山东省泰安市2026届高三年级上册期末考试数学试题（附答案解析）

山东省泰安市2026届高三上学期期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数Z满足2(8560。+1n1160。”=1+3为虚数单位，则2在复平面内对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.“一一2工一3<0”的一个充分条件是()

A.x>-lB.l<x<3C.0<x<3D.x<3

3.已知实数〃且。、瓦。。0,贝lj()

,ba〜

A.a+b>cB.-i—>2C.2a>b-\-cD.—

abbh

4.终边落在下图阴影区域(含边界)的角的集合为()

4TI

C.2kn<a<2ku+——,keZ-D.a--—+2kli<a<2kit、keZ,

5.已知等比数列｛%｝满足以+J=2㈤，且%+%+%:3,则(+为+《=()

33

A.24B.-24或24C.-24D.一一或三

88

6.已知向量方=(cosasin。),很=(1,6),若1与B的夹角不超过不则|万-5|的范围是()

r「16]「13一

A.[1,VJ]B.—C.[1,3]D.—

7.已知点Q是椭圆片+占=1上的一个动点，力(2,2),8(0,-2),则|P/|+|P8|的最大值为

95

()

试卷第1页，共4页

A.4B.2x/5C.x/29+1D.8

（3、

8.已知函数/（.丫）=（。.丫-与（3111."6）,凡6£1<,若/（xRO恒成立，则。1+-的取值范围

A.(-oo,3]B.(0,3)C.3+8)D.(f0)

二、多选题

9.若（3-2》）6=%+〃俨+-+生/，则下列选项正确的是（）

A.展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项

B.q+%+%+&+%+4=-728

C.q+2。，+3生^---F6〃6=-12

D.当x=5时，（3-2x）6除以8的余数为1

10.已知函数/（x）=〃sin函+/）cos5（。>0,/>0）的最小正周期为71,且/（力”专）=2

恒成立，则下列选项正确的是（）

A.b=6B./（x）的图象关于点（J,o］对称

o）

上单调递减D.若vx，<兀=则

11.已知定义在R上的函数/（幻满足/（/（》））=x,且/*-1）为奇函数，则下列选项正确

的是（）

A./（X）的图象关于直线y=x对称B./（0）+/（-1）=-2

C./(一x)+/(x)=-2D./⑴+/(2)+…+/(40)=-860

三、填空题

12.已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线。过点（L2）,则C的准线方程为.

13.某芯片研发部门共有8名核心工程师，其中3人精通AI算法，另外5人精通硬件架构,

现需分为两个小组进行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有I名AI算法工

程师，②指定一名组长，组长由硬件架构工程师担任.则有种不同的分组方法（用

试卷第2页，共4页

数字作答).

14.已知在四棱锥。-44c。中，4_1_底面力8。。，且

AB1AD,AD//BC,PA=AB=AD=^BC=\t动点上在侧面PCQ内以点夕为圆心，I为半径

的圆弧上，动点厂在直线依上，则E/的最小值为.

四、解答题

15.已知在&43c中,内角4氏C所对的边分别为且

AsinA+—I=asinAcosC+csinJcosA.

I3j

⑴求力；

⑵若出.48。的周长为2(相+指)，面积为百，求

16.如图，在三榜锥尸一。中，1平面P8C,/ACR=45°,平面P4C_L平面力5C,

(1)求证：尸C_L平面力8C：

(2)若力8=2,C到平面的距离为百，求直线”与平面产力8所成角的正弦值.

17.已知数列｛凡｝的前〃项和为\,5„+S,川=3/+2〃+1,E=1.

⑴求数列应｝的通项公式；

…1115

(2)证明：-+—+-+V<7-

dld2，J

18.已知函数f[x｝=-x2+ax-2b、g(x)=3Inx-■x?+6,0,beR.

26

⑴若N=/(x)-e'在x=l处的切线方程为y=(2-e)x-1,求a,力的值：

(2)当a=-4时，内£(0,6],总存在工£[1,4],使得g(&)</(%)成立，求力的取值范围;

(3)当a=T时，〃(x)=/a)+g(x)+'/有三个不同零点，求力的取值范围.

