高考数学复习二轮讲练：立体几何小题常考全归类（原卷版）

专题07立体几何小题常考全归类

【命题规律】

高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二

是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上.

【核心考点目录】

核心考点一：球与截面面积问题

核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题

核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题

核心考点四：立体几何中的交线问题

核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题

核心考点六：空间角问题

核心考点七：轨迹问题

核心考点八：以立体几何为载体的情境题

核心考点九：翻折问题

【真题回归】

1.（2022•北京•高考真题）已知正三棱锥尸-48c的六条棱长均为6,S是V//C及其内部的点构成的集

合.设集合7={。€3俨。45},则T表示的区域的面枳为（）

A.—B.用C.2乃D.3冗

4

2.（2022・浙江•高考真题）如图，已知正三棱柱ABC-48cMe=44,E,产分别是棱8C,4G上的点.记

EF与44所成的角为a,E/与平面48C所成的角为尸，二面角尸-8C-4的平面角为7,则（）

A.a<p<yB.P<a<yC.P<y<aD.a<y<p

3.（多选题）（2022♦全国・高考真题）如图，四边形ABCD为正方形，EO_L平面ABCD,FB〃ED、AB=ED=2FB,

记三棱锥E-4CQ,F-ABC,产的体积分别为。匕，匕，则（）

£

A.匕=2匕B.匕=匕

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

4.（多选题）（2022•全国•高考真题）已知正方体力8。-力6G。，则（）

A.直线8c与。4所成的角为90°B.直线8G与C4所成的角为90。

C.直线30与平面88ao所成的角为4301）.直线6G与平面/AC。所成的角为45。

5.（多选题）（2021•全国•高考真题）在正三棱柱/18C-44G中，力〃=14=1，点尸满足

BP=3BC+RBB1,其中A€[0,1],则（）

A.当4=I时，△，场尸的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥48c的体积为定值

C.当a二3时，有且仅有一个点尸，使得4尸_LBP

D.当〃时，有且仅有一个点P,使得441平面力名尸

6.（2020•海南•高考真题）已知直四棱柱/出。/力的棱长均为2,N历10=60。.以。为球心，加为

半径的球面与侧面BCC,B!的交线长为.

【方法技巧与总结】

1、几类空间几何体表面积的求法

（1）多面体：其表面枳是各个面的面积之和.

（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和.

（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补.

2、几类空间几何体体积的求法

（1）时于规则几何体，可直接利用公式计算.

（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，

有时可采用等体积转换法求解.

（3）锥体体积公式为＞=在求解锥体体积时，不能漏掉

3、求解旋转体的表面枳和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆

锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.

4、球的截面问题

球的截面的性质：

①球的任何截面是圆面；

②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；

③球心到截面的距离d与球的半径灯及截面的半径尸的关系为#/.

注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数

量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素

之间的关系），达到空间问题平面化的目的.

5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的

面积和体积的最信：二是空问几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最佰：三是在空间几何

体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系.

6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关

系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求

最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某

些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模8se=cosacos/

为平面的斜线与平面内任意一条直线/所成的角，。为该斜线与该平面所成的角，夕为该斜线在平面上的射

影与直线/所成的角）.

7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力,

即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素

养.

8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法.对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中

的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，

熟悉平面图形（直线、圆、圆锥由线）的定义.二是代数法（解析法）.在图形中，建立恰当的空间直角坐

标系或平面直角坐标系.

9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：

（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；

（2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；

（3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等.

10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来

解决问题.图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所

[]

读出的信息进行提升，实现“图形T文字一符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图

形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起：四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去

阅读图形.

【核心考点】

核心考点一：球与截面面积问题

【规律方法】

球的截面问题

球的截面的性质：

①球的任何截面是圆面；

②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；

③球心到截面的距离d与球的半径/?及截面的半径『的关系为4=产+.

