华师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》教案

华师大版九年级下册数学26.2二次函数的图象与性质教案

26.2.1二次函数丫=@父的图象与性质

教学目标

干知识与技能

1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概

念.

2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质.

a过程与方法

通过数形结合进一步理解二次函数的性质.

方情感、态度与价值观

1.在画图、观察、比较等探究活动中，形成良好的思维习惯和学

习方法.

2.在探究二次函数丫=©2的性质活动中，体会通过探究得到发现

问题的乐趣.

重点难点

A重点

二次函数y=ax2(aK0)的图象和由图象概括二次函数y=ax?的性

质.

街*难点

二次函数y=ax?性质的应用.

教学过程

一、自学导纲

1.前面我们研究了一些具体的函数，根据你的经验，学习了二次

函数的概念后，接着要研究什么问题？

2.想一想，一次函数的性质是怎样研究的？

（先同出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的

性质.）

3.我们能否类比一次函数性质来研究二次函数的性质呢？如果可

以，应先研究什么？

（可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研

究二次函数的图象）

4.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

（由此引出课题.）

二、合作互动

问题1：画二次函数y=ax2的图象

请用描点法画出y=x2的图象（学生画出）.

说明和建议：

1.在画图象前，可以指导学生复习描点法画函数图象的方法.

2.观察y=x2的自变量x的取值范围.引导学生回忆前面学过的

内容，列表时如何合理选值？以什么数为中心？

3.列表时应注意描点的方便，可告诉学生x取整数，可以以1为

间距取值.

4.列表时应注意到x取相反数时，y的值相同，这样列表就可简

捷一些，连线前要观察所描的点位置，它们不在一条直线上，因此,

要用平滑曲线按自变量从小到大或按自变量从大到小的顺序连接.

5.要引导学生讨论这样画出的y=x2的图象是实际图象的一部分,

还是它的全部？所画函数图象是准确的，还是近似的？

6.在学生阿完的基础上，教帅板演网函数y=ax2的图象.

(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

X••♦-3-2-10123・♦♦

y•••9410149•••

(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平

面直角坐标系中描点.

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，

如图所示.

问题2：请观察y=x2的图象，它有什么特点？

说明和建议：

1.这个问题具有开放性，不同层次的学生可总结概括出不同的结

论.

2.让学生观察、思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴,

且对称轴和图象有一个交点.

教师在学生发言的基础上，借助上面所画的图象，指山有关概念:

抛物线及这个函数图象的对称轴、开口方向、顶点坐标等.

归纳：二次函数y=x2的图象是一条曲线，这条曲线叫抛物线，它

的开口向上，对称轴是y轴,抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点，

抛物线y=x2的顶点是原点.

问题3：(1)在同一直角坐标系中，回出函数y=x?与y=一必的图

象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？

(2)在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=—2x2的图象，观

察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？

(3)将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？

说明与建议：

对于(1),在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，

讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点.两个函数

图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同

的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，

顶点坐标都是(0,0),区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y

=-X?的图象开口向下.

对于(2),教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图

象的特点教师可引导学生类比(1)得出.

对于(3),教师可引导学生从(1)的共同点和(2)的发现中得到结论:

四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它们的顶点坐标都是

(0,0).

在学生完成、交流的基础上，教师展示图象并归纳.

函数y=ax2的图象是一条,它关于对称，它的

顶点坐标是.

思考：如果要更细致地研究函数y=a/图象的特点和性质，应如

何分类？为什么？

让学生观察y=xMy=2x?的图象，填空：

当a>0时，抛物线y=ax2开口_______.在对称轴的左边，曲线

自左向右_______；在对称轴的右边，曲线自左向右

.是抛物线上位置最低的点.

问题4：观察图象，y随x的变化如何变化？

说明与建议：

1.可让学生观察y=x2、y=2x?的图象，填空：

当xVO时，函数值y随着x的增大而,当x>0时，函

数值y随x的增大而；当x=时，函数值y=a/(a

>0)取得最小值，最小值y=_______.

以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质.