试卷第3页，共4页

19.已知椭圆「+《=1("＞力＞0)的左，右焦点分别为片(-GO),鸟©()),长轴长是焦距的

cTb一

2倍，短轴长为2百.

⑴求椭圆的标准方程：

⑵若4(%乂)](工2，%)是椭圆上的两个不同的动点，直线的斜率分别为

(i)求坐标原点O到直线力8的距离d的取值范围：

(ii)设46的中点为。，点E满足百砺=e+砺，过。作。匕Lx轴，过七作轴,

直线。式与直线后区交于点(总/)，以。＜。8'为邻边作°O/N8'，求线

段长度的取值范闱.

试卷第4页，共4页

《山东省泰安市2026届高三上学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCCCBADBBCDACD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由此求出对应点所在象限.

【详解】因为2(cos60。+isin60。)z=1+i,

所以(l+V5i)z=l+i,可得

=1+i_(l+i)(ii)_l+V3+(l-73)ijS

〜-1+©―0+6i)(l-网-4~~厂,4J

所以z在复平面内对应的点在第四象限.

故选：D

2.C

【分析】先解不等式/一2.”3<0得到2.”3<0”的充要条件，再根据充分条件的概念

进行判断.

【详解】由x2-2x-3<0n(x+l)(x-3)v。=>-l<x<3.

所以“-1<人<3”是“-2.r-3<()”的充要条件.

所以AD是“/一2X-3<0”的必要条件，

B既不是“42-2x-3<0”的必要条件,也不是“工2-2彳-3<0”的充分条件,

只有C是“丁-2'-3<0”的充分条件.

故选：C

3.C

【分析】根据条件，通过取特殊值，即可判断A、B和D的正误，对C,根据条件，利用不

等式的性质，即可求解.

【详解】对于A,取”=-21=-3,c=-4,显然满足4>人>。且aAcwO,

但a+b=-5<c=-4,所以A错误，

对于B,取。=2乃=-3,显然满足。>6且。力工0,但2+g=—1„苫<0,所以B错误，

ab23

对于C,因为。则”>〃，a>c,所以2o>〃+c,故C正确，

答案第1页，共16页

对于D,a=2,b=\,c=-3,显然满足a且。也。工0,但丁+工=2—3=—1<0,所以D

bb

错误，

故选：C.

4.C

【分析】先求出终边落在“边上的角为弓，结合图象，即可得答案.

【详解】因为

所以终边落在o尸边上的角为g,

所以终边落在下图阴影区域(含边界)的角的集合为<a2履WaW2k7r+与

故选：C.

5.B

【分析】利用|。用|二2,』求出公比4的值，再分类讨论即可求解.

【详解】设等比数列｛〃“｝的公比为9,

「寓+1|=2同，*,闻=2㈤,.・.|4=2,.“=±2,

3

当q=2时，a4+a5+a6=+a2q-+a3g'=(q+,+%)0'=3x2=24；

3

当q=-2时，a4+a5+a6=4-a2q+%/=(a)+a2+%)/=3x(-2)，=-24.

.,.%+4+%的值为24或-24.

故选：B.

6.A

【分析】由题意确定再通过6F求其范围，即可求解.

【详解】由题意设川1,6),得丽=心且N8Ox=1,

因为同T，在单位圆上取5=7，

答案第2页，共16页

因为。与6的夹角不超过，

所以0“咛,

所以

|]_5『二)2+/)2_2小方=1+4—geos/2赤in。45—4

12-eos出

又owes”,所以?4夕+?4号，

3666

所以2W4sin(0+24,

所以14|,-5”3,

故|1-3|的范围是[1,6],

故选：A

7.D

【分析】注意到8是椭圆的下焦点,则上焦点为尸(0,2),^\PA\+\PB\=2a+\PA\-\PF\t而

|力|-|尸日的最大值为»尸1，由此求得|?力|+俨邳的最大值.

【详解】由椭圆方程1+：=1可知，。=3力=旧《=2,

故8为椭圆的卜焦点，则椭圆的上焦点为b(0,2),如图，

答案第3页，共16页

根据椭圆的定义,^\P^\PB\=\P^+2a-\PF\=2a+\PA\-\PF\t

根据三角形两边的差小于第三边可知14Hp日引41,

故伊4+归用的最大值为22+|力用=6+7（2-0）2+（2-2）：=8.