【典型例题】

例I.（2022・全国•高三阶段练习）己知四棱锥的底面48CQ是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球

f-1」—111111

。的球面上，平面力8CQ,PA=AB=6，BC=2，点、E在棱PB上,旦EB=2PE，过七作球。

的截面，则所得截面面积的最小值是.

例2.（2022•湖北省红安县第一中学高三阶段练习）球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，

球。।的半径为10,尸,0为球Q表面上两动点，『。=16,“为线段段的中点.半径为2的球。2在球01的内壁

滚动，点48,。在球。表面上，点。2在截面48c上的投影〃恰为力。的中点，若02H=1,则三棱锥

M-ABC体积的最大值是.

例3.（2022•江西•高三阶段练习（理））如图，正方体力8。-48GA的棱长为6,点尸是C。

的中点，则过用，E,/三点的平面。截该正方体所得截面的面积为.

D尸C

例4.（2022•北京市十一学校高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体力中，M,N分别是

棱4与4Q的中点，点户在线段CW上运动，给出下列四个结论：

①平面CMN截正方体所得的截面图形是五边形；

②直线到平面CMV的距离是立：

2

③存在点人使得/8/〃=90。；

④△PZ）A面积的最小值是竽.

其中所有正确结论的序号是.

核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题

【规律方法】

几类空间几何体体积的求法

（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算.

（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三凌锥,

有时可采用等体积转换法求解.

（3）锥体体积公式为在求解锥体体积时，不能漏掉

【典型例题】

例5.（2022•河南省实验中学高一期中）如图，在正方体中，AB=2,M,M分别为

4。，4G的中点，E,尸分别为棱。。上的动点，则三棱锥M-Nb的体积（)

A.存在最大值，最大值为gB.存在最小值，最小值为:

4

c.为定值TD.不确定，与E,厂的位置有关

[]

例6.（2022•山西运城•模拟预测（文））如图，正方体力8CQ-4产£〃的极长为1，线段上有两个动点

E,F,且痔=；,点尸，。分别为4牛的中点，G在侧面CQAG上运动，且满足4G〃平面。。尸。,

以下命题错误的是（）

A.AR}JLEF

B.多面体力后移।的体积为定值

C.侧面CDAG上存在点G,使得qG1C'。

。.直线瓦G与宜线8c所成的角可能为g

O

例7.（2022・全国•高三专题练习）如图所示，在正方体力6CQ-44CQ中，过对角线明的一个平面交加

于E，交CC、于F,给出下面几个命题：

0__________________C,

①四边形价一定是平行四边形;

②四边形9刀或有可能是正方形;

③平面阳空）£有可能垂直于平面：

④设。厂与。。的延长线交于。卢与。力的延长线交于M则M、N、A三点共线;

⑤四棱锥瓦-BFD.E的体积为定值.

以上命题中真命题的个数为（）

A,2B.3C.4D.5

核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题

【规律方法】

几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐

标系，利用点的坐标表示所求软的目标函数，借助函数思想方法求最值

【典型例题】

例8.（2022•全国•高三专题练习）如图，正方形石产G4的中心为正方形"8的中心，AB=2五,截去如

图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥P-E产G”（A,B,C,。四点重合于点P）,则此四棱锥的体

积的最大值为（）

D・日

例9.（2022•江西南昌•三模（理川已知长方体力中，AB=2,RC=2五,44=3,P为矩

形内一动点，设二面角P-。为。，直线心与平直48CO所成的角为/，若a=「，则三棱锥

48G体积的最小值是（）

A.V2B.372-1C.—D.—

22

[]

例10.（2022•浙江•高三阶段练习i如图，在四棱锥〃中，底面是边长为26的正方形,

0E=QQ=0G=2〃=4,M为0G的中点.过而作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的

体枳分别为匕，匕，则J的最小值为（）

。

例11.（2022•河南省实验中学高一期中）如图，在正方体力中，AB=2,M,N分别为

4",4c的中点，E,尸分别为棱CO上的动点，则三棱锥M-N£产的体积（）

A.存在最大值，最大值为gB.存在最小值，最小值为g

4

C.为定值gD.不确定，与E,厂的位置有关

核心考点四：立体几何中的交线问题

【规律方法】

几何法

【典型例题】

例12.（2022•浙江宁波•一模）在校长均相等的四面体中，P为棱4D（不含端点）上的动点，过点力

的平面a与平面P8C平行.若平面a与平面力8D,平面4CO的交线分别为m,〃，则〃?，〃所成角的正弦

值的最大值为.