思考以下问题：

观察函数y=-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当aVO

时，抛物线y=ax2有什么特点？它反映了当aVO时，函数y=ax?具

有哪些性质？

让学生思考、讨论、交流，达成共识，当aVO时，抛物线y=ax2

开口向下.在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，

曲线自左向右下降.顶点是抛物线上位置最高的点.图象的这些特点，

反映了当aVO时，函数y=ax2的性质：当x〈O时，函数值y随x的

增大而增大；当x>0时二函数值y随x的增大而减小；当x=O时,

函数值y=ax?取得最大值，最大值是y=O.

例在同一坐标系中，二次函数y=3x2,y=x2,y=-4x?的图象

的共同点是（）

A.关于y轴对称，开口方向向上

B.关于y轴对称，顶点坐标为（0,0）

C.关于y轴对称，最高点都是原点

D.关于y轴对称，xVO时，y随x的增大而减小

分析：二次函数y=ax2,a>0时、开口向上，aVO时、开口向下，

故A错误；开口向上时有最低点，开口向下时•，有最高点，故C错误；

当aVO,x<0时♦,y随x的增大而增大.故D错误.

解答：选B

三、反馈训练

基础练习

1.二次函数y=nx?的顶点坐标是,对称轴是

，图象在x轴的（顶点除外），开口向,当

x时，y随x的增大而减小，当x时，y随x的增大

而增大.

2.观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是（）

A.若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等

B.对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应

C.对于一个实数y,有两个X和它对应

D.对任意实数x,都有y>0

3.在函数y=ax?中，当a<0时，，设自变量Xi、X2的对应值分别

为yi,y2,当xi>X2>0时，必有yi〈y2吗？为什么？

拓展练习

4.已知函数y=(k2+k)xk2-2k-l是二次函数，它的图象开口

，当x时，y随x的增大而增大.

5.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x

的函数，并画出图象.

四、导学归纳

本节课你学到了什么，还有什么困惑？

引导学生从二次函数y=ax2的图象形状、画法、对称轴、顶点、

开口方向和增减性总结.

五、作业

1.《能力培养与测试》同步课时作业.

2.课下思考：

(1)已知y=(k+2)xk2+k-4是二次函数，且当x>0时，y随x

的增大而增大，则1；=.

(2)已知正方形周长为Cem,面积为Scm2.

①求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

②根据图象，求出S=lcm2时，正方形的周长；

③根据图象，求出C取何值时，S^4cm2.

课后反思：

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函

数丫=0*2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.

26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

第1课时二次函数丫=2/十1＜的图象与性质

教学目标

A知识与技能

1.会用描点法回二次函数丫=@乂2+1;的图象.

2.理解抛物线y=ax?与y=ax2+k之间的位置关系.

3.体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法.

夕过程与方法

先画出丫=@乂2+1＜与丫=@乂2的图象，然后综合对比观察图象，再归

纳整理得出抛物线形状、位置规律.

A情感、态度与价值观

1.结合探究函数y=ax2+k与y=ax2的图象平移规律的过程继续

渗透数形结合思想方法.

2.在探究二次函数y=ax?+k性质的过程中，成就学生的成就感,

进一步增强学生学习的自信心.

重点难点

b重点

二次函数丫=8乂2+1＜的图象和性质.

A难点

理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系.

教学过程

一、自学导纲

1.二次函数y=2x?的图象是,它的开口向,

顶点坐标是，对称轴是,在对称轴的左侧，y随x

的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而,当

x=时，取最值，其最值是.

2.二次函数y=x?+l的图象与二次函数y=x2的图象开口方向、

对称轴和顶点坐标是否相同？

二、合作互动

例在同一坐标系中画出函数y=x2,y=x2+2,y=x2-2的图象，

并指出它们的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，说出三个函数图

象的异同点.

解答：用描点法可以作出三个函数的图象，如图所示，y=x2的图

象的开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点(0,0)；y=x?+2的图象

的开口向上，对称轴为y轴、顶点为点(0,2)；y=x2—2的图象的开

口向上，对称轴为y轴，顶点为点(0,-2).从三个函数的图象可以

看出，它们的开口方向、形状大小、对称轴相同，只是顶点的位置不

同.

总结反思：二次函数丫=@*2,y=ax?+k的图象的对称轴相同，开

口大小相同，开口方向相同，形状相同，顶点的位置不同.抛物线y

=ax2+k可由抛物线y=ax2向上或向下平移得到.

