辖县级单位.阶段练习）写出一个圆心在x轴上，且与直线y=相切的圆的标

3

准方程：.

29.（2024・广西•模拟预测）已知圆M：/+）,2+6工+8、,=0关于直线x—y+i=。对称的圆为.

30.（2024.高三・江苏扬州•阶段练习）已知圆C经过点（4,0）,（3,1）,且圆心在工轴匕则圆。的标准方程

为.

31.（2024•广东佛山•二模）在平面直角坐标系中，已知4（1,2）,8（3,2）,。（3,0）,则一A8C的外接圆的标

准方程为.

32.（2024・高二•河北保定•期中）已知圆M经过点A（-2,0）,8（0,4）,C（0,0）,则圆M的标准方程

为.

33.（2024.全国.模拟预测）函数/（x）=Y-5x+4的图像与坐标轴交于点A,B,C,则过A,B,C三点的圆

的方程为.

34.（2024.陕西安康.模拟预测）已知抛物线），=寸+2%-3的顶点为P,与坐标轴交于A8,C三点，则过四

点九反C,夕中的三点的一个圆的标准方程为.

35.（2024.高三•河南周口•阶段练习）已知圆C：f+y2-4x-2y=m+l不经过第三象限,则实数机的最大

值为.

36.（2024.高三.河南南阳.期末）若点（0,1）在圆/+）,2+2办+〃=（）的外部，则实数。的取值范围

为.

37.（2024•高二•江苏•期末）已知X4C的顶点是A（5,l）,见7,-3）,C（l,-1）,则一A8C的外接圆的方程

是.

38.（2024.高二.上海徐汇•期中）对任意实数〃?，圆f+V-3k6叱9〃-2=0恒过定点,则定点坐标

为一

39.（2024•高三•北京海淀•阶段练习）已知直线/：如+切-3=0经过点（岫-2）,则原点到点尸3力）的距离

可以是.（答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以）

40.（2024•高三.江苏南通・期中）已知直线工-〃少+2=0与OO：/+）,2=4交于人，“两点，写出满足“三

角形A3。面积为2”的〃?的一个值______.

41.（2024•高三•四川绵阳•阶段练习）已知点在圆O:f+y2=4外，则直线方+勿,=4与圆。的位

置关系是.

42.（2024・山东