例13,（2022•全国♦高三专题练习）已知一个正四面体的棱长为2,则其外接球与以其一个顶点为球心，I为

半径的球面所形成的交线的长度为

例14.（2022・福建福州•三模）已知正方体”CD-43£A的棱长为方,以4为球心,半径为2的球面与

底面48co的交线的长度为.

例15.（2022•陕西•武功县普集高级中学高三阶段练习（理））如图，在四面体力8CQ中，04,DB,DC

两两垂直，DA=DB=DC=6,以。为球心，1为半径作球，则该球的球面与四面体/18CO各面交线的长

核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题

【规律方法】

几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐

标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值

【典型例题】

例16.（2022•全国•高三专题练习;已知正三棱锥S-48C的底面边长为血，外接球表面积为3乃，

5人<近，点M，N分别是线段48,/1C的中点，点P,。分别是线段SN和平面SCM上的动点，则力尸+尸。

的最小值为（）

.2y/6-yflR瓜+近3>/2yfl

A.---------o-------rC.---Un.

4442

UUMULXI

例17.（2022・全国•高三专题练习；在棱长为3的正方体力8CO-4瓦CQ中，点£满足«E=2Eq,点尸在

平面BCQ内,则|4尸|+怪尸|的最小值为（）

A.>/29B.6C.屈D.7

[]

例18.（2022・全国•高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，44=1,AB=BC=6,

贝IJ4P+尸G的最小值为（

C.I+V3D.3

核心考点六：空间角问题

【规律方法】

1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角

形的内角，然后通过解三角形求得.求解的一般步骤为：

（1）作图：作出空间角的平面角.

（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的.

（3）计算：在证明的基础上计算得出结果.

简称：一作、二证、三算.

2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法“，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某

个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.

3、求直线与平面所成角的常见方法

（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所

成的角即为所求.

（2）等积法：公式sine=，，其中。是斜线与平面所成的角，〃是垂线段的长，是斜线段的长，其中

求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求

垂线段的长.

（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90。.

4、作二面角的平面角常有三种方法

（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所

成的角，就是二面角的平面角.

（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的

点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.

（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就

是二面角的平面角.

【典型例题】

例19.（2022•浙江金华•高三期末）已知正方体力4。。-力圈6；。］中，P为△NCR内一点，且

S△超。设直线尸。与4cl所成的角为。，则cos。的取值范围为（）

A.0,B.C.D.

例20.（2022•浙江•效实中学模拟预测）在等腰梯形”8中，，4D〃8C,AB=AD=CD=；BC,AC交

BD于O点、,△48。沿着直线E。翻折成V4/。，所成二面角4-AO-C的大小为0,则下列选项中错误的

是（）

C.NAQCSBD.^A,BC+ZA}DC>0

例21.（2022•浙江•湖州中学高三阶段练习）如图，中，ZC=90°,AC=\,BC=6，D为AB边

上的中点，点M在线段8。（不含端点）上，将V3CW沿CM向上折起至△"CM,设平面*CM与平面

4cM所成锐二面角为直线MT与平面4WC所成角为夕，直线MC与平面夕。1所成角为丫，则在翻折

过程中，下列三个命题中正确的是（）

[]

