高中数学一轮复习-简单的三角恒等变换

专题5.3简单的三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(l)C(a±B)：cos(a±p)=cosa.cosp+sina-sin0(同名相乘，加减相反)

S(a±s)：s讥(a±6)=sina-cosp±cosa-si印(异名相乘，加减一致)

7W（a±H）=卷需器：（两式相除，上同下异）±SH€Z）

⑵公式的逆用及变形

①tana±tanp=tan(a±/?)(1+tana-tan/?)；

②在△48C中，(角48,C均不为直角)，

tanA+tanB

tan^A+8)==-tanC即£@几4+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC.

1-tanA-tanBf

2.二倍角公式

。（班为二倍角的正弦、余弦、正切公式:

S2a:sin2a=2sina-cosa;

2222

C2a:cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina;

2tana

T-tan2a=---------『

2a1-tan2a

3.辅助角公式

函数/（x）=asinx+bcosx（Q,匕为常数），可以转化为

f(x)=yja2+b2^sinx-ab)=J—+匕2.m(x+(p)

r....................+cosx•.S

yja2+/?2yja2-Fb2

ba

其中=/奇，COSR=,tan（p=p可±la,匕的值唯一确定.

如：sina±cosa=\[2sin(a±小

4.和差化积公式

a-(i

(Dsina+sinp=2sincos

2

a-p

(2)sina—sinp=2cossin

2

(3)cosa+cosp=2cos^7^cosa-p

2

(4)cosa-cosP=-2sin^sin^

5.积化和差公式

(Dsina•cos0=1[sin(a+夕)+sin(a-/?)]

(2)cosa-cosp=-J[cos(a+/?)+cos(a-/?)]

(3)sina-sinp=1[cos(a-B)-cos(a+/?)]

【重要结论】

1.半角公式

⑴s呜=±亨；5=±尸⑶t*=悬=若；

22

2.升累公式：1-cos2a=2sina-y14-cos2a=2cosa\1±sE2a=(sina±cosa)?；

7

cl攵/ET八—•1•c■21-cos2a71+cos2ao

3.降暴公式：sina-cosa=-sin2a;sin^a=——-——；cos'a=——-——；tan£a=

l-cos2a•

l+cos2a'

.r2sinacosa2tanacos2a-sin2a1-tan2a

4.万能置换公式:sm2a=—；----—;cos2a=

stnza+coszatan2a+lsin2a+cos2a1+tan2a"

5.和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧

①准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式;

②和差角公式变形：

sinasinp+cos(a+0)=cosacosp

cosasin0+sm(a—/?)=sinacos0

tana±tanp=tan（a±/?）•（1+tana•tan/?）.

FjK材改编

1.【人教A版必修一5.5.2例10P227］若a,0均为锐角，且cosa=cos（a+夕）=

弋,则sing+20）等于.（）

A.--B.-C.--D.—

2222

2.【人教A版必修一习题5.5第2题P229］有一块半径为2,圆心角为45。的扇形钢

板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在

扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为.

考点归纳

考点一三角函数式的化简

【方法储备】

1.化简思路

⑴异角化同角：发现角之间的差别与联系，合理拆分角，恰当选择三角公式：

⑵异名化同名：统一三角函数的名称，利用诱导公式，切弦互化、二倍角公式等实现名

称的统一；

⑶异次化同次：统一三角函数的次数，一般是利用降事公式化高次为低次.

⑷特殊值与特殊角的三角函数互化：可将特殊角的三角函数转化为具体的值，减少角的

个数，或把特殊值（如表当年等）变角，构造适合的公式.

【注意】

⑴注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.

⑵注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

【典例精讲】

例1.（2025•浙江省杭州市•期末考试）已知sinlOO。=a,则sin95。等于（）

A.B.C.2a2-1D.1-2a2

例2.（2025•广东省佛山市•期中考试）若sinx+cosx=2sina,sinxcosx=sin2p,则（）

A.4cos22a=cos22pB.cos22a=4cos22p

B.4cos2a=cos20D.cos2a=4cos20

例3.（2025•湖北省・同步练习）求证：tan^=尹＜=0丝.

21+cosasma

例4.

