广东省深圳市某中学2025-2026学年高一年级上册12月月考数学试题

广东省深圳市南头中学2025-2026学年高一上学期12月月考数

学试题

学校:姓名:班级:考号:

一、单选题

1.sin495=<)

A.qD夜

Bc.

2-I22

2./Cv）=log2i+x-7的零点所在区间为（）

A.(1,2)B.(2,3)C.（3,4）D.(4,5)

3.对于实数b,c,d,下列说法正确的是)

A.若则B.若a>上，则ac2>be

ab

C.若a>b,c>d,则。-人一CD.若a>h,c>d,则ac>

4.如图所示的几何图形，设弧力。的长度是4,孤8C的长度是七扇环48。。的面积为1，

则今=（）

A.3B.4C.6D.8

5.若不等式（a-2）/—2（a-2）x-4<0对一切xwR恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.(-«?,-2)kJ(2,+a?)B.(-oo.-2)u[2,+oo)

C.(-2,2)D.(-2,2]

i+tanl5°,

6.:------777的值u为()

1-tan15°

D.4

A.1B-IC.

7.若函数/（x）=lg（at+2）在区间［1,2］上单调递减，则实数。的取值范围是（）

试卷第1页，共4页

A.(y⑼B.(-2,0)C.(-1,0)D.(-2,-1)

8.已知函数=八，则方程/(/。)-2)=2实数根的个数为()

x-+2x+2,x<0

A.6B.7C.10D.11

二、多选题

9.下列说法中，正确的是()

A.命题“DtyeR,V+V之0”的否定是yeR,x2+y2<Oiy

B.f(x)=>lx2-1与g(x)=Jx+lM-l是同一个函数

C.函数/(x)满足/(2X-3)=4X-7,若/⑷=-3,则实数〃=-1

D.函数y=在区间(一处2］单调递增

10.已知函数/(x)=sin,+#1,则下列结论正确的有()

A.函数/("的图象关于点停0)对称

B.函数/("的图象关于直线》=-卷对称

C.函数/("的表达式可改写为/(x)=cos(2x+牛)+1

D.若〃xJ=f(X2)=；,其中玉<々，则/一玉的最小值为年

11.已知3"=5b=15,则下列结论正确的是()

A.Iga>lg/)B.a+b=abD.a+4b>9

c好©

三、填空题

12.计算”+21g2+lg25=---•

13.已知函数/(x)=cos(2x+e)的图象经过点值1),请写出一个符合要求的。的值，则

0=.

试卷第2页，共4页

14.设。为实数，若实数-%是关于％的方程e'+(l-a)x=lna+hix的解，则f—=

5

四、解答题

15.已知全集为R,集合力=卜1r-3%-10<0},集合8=1|/-(4+2b+为〉0,。£R.

(I)若。=一1,求力06,4116：

(2)若。<2,且墨8,求实数。的取值范围.

16.(1)若cos(a-尸)二日，cos2a=，并且夕e(0,兀)，且a<〃，求a+。

的值；

(2)已知，i菁仁，且8s3+5求sina.

17.某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后

会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，己知

工厂内部有毒气体的浓度y(ppm)与应急系统处理时间/(小时)之间存在函数关系

(其中aH>0),且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm,继续

处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm.

⑴求a,2的值：

(2)当有毒气体的浓度降低到粤ppm以下(含粤ppm)时，工厂能够正常运行，假设从

243243

启动应急系统开始经过/小时后，工厂能够恢复正常生产，求/的最小值.

!_1

18.(1)已知工+k=6,求丁+…的值:

x2+X-2

(2)已知tana=3,求5出2口一2$的-851一852a的值;

(3)对于正整数和非零实数x/,z",有y=-+-+~,

求。力,c的值.

r

19.设。为实数，/(x)=log2(4+«)-x.

⑴研究/(x)的奇偶性：

试卷第3页，共4页

(2)是否存在实数。，使得/(x)存在最小值，且其最小值小于-3?若存在，求。的取值范围;

若不存在，说明理由.

试卷第4页，共4页

《广东省深圳市南头中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ADCDDCCDACBC

题号11

答案ABD

1.A

【分析】利用诱导公式化简运算即可.