A.①B.®®C.②®D.①③

例22.（2022・浙江•高三专题练习）已知等边V48C,点瓦厂分别是边力反力。上的动点，且满足E产〃3C,

将△/所沿着石尸翻折至尸点处，如图所示，记二面角2-石尸-^的平面角为。，二面角尸-FC-4的平面

角为夕，直线P/与平面EFC8所成角为了,则（）

a>y>pC.p>a>yD.P>y>a

例23.（2022•全国•高三专题练习）设三棱锥P-48。的底面是正三角形，侧棱长均相等，尸是极K4上的点

（不含端点），记直线弘与直线4c所成的角为。，直线P8与平面48c所成的角为夕，二面角UB

的平面角是7则三个角。，/，7中最小的角是（）

A.aR.pC.YD.不能确定

核心考点七：轨迹问题

【规律方法】

解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法.对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的

不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟

悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义.二是代数法（解析法）.在图形中，建立恰当的空间直角坐标

系或平面直角坐标系.

【典型例题】

例24,（2022•北京•昌平一中高三阶段练习）设正方体4BCQ的棱长为1,E,尸分别为44,BR

的中点，点“在正方体的表面上运动，且满足尸M_LOE,则下列命题：

①点加可以是棱力。的中点;

②点加的轨迹是菱形；

③点.”轨迹的长度为2+石；

④点M的轨迹所围成图形的面积为立.

2

其中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

例25.（2022・全国•高三专题练习）已知正方体力8CQ-44CQ的边长为2,点E,产分别为棱CQ,的

中点，点P为四边形CQAG内（包括边界）的一动点，且满足4尸〃平面8七八则点尸的轨迹长为（）

A.J2B.2C.—D.1

2

例26.（2022•全国•模拟预测（理：）如图，在四棱锥尸-力8CO中，底面44co是边长为2的正方形，PAL

平面N4CD且PA=2,点E,F,G分别为棱48,AD,PC的中点，下列说法错误的是（）

B.直线"7和直线所成的角为W

C.过点E,F,G的平面截四棱锤尸-4BC。所得的截面为五边形

D.当点r在平面48C。内运动，且满足△/GT的面积为3时，动点r的轨迹是圆

例27.（2022・浙江温州•百三开学考试）如图，正方体"G，尸为平面8乃。内一动点，设二面角4-8A-P

的大小为2，直线4尸与平面所成角的大小为夕.若cos/7=sina,则点P的轨迹是（）

[]

C.椭圆D.双曲线

例28.（2022・全国・高三专题练习）如图，正方体4?。。-/8'。7）'中，必为5。边的中点，点尸在底面彳8&。'

和侧面CQQ'C'上运动并且使乙以C'=NPZC'，那么点。的轨迹是（

B.两段椭圆弧

C.两段双曲线弧D.两段抛物线弧

核心考点八：以立体几何为载体的情境题

【规律方法】

以立体几何为载体的情境题都跟图形有关,涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决

问胭.图形怎么阅读？一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读

出的信息进行提升，实现“图形―文字T符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形

的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起：四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅

读图形.

【典型例题】

例29.（2022•宁夏•平罗中学高三阶段练习（理））设P为多面体时的一个顶点，定义多面体M在P处的离

散曲率为1_，_（/0尸0+/£尸&+…+/QPQJ其中0G=1.2.3…,人3）为多面体例的所有与点尸相邻的

顶点，且平面0/Q,02Po3,……，4Pg遍及多面体M的所有以产为公共点的面如图是正四面体、正

八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a,b,c,d,则a,6,c,〃的大

小美系是（）

正四面体正八面体正十二面体正二十面体

A.a>b>c>dB.a>h>d>c

C.b>a>d>cD.c>d>b>a

例30,（2022•广东・广州市从化区第三中学高三阶段练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空

间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于24与多面体在该点的面角之和

的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的

总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是（，所以正四

面体在每个顶点的曲率为2;r-3x?=;r,故其总曲率为4不.给出下列三个结论:

①正方体在每个顶点的曲率均为［；

②任意四棱锥的总曲率均为44；

③若某类多面体的顶点数P,棱数E,面数/满足/=2,则该类多面体的总曲率是常数.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②@D.①②③