【拓展提升】

练1”（2025•海南省省直辖县级行政区划•模拟题）（多选）己知tan?=j贝4（）

A.tan（]+：）=3B.tana=[

24

B.sin2a=—D.1+cosa=2sina

25

练1・2（2025•甘肃省黄南藏族自治州•期末考试）（多选）下列式子化简后等于sina的是（）

A.则竺妇警辿B.4s*cos4cosg

2C0Sp442

「2tanjl-cos2a

1+tan2-stn2a

练l・3（2025•广西壮族自治区•单元测试）（多选）下列四个等式其中正确的是（）

.sina1-cosa

A.---------=-......

l+cosasina

B.cosasinp=二（"；一（5

7T

C-.2ncos.z2——silnz-=-

882

D.--=4

sin100cos10°

考点二三角函数的求值

【方法储备】

1,给值(式)求值：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，观察已知角与

所求表达式中角的关系，通过拆角与凑角，利用公式求值.

⑴常见角的变换有：

①2a=(a+0)+(a-S)；②a=(a+夕)一伙③”营一用

④a=呼+1；⑤呼=(a+匀-C+s)；©15°=45°-30°=60°-45。=手；

07-a=?-G+a)^-a=?-fi+a)^+a=?-6-4

+a=n—(今一a),(+a=7T-(乎—a).

⑵当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.

⑶当“己知角”有一个时，分析“所求角”与“己知角”的和或差的关系，利用诱导公式把“所

求角”变成“己知角”.

2.给值求角的步骤

(1)根据条件确定所求角的范围；

(2)求所求角的三角函数值：可选取在所求角的范围内单调的三角函数，防止增解；

(3)结合三角函数值及角的范围求角.

3.解决非特殊角求值问题的基本思路有：

⑴化非特殊角为特殊角；

⑵化为正负相消的项，消去后求值；

⑶化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；

(4)当有a,2a,3a,4a同时出现在一个式子中时，一般将a向2a,3a(或4a)向2a转化，

再求关于2a式子的值.

【注意】

⑴求角时，要注意所求角的范围，并在解题过程中根据三角函数值的正负进一步缩小有

关角的范围，以保证所求角在最小的范围内.

（2）tanatanp,tana+tan0（或terna—tan/?）,£cm（a十夕）（或tcm（a一3））三者中可

以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.

【典例精讲】

例4.(2025•浙江省•模拟题)若0<aV]</?<兀,且cos/?=-1,sin(a+/?)=，则sina的值

是()

A.—B.—C.-D.—

2727327

例5.(2025•浙江省温州市•月考试卷)已知a,夕为钝角，且cosa=二^,sin/?=彳萨，则

a+6=()

A.FB.mC."D.卫

4444

例6.(2025•江苏省南京市•期末考试)已知角a,0满足sina==三cosp=-p且一为<«<

0<p<n.

2产

(1)求sin(2a-0)的值;

(2)求a+号的大小.

【拓展提升】

练2・1(2025•河北省保定市•模拟题)(多选)已知OVaV0V1,且若

r-27

cosacosp=—,tana+tanp=则()

口

A.sin(a+0)=等B.sinasinp=3

10

C.a-p=--D.tana=-

62

练2・2(2025•江苏省南京市•期末考试)已知角a,0满足sina=胃，cosB=—：,且一

a<-,0<p<TT.

2产

(1)求sin(2a—B)的值；

(2)求a+§的大小.

考点三三角恒等变换与三角函数的综合应用

【方法储备】

1.三角函数的多数问题，如求值问题、求角问题、参数问题等，需要先利用三角恒等变

换的相关公式，对三角函数的“角、函数名称、式子结构'进行转化和化归，以达到简化式子、

方便计算或变形，变换的目的.

2.三角形内的恒等变换

(1)三角形内角定理的变形

由A+B+C=凡知A=n—(B+C),2=5—空，可得出：

AR4-C

sinA=sin(B+C),sin-=cos-^-

cosA=—cos(B+C),cos.=

tanA=-tan(B+C).

⑵三角形内较常用的恒等式

©sinA+sinB+sinC=4cos-cos-cos-；

222

②siMA+sin2B+sin2C=2cosAcosBcosC-I-2；

③tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC：

@tan-tan-+tan-tan-+tan-tan--1=0.