探究1二次函数y=ax2+k的图象

(1)对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？

(画出函数y=x?+l和函数y=x2的图象，并加以比较.)

(2)请你在同一坐标系中画出函数y=x&+l和函数y=x2的图象

说明：①让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画

出函数y=x?和y=x2+l的图象.

②教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不

必单独列出函数y=x2+l的对应值表，弃让学生画出函数y=x2+l

的图象.

③教师写出解题过程，与学生所画图象进行比较.

(3)当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关

系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

说明：①教师引导学生观察画函数图象时所列的表，当x依次取

-3,-2,-1,0,1,2,3时，两个函数的函数值之间有什么关系？

由此让学生归纳得到，当自变量X取同一数值时，函数y=x?+l的函

数值都比函数y=x2的函数值大1.

②教师引导学生观察函数y=x2+l和y=x2的图象，研究一些特殊

点的位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y=x?+l的图

象上的点都由函数y=x?的图象上的相应点向上移动了一个单位.

(4)观察函数y=x?+l和y=x2的图象，它们的开口方向、对称轴

和顶点坐标有哪些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y=

x2+l和y=x?的图象之间的关系吗？

归纳：①相同点：开口方向相同，对称轴相同；不同点：顶点坐

标位置不同.

②y=x?+l的冬象和y=x?的图象形状相同，开口方向相同，y=

x2+l的图象可以由y=x2的图象向上平移1个单位得到.

探究2根据上面讨论，你能由y=x2的性质得到y=x2+l的性质

吗？

说明：让学生用类比的方法得到性质，可从对称轴左右两侧考虑.可

让学生完成下列填空：当x时，函数值y随x的增大而减小；

当x时，函数值y随x的增大而消大；当x时，函

数取得最值，最值丫=.

以上就是函数y=x?+l的性质

探究3你能说出y=-x2+l的图象与性质吗？

说明：小组合作交流，得出结论，并发言回答.最后教师归纳.

y=-x?+l的图象是一条抛物线，开口向下，对称轴是y轴，顶

点坐标是(0,1)；当x>0时，y随X的增大而减小；当XV0时，y

随x的增大而增大；当x=0时.，y取最大值.

思考：根据上面的讨论，你能得出二次函数y=ax?+k的图象与性

质吗？

归纳：二次函数丫=@*2+1<的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，

顶点坐标是(0,k).当a>0时，它的开口向上；xVO时，y随x的

增大而减小；当x〉0时，y随x的增大而增大；当x=0时，y取最

小值，最小值为k.当aVO时，它的开口向下；xVO时，y随x的增

大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y取最大

值，最大值为k.

三、反馈训练

在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2+l与y=—X2—1的图象,

并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y=-x?+l得到抛物线y=

—X2—1.

四、导学归纳

1.通过本节学习，你有哪些收获？

2.你对本节课有什么疑惑？

五、作业

必做题

1.《能力培养与测试》同步课时作业.

2.函数y=-2x?+5,当x_______时，函数值y随x的增大而减

小；当x=_______时，函数值y取最________值________.

选做题

3.试说出函数y=x2,y=x?+2,y=xz-2的图象所具有的共同性

质.

课后反思：

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函

数y=ax2+k的图象与性质，体会抛物线y=ax?与y=ax2+k之间的

联系与区别.

第2课时二次函数y=a(x—h)2的图象与性质

教学目标

讲知识与技能

1.会用描点法面二次函数y=a(x—h)?的图象.

2.理解抛物线y=a(x—h)?与y=ax2之间的位置关系.

3.体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法.

干过程与方法

先画出y=ax?+k与y=ax?的图象，然后综合对比观察图象，再归

纳整理得出抛物线形状、位置规律.

清情感、态度与价值观

1.结合探究函数y=a(x—h)2与y=©2的图象平移规律的过程继

续渗透着数形结合思想方法.

2.在探究二次函数y=a(x—h)?性质的过程中，造就学生的成就

感，进一步培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心.

重点难点

百重点

二次函数y=a(x—h)2图象和性质.

百难点

把抛物线y=ax2通过平移后得到y=a(x—hT时，确定平移的方向

和距离.

教学过程

一、自学导纲

1.已知y=-X?,y=—X2—1,回答：

(1)两条抛物线的位置关系；

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标；

(3)说出它们所具有的公共性质.

