二次根式的加法与减法（知识解读+例题讲义+随堂检测）原卷版-2024人教版八年级数学下册

第03讲二次根式的加法与减法

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部导航1考点清单

考点1：同类二次根式识别

考点2：加减运算法则应用

考点3：含字母的加减化简

考点4：加减与乘除混合运算

用）导航2重难点

重点：

（1）最简二次根式化简：这是加减运算的前提，步骤为"去分母O分解因数好开方移出”。

（2）同类二次根式合并：核心是"只变系数，根式不变”，非同类根式不能合并。

难点：

（1）同类二次根式的判断误区：易直接对比未化简的根式，需牢记“先化简，再看被开方数”。

（2）含字母的根式加减：化简后结合绝对值判断字母符号，再合并。

（3）混合运算的顺序混乱：易忽略“先乘除后加减“，或去括号时漏变号

为知识梳理.十7t

知识点1：同类二次根式

1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并

的依据式乘法分配律，如vaja+nja=（/〃+n）4a（a20）

哲题型精讲

【题型1同类二次根式】

【典例1】下列各式中，与y是同类二次根式的是（）

A.V75B.y/25C.V0.5D.5>/5

【变式1】下列二次根式中，能与旧合并的是（）

A.V6B.V9C.<12D.V18

【变式2】若最简二次根式式二1^与内能合并，则a的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3】已知最简二次根式标=1与介可以进行加减运算，则〃?的值为（）

A.2B.3C.6D.8

知识梳理.十年

知识点2：二次根式的加减

1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进

行合并。

2.二次根式加减运算的步骤：

①化：将各个二次根式化成最简二次根式；

②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；

③合：合并被开方数相同的二次根式一一将“系数”相加作为和的系数，根指数与被开

方数保持不变。

题型精讲

【题型2二次根式的加减运算】

【典例2】计算下列各式:

（1）^-（2V75-V27）：

【变式1】计算：g—闻+66.

【变式2】（2025•浙江台州•二模）计算：（江一5）。+%-卜危

【变式3】（24-25八年级下•全国•课后作业）计算:

(l)3>/6-1V6(2)x/48+3^12

(3)>/27-6M+V75(4)V24+V0^-

知识梳理

知识点3：二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有

括号的先算括号里面的（或先去掉括号）

3题型精讲

【题型3二次根式的混合运算】

【典例3】计算

(1)V12+V48-V27；(2)(73-2)2+V12-V3；

【变式1】计算:

2

⑴旧―3g+V55；(2)(2+75)(2-V5)-(V3-2)；

【变式2】计算:

2

⑴2m-6：+闻;(2)V18xJ-(V3-1).

【变式3】计算：

(1)V3xV6-V8：(2)2712x--3V2-

4

【题型4分母有理化】

【典例4】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如专，高一样的式子，其实我们还可

以将其进一步化简：==

*/3V3XV33

2_2x(K-l)_2X(—-1)=_1

6+1-(>/3+l)(V3-l)-(V3)2-l2一•

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.请用分母自理化解答卜.列问题：

⑴化简:嬴;

(2)化简：磊+晟+康+…

【变式1】观察下列等式:

第1个等式：=x^2-1；

第2个等式：a2=-^==V3-V2；

第3个等式：a3==2—V3；

(1)第九个等式：an=.

(2)根据以上规律，计算%++。3+……+Qu的值.

【变式2】阅读下列运算过程，并完成各小题：

%=号二条。=4祟二等.数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分

v3V3XV33v5V5Xv55

母有理化〃.如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分

母有理化，如：

I_-_邑__、万_1.

a+嫄一(e+a)x(鱼-河一2-1一V"

]____招_夜______冉一6—/□―/?

yf2+V3~(、々+、5)x(6一闻一3-2-；

模仿上例完成卜列各小题：

⑴A

+后二

⑶请根据你得到的规律计算：合+—1+—

vl+v2«2+«3V3+V4+…+质+有

【变式3】阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该

分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母.

例：①A燃啰

1_1x（75+©_>/3+>/2_V3+V2_5।后

0齐磁_（6-⑨x（6+丁）-（、⑸2_（旬2-37J十"

⑴分母有理化：段；

⑵观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：悬疗

⑶请尝试对下列式子进行分母有理化：总^

【题型5已知字母的值，化简求值】

【典例5】先化简，再求值：（%+2）（%-2）+3（1-％）,其中x=&.