故选：D

8.B

【分析】先分析/"）恒成立的条件，再确定参数符号，化简目标式，利用导数法求值域.

【详解】要使（火-6）（3麻一8）20wx>0恒成立，两因式需同号且零点重合.

因式零点：ax—b=0=>x=g（4W。）；31nx-6=0=x=/，所以”①.

y=31nx-b在（0,+。）单调递增，要使两因式同号，.”力需单调递增，得a>0.

由a>0及2=”>0可知b>0,令，=§，则6=3f,且1>0,由①得'=e'=a=号.

a3ac

则目标式：/1+祚乎1+：［=维*

kb）ek3t）e

设咐=萼11«>0）,求导得“（/）=m<0,所以W）在（0,+8）上单调递减.

ee

由单调性知：/->（T时，他）->3；/->+/时，/巾）->0.因此力（，）«0,3）.

综上，。（1+三］的取值范围为（0,3）.

故选：B.

9.BCD

【分析】对于A直接用二项式系数的性质判断；对于B用赋值法可得；对C可对二项式两

边求导，然后再赋值可得；对于D则将76=（8-1）6按二项式展开式进行判断可得.

【详解】对于A：由二项式展开式中的二项式系数为C；j=0,l,…,6,所以尸=3时二项式系

数最大，即第4项的二项式系数最大，故A不正确；

答案第4页，共16页

对于B：令x=0,可得々=36.再令x=l,得恁+q+/+/+。4+0s+4=»-2xl)6=1,

所以％+%+。3+。4+0s+“6=1—36=—728,所以B正确;

对于C：对(3-24=/+咐+…两边求导，得

>25

6(3-2x)(-2)=q+2ojX+3a.x-1••-46a6xt

再令x=l，得q+2a2+3/+…+6/=6xlx(-2)=-12,所以C正确;

对于D：当x=5时，(3-2x)6=(3-2x5)6=(-7)6=76=(8-l)6,

而(8—1)6=C；86+C：81—1)+C；84(—1)2+..+C8(T)S+C(—1)'

=©8'+C⑻(—1)+C：8»1尸+.•十C：(—1力-8+1,即76除以8的余数为1,所以D正确.

故选：BCD.

10.ACD

【分析】先利用辅助角公式把/(x)化为标准形式，利用最小正周期公式求出结合

号)=2恒成立求出。力，再根据正弦函数的性质逐一分析判定选项.

/'(X)”

11/J

b1

(tan*=一,

.../(%)最小正周期为7=兀，...0=竽=2,

11兀

+b~=2»2•五+Q=]+2而故9=5,

tan8=2=6,即b=Ga,

>la2+h2=2

b=Ca=>("")，

«>02

/(x)=sin2x+yficos2x=2sinfzv+yj,

选项A：b=也,故A正确;

选项B：•.•正弦函数的对称中心满足/(与)=0,

答案第5页，共16页

/f-1=2sinf21=2sin—=2x—=Cw(,

⑷I63；32

・•・/(x)的图象不关于点牛。卜寸称，故B错误；

选项C：•••sin。的单调递减区间为1+2E,g+2〃7T,ksZ,

：.—+2kn<2x+—<—+Ikn,解得—kn<xkn,

2321212

当k=0时，/(”的递减区间为强患，

.・任工—

[3,2>1112T2r

・••/(力在径，外上单调递减，故©正确；

选项D：♦.•/&)=-/伍)，

••2电+步2疝3+3,即2吟邛三+#2"①或

2』+—=7t+2r,+—+2kit②,

式①化简得X+x?=E,又T5<%<工v兀，

.•.西+工2€(兀,2兀)，取左=2,则%+占=2兀一■:

式②化简得演-x,=1+",与々<再〈x,〈花矛盾，舍去，

.•.X]+》,=¥，故D正确.

-3

故选：ACD.

11.ACD

【分析】对于A项,可证明点(吃,%)，仇外)同时满足尸/(%)即可;对于B项，可利用

/(/(.V))=x,且/(x-1)为奇函数，赋值求解即可；对于C项，由函数关于点(7,0)对称，

再结合函数关于y=x对称，即可证明：对于D项，应用[、:、:,可证明

/(x+2)-/(x)=-2,可得”1),八2),/⑶，A,〃40)依次构成等差数列，进而可判

断正误.