例31.（2022•辽宁•沈阳二十中三模）我国南北朝时期的著名数学家祖眶原提出了祖晅原理：“黑势既同，则

积不容异意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截

面面积都相等，则这两个几何体的体枳相等.运用祖胞原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球

的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶

点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可

证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即

[]

!%=4屋/?-!乃/4/=］乃/?3.现将椭圆£+虫=1绕歹轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类

232349

比上述方法，运用祖瞄原理可求得其体积等于（）

图3

D.16乃

例32.（2022•全国•高三专题练习1将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为。，S为此时太

阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），。为该地的纬度值，如图.已知太阳每年直射范围在南

北回归线之间，即,5e卜23。26',23。261.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度

为北纬39。5甲27”，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）

A.北纬5。5力B.南纬5。5'27"

C.北纬5。5'33"D.南纬5。5'33"

核心考点九：翻折问题

【规律方法】

1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度咖些发生改变，哪些保持不变.

2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学木质.

【典型例题】

例33.（2022•全国•高三专题练习）如图，已知四边形彳8CQ,是以为斜边的等腰直角三角形，

△月8。为等边三角形，BD=2,将△48。沿对角线8。翻折到△尸8。在翻折的过程中，下列垢论中不•正•确•

的是（）

A.BD1PCB.。。与8C可能垂直

C.直线DP与平面8CQ所成角的最大值是45。D.四面体尸8c。的体积的最大是且

3

例34.（2022•浙江•杭州高级中学模拟预测）如图,已知矩形48。的对角线交于点旦刖=x,8C=l,将

△48。沿8。翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CE,则x的取值范围是（）

A.0<x<V3B.0<x<y/2

C.0<x<lD.（）<X<y/6

例35.（2022•全国•高三专题练习）如图1,在正方形ABCD中，点E为线段8C上的动点（不含端点）,将VAM

沿花翻折，使得二面角8-4E-D为直二面角，得到图2所示的四棱锥4-花8,点尸为线段8。上的动

点（不含端点），则在四楂锥8-/EC。中，下列说法正确的是（）

图1图2

A.8、石、。、厂四点一定共面

B.存在点尸，使得W〃平面以后

C.侧面8EC与侧面的交线与直线相交

D.三棱锥B-/OC的体积为定值

例36.（2022•全国•高三专题练习）已知直角梯形/4C'。满足：AD//BC,CD1DA,且△力4C为正三角

[]

形.将△4)C沿着直线4C翻折至△47C如图，且/ID'VBDyCD',二面角。'-力比C、D'-B。A、D1-AC-B

的平面角大小分别为a，6曲直线。'力，D'B,。'。与平面力8。所成角分别是仇，%，/，则()

A.，>&>&，OI>Y>P

B.a>/3>r

C.a<p<y

D.a<p<Y

【新题速递】

I.(2022・安徽•高三阶段练习)如图，在棱长为。的正四面体48co中，点A，G，Q分别在棱力民力C力。上,

且平面4G。9平面〃CO,4为△88内一点，记三棱锥4一用GQ的体积为P,设斐•=%，关于函数

AD

A.VX)€^0,113X2€|,11,使得/&)=/&)

B.函数/(x)在(；」)上是减函数

C.函数/(x)的图象关于直线x=g对称

D.3XOG(0,1),使得/(%)＞］嗫他(其中嗫田。为四面体力8CZ)的体积)

6

2.(2022•重庆市长寿中学校高三阶段练习)如图所示，在直角梯形4。£尸中，NCBF=NBCE=90°,A、D

分别是"、CE上的点，，4Q//8C,且4B=DE=2BC=24F（如图I）.将四边形4OE尸沿力。折起，连接

BE、BF、CE（如图2）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（）

图1图2

①<C//平面4£户：

②8、C、E/四点不可能共面；

③若EFta：,则平面力QE尸_L平面力8CZ）：

④平面BCE与平面BEF可能垂直.

