新高考数学解答题核心考点预测：立体几何中的探索性问题（原卷版）

第11讲立体几何中的探索性问题

高考预测一：动态问题

1.如图，在四棱锥A4c。中，底面44co为直角梯形，AD//BC,ZADC=90。，平面底面A4C。,

Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2,BC=^AD=1,CD=y/3.

（I）若点M是棱PC的中点，求证：PA//平面8WQ；

（H）求证：若二面角M-4Q-C为30°,试求丝的值.

2.如图，AE_L平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD1AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

（I）求证：8///平面ADE；

（II）求直线CE与平而双汨所成角的正弦值;

浮求线段c厂的长.

1

3.如图，在四棱锥中，已知%_L平面A8CZ），且四边形A8C。为直角梯形，NABC=4BAD=%,

2

PA=AD=2,AB=BC=1.

（1）求点。到平面心。的距离；

（2）设Q是线段第上的动点，当直线CQ与。P所成的角最小时，求二面角的余弦值.

高考预测二：翻折问题

4.如图，AfiCD是等边三角形，AB=AD,N840=9O。，将ABCD沿8。折直到△8。。的位置，使得

ADLC8.

（1）求证：ADA.AC；

（2）若M,N分别是BD,CA的中点，求二面角N-AM-B的余弦值.

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5.图1是由矩形AD£B、RtAABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中/W=l,BE=BF=2,

NFBC=60。.将其沿4?,AC折起使得跖与初7重合，连结DG,如图2.

（2）求图2中的二面角A-CG-A的大小.

6.正方形48CZ）的边长为2,E,尸分别为AD,8c的中点，以。尸为折痕把ADR7折起，使点C到达

点P的位置，平面阳'!.平面AMD.

（1）证明：PF工平面PD£；

（2）求二面角4一人「一。的余弦值.

7.如图，在AA4C中，ZB=-,AB=BC=2,尸为4?边上一动点，PD1/BC交AC于盘D，现将APD4

2

3

沿翻折至使平面PDA'J"平面PBCD.

（1）当棱锥/VPAC。的体积最大时，求PA的长；

（2）若点夕为A3的中点，E为AC的中点，求证：。石，平面4次？.

8.如图（1）,在RtAABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,。、E分别是AC、48上的点，且DE/IBC,

将A4DE沿。七折起到△4OE的位置，使4D_LC。，如图（2）.

（1）求证：8C_L平面A?C

（2）当点。在何处时，三棱锥A-BC。体积最大，并求出最大值；

（3）当三棱锥A,-区。。体积最大时，求8E1与平面4/3c所成角的大小.

9.如图（1）,在RtAABC中，ZC=9C）°,3c=3,AC=6,D,E分别是AC,A〃上的点，&DE//BC,

DE=2.将AADE沿。E折起到△4£>E的位置，使AC_LCD,如图（2）.

4

(【)求证：。石//平面48。;

(H)求证：AC_L5E；

(IH)线段/V。上是否存在点产，使平面。正，平面若存在，求出。方的长；若不存在，请说明理

由.

10.如图I,ZACB=45%BC=3,过动点A作AOJLBC,垂足。在线段8C上且异于点3,连接

沿AD将AA8。折起，使N3DC=90。(如图2所示).记V(x)为三棱锥A—BCD的体积.

(1)求叭x)的表达式;

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(2)设函数/(x)=±V(x)+2x,当x为何值时,f(x)取得最小值，并求出该最小值;

X

(3)当f(x)取得最小值时，设点EM分别为校6C,AC的中点，试在校C。上确定一点N,使得EN±BM,

并求EN与平面BMN所成角的大小.

高考预测三：存在性问题

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11.如图，在四棱锥。—AAC。中，平面RU）_L平面AAC。，PA1PD,PA=PD,AB1AD,/W=l,40=2,

AC=CD=E

（1）求证：PD_L平面P48；

（2）求直线P8与平面PC。所成角的正弦值；

（3）设AM=/IAP（O领儿1）,是否存在实数4使得8M//平面PC。？若存在，求义的值；若天存在，说明

理由.

12.在如图所示的几何体中，四边形A8C7）为正方形，孙，平面48。。，PANBE,BE=2,AB=PA=4.

（［）求证：CE//平面E4£）；

（II）求直线PD与平面PCE所成角的正弦值；

（山）在棱48上是否存在一点产，使得二面角E-PC-”的大小为60。？如果存在，确定点尸的位置；如

果不存在，说明理由.

13.如图，四棱锥层一A6CD中，平面E4D_L45CD,CD//AB,BC±CD,EArED.且/W=4,

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BC=CD=EA=ED=2

(I)求证：8£>_L平面4)E；

(ID求直线班和平面CDE所成角的正弦值；

(山)在线段CE上是否存在一点尸，使得平面80E上平面CDE?如果存在点/，/请指出点厂的位置;

如果不存在，请说明理由.

14.如图，在直三棱柱八6C-A4G中，平面ABC_L侧面八86八，且A4=A6=2.

(1)求证：ABLBC;

(2)若直线AC与平面A8C所成的角为巳，请问在线段4。二是否存在点E，使得二面角A-8E-C的

6

大小为三27r，请说明理由.

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15.如图1,在A4BC中，D,石分别为AB,AC的中点，O为DE的中点,AB=AC=2#,BC=4.将

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A4DE沿£＞七折起到△AQE的位置，使得平面4。石，平面，如图2.

（［）求证：\OLBD.

（II）求直线AC和平面AB。所成角的正弦值.

（川）线段AC上是否存在点尸，使得直线环和5c所成角的余弦值为空？若存在，求出竺的值；若

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不存在，说明理由.

高考预测四：开放性问题

16.如图，在四棱锥中，B4_L平面ABC/）,AD±CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3,

PF

E为PQ的中点，点厂在PC上，旦£匚=上I.

PC3

（1）求证：CD_L平面而。；

PG

（2）应是平面型与直线心交于点G在平面板内，求必的值.

PB

17.如图，在四棱锥尸—ABCD中，Q4_L平面ABC。，ADYCD,ADHBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E

为叨的中点，点尸为PC上靠近尸的三等分点.

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(1)求二面角尸-4£一。的余弦值:

(2)设点G在心上，且生=2.判断直线AG是否在平面巫下内，说明理由.