2.二次函数y=(x—2T的图象是怎样的一条抛物线，它与二次函

数y=x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函

数的图象之间有什么关系？

二、合作互动

L思考：你将用什么方法来研究上面提出的问题2?

(画出二次函数y=(x—2)2和二次函数y=x?的图象，并加以观察.)

2.画图：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=(x—2/和二次

函数y=x?的图象.

说明：(1)学生完成表格.

X•••-3-2-10123••♦

y=x2

y=(x—2)2

(2)画出图象.

(3)解决情景引入第2题.

①教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象，完

成以下填空：

开口方对称顶点坐

函数

向轴标

y=x2

y=(x—2)2

②让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共

识：函数y=(x—2)2与y=x2的图象开口方向相同、对称轴和顶点坐

标不同；函数y=(x—2尸的图象可以看作是函数y=x2的图象向右平

移2个单位得到的，它的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0).

3.探究

例已知二次函数y=(x+b)2,函数y与自变量x的部分对应值

如下表:

X••♦123456•••

y•••410149•••

(1)求b的值及该二次函数的解析式；

(2)当x为何值时，y取最小值？最小值是多少？

(3)若点A(m,yj,B(m+1,yl都在该函数的图象上，试比较力

与丫2的大小.

解答：(1)把x=3,y=0代入关系式，0=(3+b)2,解得b=-3,

所以该函数为y=(x—3)：

(2)当x=3时，y取最小值，最小值为0.

(3)当mV2.5时,yi>y2；当m=2.5时%=丫2；当m>2.5时，yI

<Y2.

4.探讨：(1)你可以由函数y=x2的性质，得到函数y=(x—2产

的性质吗？

①教师引导学生回顾二次函数y=x2的性质，并观察二次函数y=

(x—2¥的图象;

②让学生完成以下填空：

当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时,

函数值y随x的增大而增大；当x=时，函数取得最_______

值丫=.

(2)在同一直角坐标系中，函数y=—(x+2)2的图象与函数y=一

X?的图象有什么关系？y=—(x+2)2有哪些性质？

4.总结：二次函数y=a(x—h)?的图象与性质.

一般规律

①y=a(x—h)2的图象特点如下表:

开口方顶点坐

对称轴

向标

a>0向上

a<0向下x=h(h,0)

②性质：若a>0,当xVh时，函数值y随x的增大而减小；当x

>h时，函数值y随x的增大而增大：当x=h时，函数取得最小侑，

最小值y=0.

若aVO,当x<h时、函数值y随x的增大而增大；当x>h时\

函数值y随x的增大而减小；当乂=11时\函数取得最大值，最大值y

=0.

③y=a(x—h)?平移规律：当h>0时，将抛物线y=ax2向右平移h

个单位；当hVO时，将抛物线丫=@*2向左平移|h|个单位.

三、反馈训练

1.基础练习

抛物线y=(x—l)2的开口,对称轴是,顶点坐

标是，它可以看作是由抛物线y=x2向平移

个单位得到的.

2.拓展练习

(1)怎样平移函数y=—(x—2/的图象，就可得到函数y=—(x+

5)2的图象?

(2)将抛物线y=ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为一2,

且新抛物线经过点(1,3),求a的值.

四、导学归纳

1.在同一直角坐标系中，函数y=a(x—h)?的图象与函数y=ax?

的图象有什么联系和区别？

2.你能说出函数y=a(x—h)2图象的性质吗？

3.谈谈本节课的收获和体会.

五、作业

1.不画出图象，请你说明抛物线y=5x2与y=5(x—4)2之间的关

系.

2.已知函数y=—x2,y=—(x+2T和y=—(x—2)2.

(1)在同一直角坐标系中画出它们的函数图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y=一X?的图象得

到函数y=—(x+2)2和函数y=—(x—2/的图象？

(4)分别说出各个函数的性质.

选做题

3.试说出二次函数y=x?+2x+l图象的对称轴、顶点坐标、开口

方向，最大(或最小)值；当x取什么值时，y随x增大而增大.

(提示：将y=x?+2x+l化为y=(x+l)2后求.)

课后反思：

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函

数y=a(x—h)2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.