A.1B.2C.3D.4

3.（2022•四川•成都市第二十中学校一模（理））如图，在棱长为2的正方体中，

E、尸、G、〃、户均为所在棱的中点，则下列结论正确的有（）

①棱上一定存在点。，使得。C，R。

②三棱锥厂-£777的外接球的表面积为阮

③过点E,F,G作正方体的截面，则截面面积为36

④设点M在平面88CC内，且4M〃平面/1GH,则4M与所成角的余弦值的最大值为延

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2022•四川•成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司噗拟预测（文））在棱长为2的正方体

48CD-48cA中，N为的中点，点尸在正方体各棱及表面上运动且满足力尸_LCN,则点尸轨迹所困

成图形的面积为（）

A.2石B.4A/2C.26D.4

5.（2022・上海市实验学校高三阶段练习）直线〃?JL平面。，垂足是。，正四面体48。的棱长为4,点。

在平面。上运动，点Z?在直线加上运动，则点O到宜线的距离的取值范围是（）

[]

-472-54&+5-

A.B.[2^-2,272+2]

22

C.D.[3V2-2,3V2-2]

6.（2022・湖南•模拟预测）正三棱柱力3C-44G的底面边长是4,侧棱长是6,M,N分别为的

中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP〃平面4及N,则动点P的轨迹面积为（）

A.573B.5C.V39D.726

7.（2022•山西・高三阶段练习）已知正方体协CQ-4圈CQ的顶点都在表面积为12兀的球面上，过球心。的

平面截正方体所得的截面为一菱形，记该菱形截面为S,点P是正方体表面上一点，则以截面S为底面，以

点P为顶点的四棱锥的体积的最大值为（）

875

A.-B.—C.2D.一

333

8.（2022•浙江•高三阶段练习）在△044中，O4=®〃M8=120。.若空间点P满足“以「《、⑺.，则直

线。P与平面048所成角的正切的最大值是（）

A.B.-C.-D.1

323

9.（多选题）（2022•云南曲靖•高三阶段练习）已知正方体48CQ-48GA的棱长为1,点户为侧面8CC4

内一点，则（）

LLLT1IUJ

A.当。|尸=：。乃时，异面直线CP与力。所成角的正切值为2

LUL1

B.当Cf=4。石（0</1<1）时，四面体Q/CP的体枳为定值

C.当点尸到平面48CO的距离等于到直线的距离时，点2的轨迹为抛物线的一部分

uir1Ilir

D.当C/=QG8时，四面体8CDP的外接球的表面积为3乃

10.（多选题）（2022•辽宁•本溪高中高三阶段练习）如图，矩形8DE/所在平面与正方形48CZ）所在平面互

相垂直，AD=DE=2,G为线段4E上的动点，则（）

A.AELCF

Q

B.多面体/的体积为,

J

C.若G为线段NE的中点，则GB〃平面CM

r-

D.点M,N分别为线段力凡力。上的动点，点7在平面8CF内，则阿r|+|NT|的最小值是处

3

11.（多选题）（2022•广东•东涌中学高三期中）如图,已知正方体力BCD-44GA的棱长为1,E,F,G

分别为AD,的中点，点/＞在4G上，平面E尸G,则以下说法正确的是（）

C.直线4片与平面EFG所成的角的正弦值为当

D.过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是入回

12.（多选题）（2022・安徽•阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知V48C为等腰直角三角形，

AB-AC,其高乂。-3,E为线段6。的中点，将V44C沿4。折成大小为:的二面角，连接

BC,形成四面体动点尸在V/4CZ＞内（含边界），且尸E〃平面力BC,则在e变化的过程中（）

A.AD1BC

B.E点到平面力。。的距离的最大值为逑

2

C.点P在内（含边界）的轨迹长度为加

D.当8P_L4C时，4尸与平面4X7所成角的正切值的取值范围为［2&,+oo）

13.（多选题）（2022•江苏省泰兴中学高三阶段练习）棱长为1的正