【详解】sin495°=sin(360°+135°)=sinl35。=sin(180°-45°)=sin45°=^.

故选：A.

2.D

【分析】分别计算各区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断出答案.

【详解】/(”=bg2X+x-7在定义域(0,饮)上是单调增函数，

/(0=log,1-6=-6<0,/(2)=log22—5=-4<C,故函数f(x)在(1,2)不存在零点：

/(3)=log23-4<0,/(2)<0,故函数/(x)在(2,3)不存在零点;

/(3)<0,/(4)=log24-3=-l<0,故函数在(3,4)不存在零点;

/⑸=log25-2>log24-2=0,/(4)<0,故函数/⑶在(4,5)存在零点；

故选：D.

3.C

【分析】可举例判断ABD,由不等式的性质判断C即可.

【详解】若8=1满足但是。<方，故A错误；

ab

若c=(),则破2=儿2,故B错误；

因为C>”，所以又a>b,所以。一4>〃一。，故C正确；

若。=1,b=-2,c=-\,"=一4满足a>6,c>",但是ac<仪/,故D错误.

故选：C.

4.D

【分析】根据题意，由｝=3可得|。川=3|08],再由扇形的面积公式即可得到结果.

»2

/..\OA\■aOAill]

【详解】设/8OC=a,由13,得就£=/=3,即|。4|=3|阿，

答案第1页，共10页

S1—「j画“一画9函-阿

邑1|0砰OB\的

故选：D

5.D

【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解.

【详解】当〃=2时，-4<0恒成立，贝ij“=2；

47-2<0

当"2时,解得一2<。<2,

△=4(a-2)2+16(a-2)<0

所以实数”的取值范围为(-2,2］.

故选：D

6.C

.l+tanl5°tan45°+tan150人人八口n-r

(分析］由------=;------..--结合两角和的正切公式即"J求解.

l-tanl5°I-tan45°tan15°

.、旧m、1+tan15°tan450+tan15°

［1+fflTJ------------=---------------------

1-tan15°1-tan45°tanl5°

=tan(450+15°)=tan60。=5

故选：C.

7.C

【分析】本题考查复合函数的单调性问题，注意对数函数定义域.

【详解】令/=ax+2,贝i」y=lg，，

因为函数/(x)=lg(or+2)在区间［1,2］上单调递减,且y=lgf在定义域内递增,

A<0

所以解得一1<〃<0

2。+2>0

故答案为：C

8.D

【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程/(x)=e2+2,/(x)=e-2+2,/W=2,

/(幻=0的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得.

【详解】令/=/*)—2,则/⑺=2.当/>0时，贝卯n"=2,得，=e?或/=}.

当ZV0时，则〃+2/+2=2,得f=0或，=一2.

答案第2页，共10页

再由即/(x)=/+2,所以原方程/(/(幻-2)=2等价于下面四个方程的根:

f(x)=e2+2——①，/(A)=e-2+2——②，/(x)=2——③，f(x)=0——④.

再由=八，可知函数在(0,1)上单调递减，在工内)上单调递增，

x-+2x+2,x<0

在(-。，-1)上单调递减，在［-1,0］上单调递增，图象如下：

对方程①/*)=寸+2,因为/(幻=。2+2>2,

所以x>0时，|lnx|=e2+2,^lnx=e2+2^-lnx=e2+2>解得x=e。*或x

当x<0时，x2+2x+2=c2+2»得丫=-1-Je'l或x=-l+Je?+l(舍去).

所以方程/(x)=e2+2共有3个根.

对方程/(x)=e"+2——②，因为/(x)=e-2+2>2.

所以x>0时，|lnx|=e"+2,得lnx=e"+2或一lnx=eC+2,解得x=e。"?或工=下。'：

当x<0时，x2+2x+2=e~2+2,Wx=-l-7c-2+1x=-1+(舍去).

所以方程/(x)=L+2共有3个根.

对于方程〃x)=2—③，

所以x>0时，|lnx|=2,得lnx=2或-lnx=2,解得.”62或》=6"；

当人v0时，/十2式十2=2，得入=0或八=一2.

所以方程八幻=2共有4个根.

对于/。)=0—一④，由函数的图象可知方程有唯一的根x=l.