第3课时二次函数y=a(x—hT+k的图象与性质

教学目标

寻知谡与技能

会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象，并通过图象认识

函数的性质.

巨过程与方法

先由y=a(x-h)2+k型的五个特例入手，再推广到一般，归纳出

结论.

石情感、态度与价值观

结合函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象平移规律的探究过程，

继续渗透数形结合的方法.

重点难点

b重点

二次函数y=a(x-h)2+k的性质.

A难点

二次函数y=a(x-h)2+k图象与y=ax?图象之间的关系.

教学过程

一、自学导纲

我们学习了形如丫=稣2,y=ax2+k,y=a(x—h)2的函数，知道了

它们可以经过相互平移得到.二次函数y=a(x-h)2+k又是怎样的一

条抛物线呢？它与这三条抛物线之间有什么关系？

二、合作互动

1.探究

例已知函数y=2(x—3)2—8.

(1)写出函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标；

(2)求出图象与x轴的交点坐标；

(3)当x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增

大而减小；

(4)当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最大(小)值;

(5)函数图象可由y=2x?的图象经过怎样的平移得到.

分析：本题综合考查函数y=a(x—h¥+k的图象及性质，特别注

意图象与x轴的交点坐标即要求出y=0时的x的值，则需解一元二

次方程求得.

解答：(1)Va=2>0,

・・・抛物线的开口向上，对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,-8).

(2)令y=0,即2(x—3/一8=0,

整理，得X?—6x+5=0,

解得Xi=l,X2=5.

故图象与x轴交于(1,0),(5,0).

(3)当x>3时y随x的增大而增大，当xV3时，y随x的增大而

减小.

(4)当x=3时，y有最小值，最小值是一8.

(5)函数图象可由y=2x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移

8个单位得到.

总结反思：综合运用函数y=a(x—h¥+k的图象特点及性质求解,

熟记这些基础知识是解题关键.

在同一坐标系中画出函数y=x2,y=x2^l,y=(x-2)2+l的图象,

并写出它们的开口方向、对称轴及顶点.

说明：在阿图时，可引导学生注意以下问题：

①列表时，要合理选值，选值时先考虑对称性质，其次尽量选整数，

方便计算、描点.前两个函数的对称轴是v轴，选值以x=0为中心.第

三个函数的对称轴尚不清楚，可对照y=a(x—h)2,作出初步的判断.计

算y值，只要计算对称轴一侧的值，另一侧由对称性直接填空.另外，

注意观察三个函数解析式的特点，后两个函数值的计算，可以利用第

一个函数的运算结果.

②描点时，一般可先定顶点，然后利用对称性，描出各对称点.

③连线时，特别要注意顶点附近的大致趋向，最后画得抛物线应平

滑、对称、并且符合抛物线的特点.

④让学生完成下列填空：它们的开口方向都向,对称轴分

别为、、，顶点坐标分别为、

观察归纳：观察上面所画函数的图象并进行比较，你认为函数y

=(x-2)2+l的图象有何特点？

说明：让学生充分表达自己的见解.在这个基础上，再设问：①

函数y=x?+l的图象与函数y=x2的图象两者之间有什么关系？(形状

相同，位置不同)②函数y=(x—2严与y=x2+l之间有什么关系？

最后让学生归纳得y=(x—2y+1图象特点：开口向上，对称轴是

x=2,顶点坐标是(2,1),顶点是图象的最低点.

(3)函数y=(X-2)2+1有哪些性质？

说明：学生类比y=x2的性质得出.

当x>2时，y随x的增大而增大；当xV2时，y随x的增大而减

小；当x=2时，y取最小值1.

2.归纳：根据上面的讨论，请你用类比的方法归纳出二次函数y

=a(x-h)2+k的图象与性质.

说明：教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达

成共识.

(1)图象：可让学生完成教材第16页练习第3题.

(2)性质：若a>0,当xVh时，函数值y随x的增大而减小，当

x>h时，函数值y随x的增大而增大，当x=h时，y取最小值k；若

a<0,当xVh时，函数值y随x的增大而增大，当x>h时，函数值

y随x的增大而减小.当x=h时，y取最大值k.