【详解】对于A项，设点(%,%)是y=/(x)图象上任意一点，

答案第6页，共16页

则y0=/M，而f(yQ)=f(f(x0))=x0,

所以点(为,与)也是y=/a)图象上的点,

所以f(x)的图象关于直线V=X对称，故A项正确；

对于B项，因为/(X-1)为奇函数，

所以一/。—1)=/(—x—1),取x=0,可知一/(一1)=/(一1),所以/(-1)=0；

又因为〃/(疝=x，所以为=/(/(-D)=/(0),

于是/(0)+/(-1)=-1,故B项错误；

对于C项，因为/(X-1)为奇函数，所以-/(X-1)=/(T-I),

即/(X)=-/(-X-2),令f(x)=-f(-x-2)=W,

则/("【)=/(/(x))=",/(-⑼=-2))=-x-2,

所以/(〃?)+/(-«0=x-x-2=-2,

因为/(x)的值域为R,所以该结论对任意实数都成立，

即/(r)+/(x)=-2,故C项正确；

/(x)=-/(-x-2)

对于D项,由以上推理知

/(-A)+/(X)=-2

所以fW=-/(-x-2)=-(-2-/(x+2))=2+/(x+2),

所以/(x+2)-/(x)=-2；

又因为〃T)=0,/(0)=-1,

所以/⑴=—2,〃2)=-3,〃3)=-4,〃4)=—5,/(5)=-6,A,/(40)=-41依次构成

等差数列，其首项为-2,公差为-1,

所以/。)+/(2)+…+/(40)=—860,故D项正确:

故选：ACD.

【点睛】解题关键点：灵活应用性质"/'(/G))=x"与“/(x-1)为奇函数''是解题的关键点，

在应用性质/(/(x))=x时，在判断C项正误中灵活使用/(〃。=/(/。))二%,

/(-/«)=/(/(-X-2))=-A-2；

在应用/(x-l)为奇函数时,我们顺次采用了-/(工-1)=F(-x-1);/(x)=-/(r-2)两种形

式.

1

12.y=——

8

答案第7页，共16页

［分析】抛物线开口向上，可设抛物线标准方程为x2=20，,且抛物线过点（1,2），可以求得

P匚所以准线方程为歹=-"

48

【详解】因为抛物线开口向上，所以设抛物线标准方程为V=2期（p>0）,

又抛物线过点（1,2）,贝。1=42=>〃=（,

所以准线方程为y=-：.

8

故答案为：y=~\-

O

13.180

【分析】先根据条件选择4人组成第一组，确定组长，则第二组人员随之确定，只需确定组

长即可.

【详解】先从3个精通AI算法的工程师中诜1人，从5个精通硬件架构的工程师中诜3人，

再从3个精通硬件架构的工程师中选1人做组长，有C；-C-C；=90种选法，

此时第二组的人员已经确定，由2个精通AI算法的工程师和2个精通硬件架构的工程师组

成，选1个精通硬件架构的工程师做组长，有C；=2种选法.

综上，满足条件的分组方法有90x2=180种.

故答案为：180

14.如

3

【分析】先明确动点进行凯迹分析，再利用余弦定理进行距离转化，利用线面角的性质确定

/EP/的最小值，最后通过几何关系求出线面角的正弦值，即可得到EF的最小值.