综上所述，方程的根共有3+3+4+1=11个根.

故选：D.

9.AC

【分析】根据全称量词命题的否定自按判断A；根据相同函数的概念即可判断B；利用换元

答案第3页，共10页

法求函数解析式即可判断C：根据复合函数的单调性即可判断D.

【详解】A：命题“女,”1<一+»220”的否定为“配”1<./+/<0"，故A正确:

B：由戈2_1之0,解得xw—1或"1,所以/⑸的定义域为(e,T5L+8)；

(x+\>0

由八八，解得XN1，所以冢幻的定义域为工的)，

x-1>0

则/(X)与g。)的定义域不问，所以/(X)与8。)不是问一函数，故B错误；

C：令。=2X一3,贝i」x=3^J(q)=2m+3)-7=2Q-1=-3,

解得。=-1,故C正确；

D：易知函数y=(')"在R上单调递减；

对于函数y=x2-x+3=(x-；)2+2,对称轴为x=；,

则该函数在(-*》上单调递减，在弓,2］上单调递增，

所以函数y=(»在(r,；)上单调递增，在2］上单调递减，故D错误.

故选：AC

10.BC

【分析】利用检验法将x=5，x=代入，即可验证A错误和B正确，由诱导公式结合

余弦函数的周期性得加,+知=网2.叶詈)，所以C正确，根据/3=；求出对应的X

的通解，找相邻解的最小差值，即可判断D正确.

【详解】A选项，将户会弋入可得/E)="g+沙=1,所以函数/(x)的图象关于

点对称，故A选项错误；

B选项，由于sinj•+W［=sin(V〕=7,故函数/(1)的图象关于工=-第对称，B选项

止确；

C选项，利用诱导公式得sin(2x+］卜cos：(2%+习=cos(2x+(=cos(2x-；

再结合余弦周期性得cos(2x司71=cos(2x-*+2+4

2V+雪

66)

IE]

因此/(x)=cos2x+vj+1,所以选项c正确;

答案第4页，共10页

D选项，由/(x)=L得，如上工+李二一!，解得2x+?=24乃一百或2AN+4(A”Z),

213y/2366

即x二上乃一;或kit+^("wZ)，则

区-力=1勺兀须哈]=](占-⑥兀§，(人口)，(马-玉)*=],D错误.

故答案为：BC.

11.ABD

【分析】利用指数函数的单调性推导出。>2>方>1,结合对数函数的单调性可判断A选项;

利用换底公式可判断B选项;利用指数函数的单调性可判断C选项;将代数式。+4/)与L+!

ah

相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为3。=5〃=15,因为3“=15>32,则a>2,

5<15=5A<2,5=52.则1<6<2,所以,a>2>b>\,故lga>lgb,A对:

对于B选项，因为3"=5'=15，则a=log315,/)=log$15,

=lo5

所以，-=log|S3»7^i5♦则，+：=log”3+log於5=log]515=l,

aban

所以，邛=1,可得a+b=ab,B对；

an

对于C选项，因为则仁[<偿，C错;

对于D选项，因为,+?=1,所以，a+4b=(a+4b)[，+1]=5+9g

abyan)an

,—=9,

b

当且仅当竺=*时，即当。=26时，等号成立,

ab

21g5lg!5_Igl5^lg15

2b=2log515==log315=4

事实上,怆5451g后lg3

所以，等号不成立，故。+4b>9,D对.

故选：ABD.

12.6

【分析】根据指数幕运算公式和对数运算性质计算即可.

223乂2

【详解】8i4-21g2+lg25=(23)3+21g2+21g5=2Xi+2(lg2+lg5)=22+2=6

答案第5页，共10页

故答案为：6.

13.-y(答案不唯一)

【分析】将点(看】代入，(x)=cos(2x+。)，利用余弦函数的图象和性质，求值即可.

【详解】由题意：cos(,+0)=ln]+0=2版，AGZ.

所以。=2履一AGZ.

所以o的值可以为：-々，-

JJ

故答案为：(答案不哇一)

14.1

【分析】由4+(1-°*=1皿+丘,得eHnox+e『构造函数〃4)=e，+x,由〃x)的

单调性，可得or=e'.因为实数%是关于x的方程e'+(l-。)x=lM+hu的解，所以内°=炉。，

ex°

由此可得——=1.