3.做一做：

你能说出函数y=—(x—1/+2的图象与函数y=—X?的图象的关

系，由此进一步说出这个函数图象的开门方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=—(x—1产+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向

右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为

直线x=l,顶点坐标是(1,2).)

三、反馈训练

1.基础练习

(1)说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、最大值或最

小值.

①y=2(x—4)2—13；②y=2(x—4)?+13；③y=-5(x—7¥—13；

®y=-3(x+2)2+l.

(2)将抛物线y=2(X-4)2-1如何平移可得到抛物线y=2x2()

A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位

B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位

C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位

D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位

2.拓展练习

把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位,再向左平移4个单位，

得至抛物线y=x2,求b、c的值.

四、导学归纳

二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+k中

k的值；左右平移，只影响h的值.抛物线的形状不变.所以平移时，

可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路

径.此外，图象的平移与平移的顺序无关.

五、作业

1.二次函数y=—5(x—2/—1,图象是,开口________,

对称轴是直线_____，顶点坐标为________,当x________时，函数

y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小，当x_______

时，函数y有最值是・

2.抛物线y=一(x—8尸+2的顶点坐标是()

A.(2,8)B.(8,2)

C.(-8,2)D.(-8,-2)

3.在同一直角坐标系中，同出下列函数的图象.

y=-3x2,y=-3(x+2)2,y=-3(x+2)2—1,并指出它们的开口

方向、对称轴和顶点坐标.

4.二次函数y=5(x+2)2+3的图象与y=5(x-3)2+4的图象如

何相互平移得到.

课后反思：

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函

数y=a(x—h¥+k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.

第4课时二次函数丫=@*2+5*+。的图象与性质

教学目标

巨知识与技能

L经历求二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的对称轴和顶点的过程.

2.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c(aXO)化成y=a(x—

h/+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标，并掌握二次

函数的性质.

口过程与方法

通过思考(立足于旧知识考虑新问题)、探究、归纳、尝试(应用)

等过程，让学生从中学会探索新知的方式方法.

b情感、态度与价值观

经历求二次函数y=ax?+bx+c(a#0)的对称轴和顶点坐标的探究

过程，渗透配方和数形结合思想方法.

重点难点

百重点

通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c(aXO)化成y=a(x-h)2+k

的形式，求对称轴和顶点坐标.

寸难点

二次函数性质的综合应用.

教学过程

一、自学导纲

1.写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴.

(l)y=2x2；(2)y=3(x—I)2；

(3)y=~x2+l；(4)y=3(x-2)2+3.

2.填空：

(1)X2+6X+=(x+)2；

(2)x2—x+=(x-)2；

(3)x?+6x-9=:x+_______)2+________；

(4)x2—5x+8=(x—)2+.

3.情景引入

不画出图象，你能直接说出函数y=—x?+x—的图象的开口方向、

对称轴和顶点坐标吗？

二、合作互动

例已知二次函数y=2x2—4x—6,

(1)求出此函数的顶点坐标及对称轴；

(2)当x取何值时，函数有最值？最值是多少？

(3)当x取何值时，函数值y随x的增大而减小？

分析：解决此题的关键是将二次函数的一般式化为顶点式，可以直

接配方也可用顶点坐标公式.

解答：y=2x2—4x—6

=2(x2—2x)—6

=2(x2—2x+l—1)—6

=2(x—I-8

(1)此函数图象的顶点为(1,-8),对称轴为x=l；

(2)当x=l时，函数有最小值，最小值为一8；

(3)当xVl时，y随x的增大而减小.

总结反思：求二次函数的顶点坐标或最值有两种方法：(1)将一般

式化为顶点式；(2)直接运用公式.

问题1：(1)将函数y=x2-12x+42写成y=a(x-h)2+k的形式,

并确定这个抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标.

说明：①根据复习回顾2学生不难完成，对有困难的学生要给予

引导.

②指出这种求抛物线顶点坐标的方法叫配方法.并指出与用配方法

解一元二次方程的异同点.

(2)根据解题方法，解决情景引入中的问题.