222222

【典例精讲】

例7.(2025•广西壮族自治区•单元测试)已知f(x)=cosx(cosx+V~?sinx)在区间：一，m］上

的最大值是:，则实数m的最小值是()

A.—B.-C.--D.-

123126

例8.(2025•贵州省贵阳市•竞赛题)在△ABC中，B=%边上的高等于则

cosA=.

【拓展提升】

练3・1(2。25•浙江省温州巾♦期末考试)已知锐角a,0满足cos(a+20)=?,且吗=

42)1110

sin(a+p),则tana的值为()

A.—B.—C.—D.—

3467

练3-2(2025•山东省聊城市・期中考试)已知甘=(cosx,-1),b=(cos(x-^),l),g(x)=a-

b.

(1)求g(x)在［0,n］上的单调递增区间；

(2)若g(a)=均'aE%坐，求sin2a的值

练3-3(2025•山东省临沂市•月考试卷)设函数f(x)=2COS2X+cos(2x+；)-L

(1)求函数f(x)的周期及单调递增区间；

(2)若f《)=?，a€(0,n)，求f(a+》的值.

新题放送

1.(2025•江苏省•期中考试)已知2MBe是以。为直角的直角三角形./AOC和dBCE是以4C、

BC为边长的等边三角形，变型=寸,sin^FAB=sin^AFG=-

SABCE96513

则COS4FGC=()

A25

A.—B

169凯£D•凳

2.(2025•浙江省•月考试卷)在三角函数部分，我们研究过二倍角公式COS2X=2COS2%-1,我

们还可以用类似方式继续得到三倍角公式.根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC

中，角4,C的对边分别为a,b,c,若4<cosC+4cos3A—3cosA=0,则4tan4d----——-

3tan(B-A)

的取值范围是.

3.(2025•山东省日照市•期中考试)中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广

泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这♦数值也可以表示为2sinl8。.三倍角公式是把形如

sin3a,cos3a等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学

科.

(1)已知cos3a=4COS3Q—3cosa试证明此三倍角公式；

(2)若角a满足叫出=-求空巴的值(已知sin3a=3sina—4sin3a);

cosa2sina''

(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值2sinl8。.

【答案解析】

I.【人教A版必修一552例10P227]

解：••・a,夕均为锐角，且cosa=}cos(a+/?)=-蒋，

:.sina=J1一*=sin(a+£)=1—cos2(a+/?)=

•••cosp=cos[(a+/?)—«]=cos(a+p)cosa+sin(a+p)sina

="(3)+支

7k14y1472

可得sinB='\-cos2夕=三，

•••sin(|7r+2£)=-cos2p=sin2/7-cos2/?=jj

故选：B.

2.【人教A版必修一习题5.5第2题P229]

解：如图，设乙。。口二仇

则CF=2sin6,OF=2cos0,

所以OE=DE=CF=2sin。，

EF—OF—OE—2cos0-2sin0,

设矩形CDEF的面积为S,

则S=CF,EF=2sinG­(2cos6>-2sin8)

/l11\

=4xl-sin204--cos20-

\2227

=2V2sin(26>+-)-2,

4

又•••。<。<”,・2。+深小千)，

••・当立九(2。+：)=1，即。=:时，S取得最大值为2/1-2.

故答案为：2/2-2.

例1.解：vsin100°=a,cosl90°=cos(90°+100°)=-sinlOO0=-a,

.，sin95。=要=后，故选：B.

例2.解：根据题意得,1+2sinxcosx=4sin2a,即sin2%=4siMa—1,

所以2sin2/?=sin2x=4sin2a—1

所以1—2sin2/?=2-4sin2a,

所以cos2/?=2cos2a,

则可得cos?2/?=4cos22a.故选：A.

.ac•aa

a_sin-_2sm-cos-sina

例3.解：证明：tana—_a

2cos-2cos勺71+cosa

2

tan^=^l=2sin^1-cosa

c.aa

2cos-2sin-cos-sina

sina1-cosa

.•・tan-=

21+cosasina

练1/.解：・・,tanS+T)=㈡=3,

・,・选项A正确;

\24/1-tan-

£

tana=--2-t-a-n-%=士，.,•选项B不正确;

1-tanz-3

2sinacosa2tana24

vsin2a=2sinacosa=，:・选项C正确;

sin2a+cos2al+tan2a25

77^=^^=tan7=r即2sina=l+cosa'.•・选项。正确.