【详解】如图，因为四棱港P-/13C。满足21_L底面48C。，

且力。，AD!IBC,PA=AB=AD=—BC=1,

2

所以以P为球心1为半径的球与△PC。（包括边界）的交线

即为△PC。内以P为圆心，1为半径的一截圆弧，

因为产£=1,所以则当F点固定时，

由余弦定理可知，E/的距离只取决于/EPR/EP产越个，£尸距离越小，

过B作面PCQ的垂线，垂足为G,易知在△8CO中，CDLBD,CD=BD=6,

所以Sag必6='，

答案第8页，共16页

因为P4"L平面"CO,

8。(3平面力4。。，

则E4J.8C,又易知8cl48,ABcPA=A,4B、P/1u平面p/B,

则8cl平面产力5,又因为P8u平面尸力4,则8C_LP8,

PC=4PB2+BC?=J（及）2+2?=6,

在△FCZ）中，PD=DC=&，

由g桎傕。-8(7)=片技修&-PC”得，

LXPA=LX®XBG，所以8G=2，且由等面积aPBC可知G在PC上，

3323

延长PG交圆弧为??,过F作PA的垂线，乖足为"，此时/EP厂为线面角，取到最小值,

2G

所以./"£>13瓜，

sinZ.EPF=-^=-=—

03

EF=尸Esin/EPF=1x—=—取到最小值.

33

故答案为：逅.

3

⑵4=2G

【分析】(1)根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得sin.4=2sin/4■立cos.4.

22

即可求^军；

(2)利用三角形的面积公式及余弦定理，再结合条件得/=[2(百+而)-12,即可

求解.

【详解】(1)因为bsin4+―="sin/lcosC+csin4cos,4,

答案第9页，共16页

由正弦定理可得sinB—sin"——cosA=sinA（sinAcosC+sinCcosJ）=sinsin5,

z

又8e（0,兀），所以sin840,则;sin4+-^-cos4=sin力，得至Utan力=Ji,

又力€（0,冗），所以4=半

（2）由（1）知力=g,所以S=Lbcsin4=@A=JL得从=4,

324

又因为a?=〃+c?-28cccs4=/+c?-方c=（6+c>-3Z?c,又6c=4,得/=（/?+c/一口，

由出ABC的周长为2（JJ+W）,

所以/=[2（#+灰）—a]1]2,整理得到24（1+夜）―46（1+6）〃=0,

解得a=2>/3.

16.(1)证明见解析

⑵叵

28

【分析】(1)根据三棱锥的几何性质，结合已知条件，利用线面垂直定理证明结论：

(2)根据三棱锥的几何性质，结合已知条件，建立空间直角坐标系，得出相关点坐标，进

而得出相关向量，并求出法向量，最后利用向量夹角的余弦公式计算求解.

【详解】(1)证明：548_1_平面尸8C,AC/Cu平面P8C,

:.AB工BC,AB工PC,

ZACB=45°f：.\AB\=\BC\t

•••O为力。中点，/.BOLAC,

•.・平面产力C_L平面力8C,08u平面48C,平面48Cn平面产力C=4C,.•.8O_L平面产力C,

•,•/?。＜=平面84。，/.BOIPC,

XvABC\BO-AB,Z?Ou平面ABC,...尸C_L平面ABC.

(2)作CZ)1P8,垂足为O,

548_1平面/?8。,。。＜=平面08。，，力8_1。。，

又•；PBC14B=u平面p/B,\CO”平面218,|。|二,

|叽G

•：\AB\=\BC\=2sin/.DBC=

t\BC\~~2

答案第10页，共16页

\PQ\

「./£>8c=60，•.•y^二石，，|PC|=2后,

取产力中点£,连接。旦。E为△P4C的中位线，

：.OE//PC,.•.0£_1_平面,48。，

以O8,OC,OE所在直线分别为x轴歹轴、n轴建立下图所示的空间直角坐标系,

则B(72,0,0),C(0,V2,0),/1(0,-x/2,0),P(0,72,2V5),

.•.而=(应,应,0),万=(0,2立2@，

设平面产力8的-个法向量为方=(x,y,z),则

ABn=0\/2x+\/2y=0

一即，

APn=02。+2屈=0'

令y=-VJ,得x=C,z=6,.•.万=(G,—百,a),

•.•丽=(0,625

设直线OP与平面所成角为。，

,SiUCOS〈而力=0Ox石-&正+2瓦而

\OP\\n\J3+3+2J0+2+1228

「•直线。与平面研所成角的正弦值为祟

17.(1)«„=3/7-2,//eN*

(2)证明见解析

【分析】(1)由递推公式可得。用-%T=6(〃之2),进而可得数列的奇数项和偶数项分别为

公差为6的等差数列，从而可得数列的通项公式.

⑵根据⑴的结论求得邑=粤1)’再利用放缩法和裂项求和法证明不等式.