问题2：你能根据上面的方法写出抛物线y=ax2+bx+c(aW0)的

顶点坐标、对称轴和二次函数的性质吗？

说明：先让学生独立完成，然后小组交流，形成共识.最后教师给

出解答.

y=ax2+bx+c=a+c=a[x2+xd—O2]+c=a+.所以顶点坐标

为，对称轴为直线x=—；若a>0,则抛物线的开口向上，当x>—

时，函数值y随x的增大而增大；当xV一时，，函数值y随x的增大

而减小，当x=一时，y取最小值；若aVO,则抛物线的开口向下，

当x>一时，函数值y随x的增大而减小，当xV一时，函数值y随x

的增大而增大，当x=一时，y取最大值.这就是二次函数y=ax?+bx

+c的图象与性质.

问题3：请你画出二次函数y=-2x?+4x+6的图象.

(学生讨论合作完成)

解：y=-2x2+4x+6=-2(x2-2x)+6=-2(x2-2x+l-l)+6

=-2[(X-1)2-1]+6=-2(X-1)2+8.

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=l,顶点坐标为U,8).

由对称性列表：

x…—2—101234…

y•••~1006860-10

描点、连线，如图所示.

说明：(1)列表时选值，应以对称轴X=1为中心，间距要适当，

函数值可由对称性得到.

(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并

用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.

思考：画二次函数y=ax?+bx+c的图象时，应注意什么？

三、反馈训练

1.基础练习

⑴抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是x=.

(2)二次函数y=2x2-2x-l的图象的顶点是,当

x时，y随x的增大而减小.

2.拓展练习

(1)开口向下的抛物线y=(m2—2)x2+2mx+l的对称轴经过点1—1,

3)，贝ijm=.

⑵已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，求a的值.

四、导学归纳

本节课你有哪些收获？

(1)教师引导学生从二次函数y=ax2+bx+c(aW0)顶点坐标、对

称轴、最大(小)值及平移规律等总结.

(2)二次函数y=ax2+bx+c(a^O)图象的画法.

五、作业

必做题

《能力培养与测试》同步课时作业.

选做题

1.当aVO时，求抛物线y=x?+2ax+l+2a2的顶点所在的象限.

2.已知抛物线y=x,—4x+h的顶点A在直线y=-4x—1上，求

抛物线的顶点坐标.

课后反思：

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函

数y=ax2+bx+c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.

第5课时二次函数最值的应用

教学目标

中知识与技能

1.会通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的最大或最小

值.

2.能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围.

A过程与方法

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次

函数的性质求实际问题中的最大或最小值.

甘情感、态度与价值观

通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、

解决问题的能力，提高学生用数学的意识.

重点难点

首重点

会通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的最大或最小值.

a难点

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次

函数的性质求实际问题中的最大或最小值.

教学过程

一、自学导纲

1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(l)y=6x2+12x；(2)y=—4x2+8x—10.

2.求二次函数的最大值或最小值的方法有几种？求下列函数的最

大值或最小值.

（l）y=x2+2x—3；（2）y=l+2x—x2.

3.在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如

求最大利润、最大面积，花费最小等，这些问题常常与二次函数的最

大值或最小值有关.它们的实质是求什么？

二、合作互动

1.应用举例

例1李强的叔叔以每件8元的价格进了一批商品，售价为每件

12元，每天可售100件，他想通过提高售价来增加利润，但他发现价

格每增加1元时，每天少卖5件，问李强的叔叔将售价定为多少时获

利最大？获得最大利润为多少元？

解答:设李强的叔叔将售价定为x元时,销量为y件,获利为P（元），

则销售量y=100-5（x-12）=160-5x,，获得利润P=（x—8）（160

-5x）=-5x2+200x-1280=-5（x-20）2+720,，当x=20时,P最

大=720,故当售价定在20元时每天获利最大，最大利润为720元.

总结反思：（1）建立数学模型，将实际问题转化为二次函数问题,

并表示出二次函数关系式.（2）由二次函数性质求出这个二次函数的

最大（小）值，即可求出实际问题的最大（小）值.（3）求二次函数的最

大（小）值时，要注意自变量的取值范围，当顶点的横坐标在自变量的

取值范围内时，最大（小）值在顶点处取得.当顶点的横坐标不在自变

量的取值范围内时，就要考虑给定范围的端点处的函数值.

AD

x

BC

例2要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃.怎

样围才能使围成的花圃的面积最大？

解：设矩形的AB为xm,则矩形的长BC为(20—2x)m,由于x>0,

且20—2x>0,所以OVxVIO.