故选：ACD.

sin(a+p)+sin(a-p)_2sinacosP

练12解:=sina,A正确;

2cosp2cosp

..aaa.aa

4.sm-cos-cos-=o2sin-cos-=sina,8正确;

4222

噂

2tan-COSy2sin-cos-.〜

厘不=sma,C正确;

1+tan2^一sin2y

1+塞

2

l-cos2a2sina丝^=tana,D错误.

sin2a2sinacosacose

故选：ABC.

练1-3.解：对于A.(1+cosa)(l-cosa)=1-cos2a=sin2a,

葛=8詈成立,故A正确;

sin(a+£)+sin(a-/?)sinacos/?+cosasin/?+sinacos/?-cosasin/?

对于B.=sinacos/?,故B错误;

22

71y/~2

对于22〃一=cos-=——,故错误;

C.cos-8-sin842C

17-3cosLO°-V-^sin100

对于D.--------------------------=------------------------------

sin10°cos100sin100cos10°

_2(cos100cos600-sin10°sin600)_4cos700_4sin200_.故正确

-sin20°sin20°sin20°',

2

故选4Q.

例4.解：由0<av]v/?V7r,知1<戊+/?〈|冗，且cosH=-3sin(a+/?)=(

得sin。=J1—cos2/?=cos(a+/?)=—y/1—sin2(a4-/?)=-

sina=sin[(a+/?)—/?]=sin(a+/?)cos/?—cos(a+0)sin/?

故选C.

例5.解：因为a,0均为钝角，且cosa=一芋,sin0='三

OJLU

所以sina=41-cos2a=—,

cosp=—yj1-sin2p=~

所以cos(a+0)=cosacosp-sinasinp

口、/、AXS>/~2

=(/---2--)X(--3-\-F--)---T-1-0x—T=—,

k57v1071052

因为]<a<<p<TT,

所以TTVa+0V2TT,所以a+B=：ii,

故选D.

例6.解：(1)因为aW(-二巳)，sina=则cosa=7\—sin2a=

2255

【法一】则cos2a=2cos2(x-1=—*.

【法二】贝i]sin2a=2sinaxcosa=2xx—=

555

因为asina=,

则a£(M),2aEG，n),

所以cos2a=-V1—sin22a=--

s

由0G(0,II),cosp=-psinp=71-cos2p=

所以sin(2a—p)=sin2acosp—cos2asin0=x(―^)-(—|)x1=—^

(2)因为COS2g=1+cos,所以COS2R=2_,

''22210

因为0E(0,Tl),所以gW(O,》，所以COS§=♦邛

N44•LU

则sin§=J1-(cos§)2=

P.RC、，7-102XT5、，3＞TTOV_2

则cos(a+=cosa-cos——sina-sin-=——x---------x----=-----

225105102

因为aE(-K),sina=等，则aE(0弓),

又因为0＜与＜%所以:a+f6(0,11),

所以a+§=r

24

练2・1.

解：由tana+ta邛E，得鬻+翳同

所以sinacos/y+cosasin0_7贝『in(a+/?)_7

cosacos/?2cosacos/72

所以sin(a+夕)=gcosacos/?=一^,故4正确;

由］＜a+8V",得cos(a+")=一卷,

^2

贝ijcosacosp—sinasin/?=—J

所以sinasin夕=故B正确;

cos(a—/?)=cosacosp+sinasinp=?,

又七—所以a—6=-，故C错误;

由””号得.("BQ瑞潦哥=-1

所以tana-tan/?=—1-tanatanB

ysinasin(i.35

=-1-"7=-1——=——,

cosacos622

与tana+tan/?=g联立，得tana=%故。正确.

故选：ABD.

练2・2.解：(1)因为sina=Y，-^<a<p

所以cosa=1，

所以sin2a=2sinacosa=2xx泞=

cos2a=1-2sin2a=—|,

因为cos0=—：,0V0<n,所以sin0=I，

所以sin(2a—p)=sin2acosp-cos2asinp

(2)因为sina=--<a<-,所以0Va<2,

5222

因为COS0=—^0<p<IT,

所以]vBvit,故—v\vK所以^va+,VTc,

B

-

又因为COSB=2

r-r.q310VlO.33<10

所以cos2/L=—,cosL=——，sin-=------

210210210

B

-

所以cos(a4-1)=cosacos!2

V-5-2y/~S、/3/^0

二——X-------------------X----------=----------,

5105102

又因为汴a+§vm所以a+；乎.