答案第11页，共16页

【详解】(1)•.•S,+S,川=3/+2〃+1,.”1+工=3(〃-1)2+2(〃-1)+1(〃22),

「•an+an^l=6/2-1(/7>2).

•.•当〃=1时，$+S?=q+%=6,且/=S=1,.,.出=4.

/.+a2=5=6x1-1,/.alt+。川=6〃-1,〃wN'.

一+%=6〃-7(〃>2),/.an+l-%=6(〃>2),

所以｛%｝中奇数项是以4为首项，6为公差的等差数列；偶数项是以名为首项，6为公差的

等差数列.

所以当〃为偶数时，%=%+尸卜6=4+3〃-6=3〃-2,

当〃为奇数时，4”=。1+(苫^-1x6=1+，?+3-6=y-2,

：.an=3〃一2,〃eN*.

（2）证明：由（1）知｛&｝是以1为首项，3为公差的等差数列,

.C_〃(4+%)_〃(3"-1)._L=___?___

当〃=1时，

【分析】（1）先求得歹'=]+。一廿，得到Vk=l+a-e,得到方程1+〃Y=2Y,求得。的

值，再将x=l代入切线方程，求得》=l-e,得出g+l-2b-e=l-e,求得6的值：

2

（2）当。=-4时，/（X）=1X-4X-2^,利用二次函数的性质，求得〃x）mm=-8-26,求

答案第12页，共16页

得g，(x)=2zX.,得出函数的单调性，求得g(x)m,n=b-!，得出不等式8—2b,即

3x66

可求解；

(3)转化为b=；/-4工-31门有三个不相等实根，设研文)=；』-4x+31nx,利用导数求

得O(x)的单调区间和极值，结合y=。与刎幻有三个交点，列出不等式，即可求解.

【详解】(1)由函数/(x)=；/+〃x—2b,可得》=/(划一S=；/+”—2b—e)

则y=x+"e",所以yL=l+"c,

因为N=/(-v)-e'在x=1处的切线方程为y=(2-e)x-1,

可得l+a-e=2-e,解得。=1,

将x=l代入切线方程j=(2-e)x-l,可得y=l-e,

即!+l—2b—e=l—e,解得b=L,所以。=1力=’.

244

(2)当。二一4时，/(x)=lx2-4x-2Z),xe(0,6],

因为函数/'(X)的图像象开口向上，对称轴为x=4,

所以/(%濡=/(4)=-8-26，

又因为g(幻=3后工一:一十瓦》£口,4],所以g'(x)=3_M=9x,

6x33x

当lWx<3时，gW>0,g(x)单调递增；

当3<x44时,gr(x)<0,g(x)单调递减，

1Q5

因为g⑴=/>-Z，g(4)=31n4-；+8,可得g(4)-g⑴=3ln4-7>0,

632

1)47

所以g(X)min=g⑴=8一工，则人一二<一8-2/?’解得力<一二，

60lo

所以6的取值范围为[8,假).

(3)当。二一4时，可得〃(x)=；/-4%+31nx—力，

因为/?(力二0有三个不同零点，所以b=；/-4x+31nx有三个不相等实根，

即y=/)与(P(X)=pV2-4x+3Inx的图象有三个交点，

设0(x)=：x2-4x+3lnx,可得。(x)=x—4+3=八一4一十3二(A-I)(A-3),

2xxx

当0<x<1时，0(x)>0,叭x)单调递增；

答案第13页，共16页

当I<xv3时,（p（x）<0,P（x）单调递减:

当x>3时,（p'（x）>0,砒劝单调递增,

又由。(l)=-g,M3)=31n3-£且XTO时，0(X)-TO；X—y时，(p(x)->+»,

I157

因为丁=力与讽X）二弓/-4x+31nx的图象有三个交点，所以31n3

'15

所以实数〃的取值范围为3ln3--,--.

X2V2

19.（1）—+^—=1

43

⑵⑴可告，岑）U（岑，应；（ii）[5-©5+回

【分析】（1）椭圆长轴是焦距的2倍，短轴长为2方，结合椭圆核心关系式•.•病=6~02得

到最终方程,

（2）当直线45的斜率不存在时，设直线的方程为工=〃，直线与椭圆的方程联立，再

根据％/2=-，得