新高考数学解答题核心考点预测：解析几何通解研究（原卷版）

第12讲解析几何通解研究

高考预测一：向量搭桥进行翻译

类型一：以夹角为锐角、直角、钝角为背景的向量翻译

1.已知产为抛物线。：），2=2/»（〃>0）的焦点，过点尸的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点.

（I）当抛物线C过点加（1,-2）时，求抛物线C的方程；

（］【）证明：加是定值.

2.已知椭圆。:丁+2/=36.

（1）求椭圆C的短轴长和离心率；

（2）过点（2,0）的直线，与椭圆C相交于两点M，N,设的中点为7,点2（4,0）,判断17Pl与|力"|的

大小，并证明你的结论.

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3.如图，椭圆=+与=1（々>力〉0）的一个焦点是F（l,0）,O为坐标原点.

a'b~

（I）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（】1）设过点尸的直线/交椭圆于A、B两点.若直线/绕点尸任意转动，值有|OA『+|O例求。

的取值范围.

1

4.已知椭圆£^+4=1（。>5>0）过点尸（夜』），匕、E为其左、右焦点，且△P/祀的面积等于0.

a'b~

（1）求椭圆石的方程；

（2）若M、N是直线工=-2上的两个动点，满足GM_LF,N,问以MN为直径的圆C是否恒过定点？

若是，请给予证明；若不是，请说明理由.

5.已知椭圆E：E+g=13">0）过点（0,0）,且离心率为卫.

a~b-2

（I）求椭圆石的方程；

（2）过（-1,0）的直线/交椭圆ffA,8两点，判断点G（-2,o）与以线段.为直径的圆的位置关系，并

4

说明理由.

6.已知抛物线C:），=g/,过点（0,2）的直线/交C与A、B两点,圆M是以线段为直径的圆.

（I）证明：坐标原点O在圆仞上；

（II）设圆M过点P（2,4）,求直线/与圆M的方程.

2

类型二：以共线为背景的向量翻译

0。

7.已知匕、入分别是椭I员Ik+广=1（〃＞0乃＞0）的左、右焦点，其左准线与上轴相交于点N,并且满足,

/b2

«E=2N/<J耳£1=2.

（1）求此椭圆的方程；

⑵设A、5是这个椭圆上的两点，并且满足江当姓将时，求直线AB的斜率的取值范围.

8.已知"，尸2分别为椭圆£+上=1的左、右焦点，直线《过点”且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于

JJ

直线4,垂足为。，线段。工的垂直平分线交右于点

（[）求动点M的轨迹C的方程；

（】【）过点左作直线交曲线。于两个不同的点P和。，设严=/1蔗，若/lef2,3],求期•工C的取值

范围.

高考预测二：以弦长、面积为背景的条件翻译

9.已知点A（0,-2）,椭圆后:£+《=13＞人＞0）的长轴长是短相长的2倍，尸是椭圆E的右焦点，直线AF

a-b

的斜率为速，O为坐标原点.

3

（1）求椭圆上的方程；

（2）设过点40,-2）的动直线/与椭圆石相交于尸，。两点.当AOPQ的面积最大时，求直线/的方程.

3

10.己知椭圆£:「+与=1的焦点在X轴上，椭圆E的左顶点为A,斜率为M>0）的直线交椭圆石于4、

a~b~

8两点，点C在椭圆石上，AB1AC,直线AC交y轴于点D

（I）当点8为椭圆的上顶点，A48D的面积为2ab时，求椭圆的离心率；

（H）当〃=G，21A3|=|AC|时，求Z的取值范围.

11.如图，已知点P是y轴左侧（不含），轴）一点，抛物线C：V=4x上存在不同的两点A,B,满足R4,

PB的中点均在抛物线C上

（1）求抛物线C的焦点到准线的距离：

（2）设中点为M,且尸（小，）7）,M（xw,%）,证明：yp=yM；

（3）若尸是曲线产+工=1。<0）上的动点，求A7%8面积的最小值.

高考预测三：斜率为背景的条件翻译

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12.设椭圆C:5+y2=l的右焦点为尸，过”的直线/与C交于A,4两点，点例的坐标为（2,0）.

（1）当/与x轴垂直时，求直线AM的方程;

⑵设。为坐标原点，直线/不与1轴重合，求篇的优

13.设椭圆C:5+炉=1的右焦点为F,过F的直线I与椭圆C交于A,〃两点，已知点M的坐标为（2,0）.

（【）当/与x轴垂直时，求点A、4的坐标及|A8|的值：

（H）设O为坐标原点，证明：NOMA=/OMB.

14.在直角坐标系xOv中，抛物线C:），==与直线/:y=履+4交于M、N两点.

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（1）当女=0时，分别求抛物线C在点M和N处的切线方程；

（2）），轴上是否存在点户，使得当&变动时，总有NQ必/=NQ/W?说明理由.

15.已知曲线C上动点M与定点F（JI（））的距离和它到定直线（h=-2及的距禽的比是常数母，若过

P（（）,l）的动直线/与曲线C相交于A,B两点、

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（1）说明曲线C的形状，并写出其标准方程;

（2）是否存在与点尸不同的定点Q,使得制=黑恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请

说明理由

高考预测四：选用合适的方程形式或面积公式实现简化计算

16.（1）直线/过抛物线），2=2pMp>0）的焦点，且与抛物线相交于A（再，y）,B（X2,为）两点，证明：

（2）直线/过抛物线y2=2px（p>0）的焦点，且与抛物线相交于4$,x）,R（X2,为）两点，点。在抛物

线的准线上，且8CV/X轴，证明：直线AC经过原点.

17.设椭圆T：I+==15>〃>0）,直线/过椭圆左焦点耳且不与x轴重合，/椭圆交于Q、。，左准线与

a~b~

4

x轴交于K,|附|=2.当/与x轴垂直时，|。。|=耳.

（1）求椭圆7的方程；

（2）直线/绕着耳旋转，与圆0:丁+），2=5交于A,笈两点，若求△尸的面积S的取

值范围（居为椭圆的右焦点）.

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高考预测五：利用计算的对称性避免重复计算

18.已知动点例到定点（1.0）的距离比例到定直线工=-2的距离小1.

（1）求证：M点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；

（2）大家知道，过圆上任意一点?，任意作互相垂直的弦小、PB,则弦4?必过圆心（定点）.受此启

发，研究下面问题：

①过（1）中的抛物线的顶点。任意作互相垂直的弦。4、OB,问：弦AA是否经过一个定点？若经过，请

求出定点坐标，否则说明理由；

②研究：对于抛物线V=2px（〃>0）上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一-般的结论，并证

明.

19.设椭圆C：W+《=13>〃>0）,其离心率为更，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周

crlr2

长为4+26.

（I）求椭圆。的方程；

（II）设曲线C的上、下顶点分别为A、/,点〃在曲线C上，且异于点A、/，直线AP,叱与直线l:y=-2

分别交于点M,N.

（1）设直线AP,研的斜率分别为4，Q求证：勺刈为定值；

（2）求线段MN长的最小值.

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高考预测六：设