围成的花圃面积y与x的函数关系式是

y=x(20-2x),BPy=-2x2+20x,

配方得y=-2(x—5/+50.

所以当x=5时，函数取得最大值，最大值y=50.

因为x=5时，满足OVxVIO,这时20—2x=10.

所以应围成宽5m、长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大.

2.归纳

通过以上两个例题的学习，你能总结一下用二次函数解决实际问题

(求最大值或最小值)的方法吗？

分析等量关系，建立二次函数关系式，利用二次函数的性质，求出

最大值或最小值.

3.拓展应用

用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的长、

宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？

思考并解决以下问题：

(1)若设做成的窗框的宽为xm,则长为多少？(m)

(2)根据实际情况，x有没有限制？若有限制，请指出它的取值范

围，并说明理由.

让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x>0,且>0,

即得到不等式组解这个不等式组，得到不等式组的解集为0VxV2,

所以x的取值范围应该是0VxV2.

(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗？

在师生共同分析后，学生独立完成解答过程，并小组交流.

小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：

(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

⑵研究自变量的取值范围；

⑶研究所得的函数；

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值;

⑸解决提出的实际问题.

三、反馈训练

(1)某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形,

制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m,当x等于多少

时，窗户通过的光线最多(结果精确到0・01m)?此时，窗户的面积是

多少？

（2）当2.5<x<3.5时，求二次函数y=x2-2x-3的最大值或最小

值.

思考：在求实际问题中的最大值或最小值时，应注意什么？

解析：应注意抛物线的顶点是否在自变量的取值范围内，若不在,

则在顶点处不是最大值或最小值.

四、作业

1.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那么m的值是

2.某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）

与产品的日销量y（件）之间关系如下表:

x（元）130150165

y（件）705035

若日销量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件

产品的销售定为多少元？此时每日销售利润是多少？

BC

3.如图，在RtZ\ABC中，NC=90°，BC=4,AC=8,点D在斜

边AB上，分别作DE±AC,DF1BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,

设DE=x,DF=y.

(1)用含y的代数式表示AE；

(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系，并求出

S的最大值.

课后反思：

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化

为函数问题，并利用函数的性质进行决策.

26.2.3求二次函数的表达式

教学目标

卡知识与技能

1.会利用待定系数法求二次函数关系式.

2.学会利用二次函数解决实际问题.

司过程与方法

在解决实际问题中体会二次函数的应用.

才情感、态度与价值观

体会实际解决问题的方法，为下一步探索打基础，培养热爱科学、

勇于探索的精神.

重点难点

b重点

掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情境选择

适当的形式来求二次函数的关系式.

b难点

熟记、区分并能灵活运用三种关系式，利用待定系数法求二次函数

的关系式.

教学过程

一、自学导纲

1.如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄

壳屋顶.它的拱宽AB为4m,拱高CO为0.8m.施工前要先制造建筑模

板，怎样画出模板的轮廓线呢？

(由此题引出新课一一求二次函数的关系式.)

2.复习回顾

根据下列条件，分别写出相应的函数关系式.

1.y与x成正比，其图象过点P(2,1)；

2.函数y=2kx+k的图象过点(2,-5)；

3.一次函数图象过点(1,2)、(-3,5).

二、合作互动

问题解答上面的问题，运用了什么数学方法？运用这种数学方法

的一般步骤是什么？

说明：引导学生归纳用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤.

例1求满足下列条件的二次函数的关系式.

(1)图象经过A(0,3),B(l,3),C(-l,1)；

(2)图象顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8)；

(3)图象经过A(—l,0),B(3,0),函数有最小值一8.

解答：(1)设所求函数关系式为y=ax?+bx+c,・.•图象经过A(0,

3),33=aX02+bX0+c,・・・c=3.又:图象过B(L3),C(-l,1),

・・・，解得，

・・・函数关系式为y=-X2+X+3.

(2)・・•图象顶点为(1,-6),

・・.可设其关系式为y=a(x—1)2—6,

・・,图象经过点(2,-8),

；・—8=a(2—I)?—6,

.*.a=—2,

关系式为y——2(x—1)2—6=—2X2+4X—8.

(3)・・•函数有最小值是一8,且图象过(一1,