60

【详解】由。'+(1-4)4=111。+111丫，ex+x=Inax+ax,即e'+x=Inor+e””.

令/(x)=erx,则〃x)=/(lnox)

易得/(x)是增函数，所以x=lnav,即or=e'.

rxlnar

实数y是关于x的方程c+(l-«)x=\na+Itu的解，则题是方程c+x=lnax+c的解，即

方程or=e*的解.

所以也=e",所以J=l.

0^0

故答案为：1

15.(l)/ns={x|-2<x<-l或2cx<5},力U8=R；

(2)-2<a<2.

【分析】(1)把。=-1代入，分别解一元二次不等式化简集合48,再利用交集、并集的定

义求解.

(2)求出集合用今力，再利用集合包含关系列式求解.

答案第6页，共10页

【详解】(1)解不等式/一3.・10<0,得一2Vx<5,则彳={x|—2<x<5},

当q=_]时，5={x|x2-J-2>0}={x|(x+l)(x-2)>0}={x|x<-1或x>2},

所以<n8="|-2<x<—l或2Vx<5},4U8=R.

(2)由(1)知4力={1|》4-2或d5},

由o<2,W/?={x|(x-t7)(x-2)>0}={x|x<«n£x>2},

由44三4,得一2＜。＜2.

所以实数。的取值范围是-2＜。＜2.

【分析】（1）根据同角三角函数之间的基本关系计算可得sin（a-尸）=-平，sin2a=粤

再由两角差的余弦公式计算可得结果.

求出）的值，根据nn

（2）先由cos（a+］的值,sina+msina=sinj+——一展开求解.

33

【详解】(1)由ae(o^),/?e(O,H),且W-z<a-/?<0,

又cos(a-P)=>—，所以sin(a-4)=-^1-cos2(a-/?)=--旧,

55

因为cos2a=m0>0,则。<2=<三，0<a<-y,所以sin2a=Jl-cos22a=,

102410

所以

cos(a+夕)=cos[2a-(a-4)]=cos2acos(a-/?)+sin2asin(a-

710MVTo275y[2

=-----X---------------X-------=-------，

1051052

而0<a<三,则0<。+〃<半，所以a+〃=¥；

444

又哪片二-争则"呜》？

(2)由ae(0,'

而

N/31(瓜\仆房3近

----X-------------X------=-------------

3213J26

答案第7页，共10页

17.(1)67=243,2=1

(2)20

【分析】（1）将两组条件分别代入解析式，得到方程组，求解即得；

（2）依题，使（1）中求出的解析式小于黑，解不等式即得.

243

，2

“q产=162①②，g।

【详解】（1）依题意可得，；，由高可得：6）"=2，即62=3,故义=彳,

“.守=48②①3272

262.]

代入①，a~=~~=?4\故a=243,2=；.

32

（2）令243.⑶晨吗,即得（郅/2丫,因），二（马、是减函数，

13厂243⑴一⑺」

则（210,解得/之20,故/的最小值为20.

18.（1）—；（2）-；（3）〃=21=5,c=7

175

【分析】（1）根据条件，利用指数累的运算，即可求解；

（2）根据条件，已知121!々=3,构造齐次式，同除8$20,即可求解：

（3）根据条件，利用指XT数互换和换底公式得'=独巴，'=处殳*,_1=/£，再结

x/ytzt

合条件得Me=70,即可求解.

【详解】（1）易知:+xT>0，且/=x+2+—=8,所以%+；3=2贬，

又由x+x~l=6»得+=x2+2+x~2=36,

所以J+X-2=34,则翻+X2=2.二五.

x2+x-23417

sin2a-2sincrcoscr-cos2a

（2）原式=

sin2er-f-cos2a

tan2a2tana-l_9-2x3-l_1

tan2a+\9H5

(3)由0*=//=1=70’，得到x=floga70,y=t\Q^h70,z=tIogt.70,

所以।二।二bgio"1二1二1二1二bg"

加"xMogu70t'y/log,,70t'zrlogt.70t

答案第8页，共10页

所以1।1।1JogMa+logiM+log?。/Jog7o("c),又