【变式1】先化简，再求值：（。一号二）+鉴，其中。=遮一L

【变式2］已知x=2+百，y=2-V3,求下列各式的值:

⑴为2+2xy+y2

(2)x2-y2.

【变式3】先化简，再求值：a+Vl-2a+a2,其中Q=1007.

如图是小亮和小芳的解答过程.

解：原式=〃+J(l-a]

=a-\-a-1

=2013

⑴的解答过程是错误的；

(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：

⑶先化简，再求值：zn+2Vm2-6m+9,其中m=-2021.

【题型6已知条件式，化简求值】

【典例6］已知％+y=2遮,％-y=4.求】下列各式的值:

(l)x2+2xy+y2；

(2)x2-y2.

【变式1］已知X=2-6，y=2+6，求代数式/+盯+y2的值.

【变式2】已知X=b+Ly=V3-l,求下列各式的值:

(l)x24-2xy4-y2

⑵汨

【变式3】已知a="I+4,力="1一4,求下列代数式的值.

(l)a2-b2；

(2)a2+b2+ab.

【题型7比较二次根式的大小】

【典例7】比较大小：3丘2百.（选填">或"="）

【变式1】比较大小：5V33V5（填“<〃"=”">”）

【变式2】比较大小旧-45同一娘.

【变式3】若。=/+百，b=1+V6,c=V5,则关于a,b,c的大小，以下说法正确的

是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

【题型8二次根式的应用】

【典例8】如图，长方形空地A8CD的长BC为同m,宽4B为遮m,现准备在空地中划出长

FG为（百+l）m,宽EF为（囱-l）m的小长方形EPGH（图中阴影部分）作为花卉实验

田.

⑴求长方形空地48CD的周长（结果化为最简）；

⑵求长方形花卉实验田£72月的面积（结果化为最简）.

【变式1】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上板出两个面积分别为18dm2和32dm2

的正方形木板.

32dm2

18dm2

⑴求原矩形木板的面枳;

⑵求剩余木料的周长.

【变式2】古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古

希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长

分别为。、〃、c,记「二”等，则三角形的面积为s=Jp(p-a)(p-b)(p-c),因此

后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下ANBC

的面积为.

C

【变式3】如图，将一个长为(20+2&)cm,宽为(20-2夜)cm的长方形纸片的四个角都

剪去一个边长为四cm的正方形，求纸片剩余部分的面积.

【题型9复合二次根式的化简】

【典例9】观察下列等式：

，3+2或=J(7I+V2)2=14-V2；

J5+2乃=J(或+可=V2+V3；

根据以上的等式回答问题:

⑴填空：,13+2屈=

(2)化简J10-4瓜,并写出化简过程.

【变式1】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式,

如：3+2V2=(l+s/2)2,善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：3+

2&+2x1x+(V2)2=(1+V2)2,则仆+2&=14-V2

请你仿照小明的方法解决下列问题：

若J16—=aV3—b则a=,b=.

【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答.

形如Jm±2孤的式子,可以利用完全平方公式进行化简，例如，3+2&=

J(鱼/+2V2+1=J(&+=企+1：

(1)填空J10+4A后=；

(2)化简J29—8g,并写出化简过程.

【变式3】观察、思考、作解答：

22

(V2-1)=(V2)-2xV2xl+l2=2-272+1=3-2\/2,

反过来,3-2V2=2-2V2+l=(V2-1)\

3-2V2=(V2-I)2,V3-2V2=V2-1.

(1)仿照上述过程，化简；&2倔

(2)若+2VH=Va+直接写出m,71与a,b之间的关系.

M随堂检测

1.下列二次根式中能与迎合并的是（）

A.V8B.V4C.同D.J

2.计算：(&+1)(应一1)=()

A.1B.2C.-1D.3

3.下列计算正确的是()

A.V3+x^2=V5B.3V2-2V2=V2

C.V3-V2=1D.V3+V5=yjb

4.如图，矩形”CD中，相邻两个正方形"GH和MNCD的面积分别为2和4,则图中阴影

部分的面积是（）

A.2B.4-2V2C.2^2-2D.2或

5.2025年5月4F1,第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕.本次峰会讨论了多种数据

加密方式，若以下运算为数据加密方式：a®b=Va2+b2-（y/a+x/F）（Va-Vb）,

那么4㊉3的值为（）

A.1B.4C.-2D.9

6.学习小组设计了一个“接力游戏〃，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师

把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计

算.规则是每人只能看到前一人传过来的