例7.解：由题知，f(x)=cosx(cosx+x/_3sinx)=cos2x+Usinxcosx

V-3.c.l+cos2x./c.n.,1

=—Sin2x+---=sin(2x+&)+$，

•••xGT，m],

2x+6[—,,2m+

oZo

又：f(x)在[-[m]上的最大值为:

•34

由正弦函数的性质知实数m的最小值满足2m+-=p即!!!=

故选：D.

例8.解：设44BC中角4、B、C、对应的边分别为a、b、c,AD1BC于D,令4D4C=8,

•.•在△ABC中，B=工边上的高4D=九=^BC=LQ,

433

BD=AD=-a,CD=-a,

33

在R£Zk40C中，cos0=—=,3,故sin。=

“CJ(I)2+(刎255

:.cosA=cos(-+6)=cos-cos3—sin-sinO=—x———x

k4744252510

故答案为-邙.

练3-1.解：因为锐角a,B，所以a+20E（0,学）,

因为cos（a+2似=匚，所以a+20=工

24

则a=：-20,

则^^=sin(a+P),则smQ：似=sin-P),

sinp、l，sinB'4「，

则?(cos20—sin2p)=?sin0(cos0—sinp),

则1-2sin2p-2sin0cos[3=sinP(cos0-sin0),

则cosP=3sinp,得tanp=

tan20=2tanp

l-tan2p

tana=tan(H-2P)=l^U

故选：D.

练3-2.解：(l)g(x)=cos(x--)cosx--

32

1V-3112c1

=(-cosx+—sinx)cosx--=-coszx+—sinxcosx--

1+cos2xC111y/~31

=-4—+—sin2xcos2x+—sin2x)--

=-sin(2x+

2,674

要使g(x)单调递增，应有一三+2kn42x+m4弓+2k7T,keZ,

26z

所以一三+kir《x《三+kir,kEZ,

36

又因为X£［0,7T］,所以04X《懑等&X《7T时，g(x)单调递增,

所以g(x)在［0,IT］上的单调递搀区间为［0,，耳，记.

(2)由(1)知，g(x)=^sin(2x+》-%

因为g(a)=t，所以：sin(2a+1-：=N，即sin(2a+5=|.

因为aW(%?),所以2a+16所以cos(2a+：)=—：,

6662665

所以sin2a=sin(2a+合>

<3IT1TT

sin(2a4--)--cos(2a+-)

2

=<3个艮…手

一2

练3-3.解：(l)f(x)=cos(2x+1)+2cos2x-1

71nly/~~3

=cos2xcos——sin2xsin—+cos2x=-cos2x.....-sin2x+cos2x

3322

=|cos2x——sin2x=3cos(2x+g),

所以函数f(X)的最小正周期T=y=7T,

令2kli-IT<2x+-<2kn,kGZ,解得kn——n<x<ku——TT,kGZ,

61212

.•・f(x)单调递增区间为阿一纭口水五一看⑪女GZ；

(2)・・・f《)=qcos(a+.=?,

cos(a+7)=•••a€(0,n),・•・a+]e('(n),

OOODO

•・•cos(a+>=，>0,・•・a+£w(葭)

1—cos2(a+£)=

•••sin(a+-6)=

设t=a+2则。=｛一、cost=：,sint=

6633

f(a+?)=/^cos[2(a+?)+?]=W5cos(2a+fn)

3366

=V^"3cos(2t-^+fTT)=V_~^cos(2t+?)=-V~~3sin2t

362

=—2yT-3s\ntcost=-2V-3xx-=--x/~-6,

339

即f(a+g)=-^A/-6.

L解：己知△40C和4BCE分别是以力C、BC为边长的等边三角形，且登匹=”,

S^BCE9

则拿=亭即祟=崇所以蔡二%

△C4B是三角形内角,

所以sin皿"=|，cos皿8=J1-(乎=£

因为sin^FAB=—,sin^AFG=—

6513

同理，cos^FAB=J1-(1|)2=2|,cos^AFG=J1-(^)2=

再根据图形中角的关系可知NE4G=Z.FAB-^CAB.

cosZ.FAG=cos(Z-FAB—乙CAB)