中考数学复习备考指南：圆的有关概念和性质 （学生版）

中考级学

的有关概念和性质

I备考指南》

考点分布考查频率命题趋势

考点1圆的有关概念及性质☆数学中考中，有关圆的概念与性质部分，每年考

杳1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、

考点2垂径定理及其计算☆☆

填空题的形式考查。对•于这部分的复习需要学生

熟练掌握圆的概念和性质、垂径定理、圆周角定

考点3圆周角定理及圆内接多

☆☆☆

理及圆内接多边形。特别是圆周角定律及圆内接

边形

多边形是每年都涉及。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表不选考点。

知识导图）

要画一个确定的

旋转定义—圆，关键是

确定圆心和半径

集合定义—同圆半径相等

弦（直径）—直径是圆中

最长的弦

劣弧

半圆一|半圆是特殊的弧

优弧

等弧—能够互相重合1的两段弧

国心角概1念：顶点在圆心的用

弦

相，

①要注意前提条件；

②要灵活转化.

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山大一垂直于弦的直径平分弦，

内合一并且平分弦所对的两条弧

一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平

分弦（不是直径）：④平分弦所对的优

推论一弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件

就可以推出其它三个结论（“知二推三”）

垂径定理

两条辅助线：

辅助线—

连半径，作弦心距

基本图形及构造Rt△利用勾股定

变式图形理计算或建立方程.

类比

圆心角圆周角

圆周角与直圆周角定理

圆周角定义圆周角定理

线的关系的推论

1.顶点在圆上,半圆或直径所在同圆或等圆中，同1.90°的圆周角所

2.两边都与圆对的圆周角都弧或等弧所对的圆周对的弦是直径；

相交的角（二相等，都等于角相等，都等于该弧2.圆内接四边形的

者必须同时具90°（直角）.所对的圆心角的一半；对角互补.

备）相等的圆周角所对的

弧相等.

典夯实基础

1乜I知识清单〉

考点1.圆的有关概念及性质

（一）圆的定义和性质

1.圆的旋转定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点—所形成的

图形叫做圆.以点0为圆心的圆,记作“。0”，读作“圆（）”.

2.圆的集合定义：圆心为0、半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离一定长r的点的集合.

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3.圆心与半径：固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径，一般用r表示.

4.圆的对称性：

（1）圆是______图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

（2）圆是以圆心为对称中心的图形。

【注意】（1）圆心相同且半径相等的圆叫做______:

（2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做_______；

（3）半径相等的圆叫做_____。

（二）与圆有关的概念

1.弦的概念：连结圆上任意两点的叫做弦（如图中的AC）。

2.直径的概念：经过的弦叫做直径（如图中的AB）.

【注意1】（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。

3.弧的概念：圆上任意两点间的叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作,读作

“圆弧AB”或“弧AB”.

4.等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相___的弧叫做等弧。

5.半圆的概念：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

6.优弧的概念：在一个圆中半圆的弧叫做优弧。如图中的/LBC；

7.劣弧的概念：半圆的弧叫做劣弧。如图中的40。

8.圆的周长公式：c=2Jir.

9.圆的面积公式：S=nr2

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【注意2】对圆的认识需要注意的几个问题

（1）在一个圆中可以画出无数条弦和直径.

（2）直径是弦，但弦不一定是直径.

（3）在同一个圆中，直径是最长的弦.

（4）半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°,劣弧的度数小于

180°,优弧的度数大于180°.

（5）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧.

考点2.垂径定理及其计算

1.垂径定理:垂直于弦的平分弦,并且平分弦所对的一条弧.

VCD是直径,CDXAB,

AAE=BE,

AC=BC,AD^BD.

【温馨提示】垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.

2.垂径定理的推论：

推论1：1）平分弦（不是直径）的一垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的—经过圆心，并且平分弦所对的两条弧：

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的_____弧。

推论2：圆的两条弦所夹的弧相等。

3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或

作弦心距构造直角三角形，利;IJ垂径定理和勾股定理求解.

B

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4.垂径定理的应用

解决应用垂径定理的圆问题，基本思路就是利用勾股定理构造方程。

考点3.圆周角定理及圆内接多边形

（一）弧、弦、圆心角的关系问题

1.圆心角的定义

（1）顶点在的角，叫圆心角，如NAOB.

（2）圆心角ZAOB所对的弧为“6.

（3）圆心角NAOB所对的弦为AB.

注意：对于任意给定一个圆心侑，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。

2.圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的相等，圆心角所对的—相等。

推论：（1）在同圆或等圆中，如果孤相等，那么弧所对的相等，弧所对的—相等。

（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的科等，弦所对应的—相等，弦所对应的

_____相等。

（二）圆周角定理

1.圆周角的定义

_____在圆上，并且两边都与圆____的角叫做圆周角.

2.圆周角定理及其推论

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半.

如图，连接BO,CO,得圆心角ZB0C.试猜想NBAC与NB0C存在怎样的数量关系.

NBAC=L/BOC

2

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圆周角定理推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角—

（2）直径所对的圆周角是直角.

3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形

（1）圆心。在NBAC的一边上（如图甲）

（2）圆心0在NBAC的内部（如图乙）

（3）圆心0在NBAC的外部（如图丙）

4.圆周角和直径的关系

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于.

【方法总结】在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题.

（三）圆内接四边形

如果一个多边形所有_____都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形

的外接圆.

推论1：圆的内接四边形的对角.

推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都—它的内对角.

注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据.

【易错点提示】

巨|考点梳理二＞

考点L圆的有关概念及性质

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【例题1］（原创）下列对圆的说法中，错误的是（）

A.半圆是弧B.半径相等的圆是等圆

C.过圆心的线段是直径D.直径是弦

【变式练1】（2024湖南一模）下列命题中正确的有（）

①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦：④弧是半圆，半圆是弧

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式练2］（2024福建一模）己知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是1）

A.4B.8C.10D.12

考点2.垂径定理及其计算

【例题2】（2024江西省）如图，48是的直径，力8=2,点C在线段48上运动，过点C的

弦DE1将麻沿刀慝圜折交直线于点尸，当京懑的长为正整数时，线段直覆的长为.

【变式练1】（2024西藏一模）在0。中，直径AB=15,弦DE_LAB于点C.若0C：0B=3：5,则

DE的长为（

A.6B.9C.12D.15

【变式练2】（2024山西一模）为了测策一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据

如图所示（单位：cm）,则该铁球的直径为（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

考点3.圆周角定理及圆内接多边形

【例题3】（2024甘肃临夏）如图，/8是OO的直径，NE=35。，则/80/）二（）

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A.80°B.icrc.orD.in/

【变式练1］（2024甘肃一模）如图，AABC内接于。。，CD是。。的直径，ZJCZ）-40c,则

ZB=（）

【变式练2】（2024安徽一模）如图，四边形ABCD内接于。0,点P为边AD上任意一点（点P不与

点A,D重合）连接CP.若NB=120°,则NAPC的度数可能为（）

A.30°B.45°C.50°D.65°

日|真题在线A

考点1.圆的有关概念及性质

1.（2024内蒙古包头）已知0。中最长的弦为12厘米，则比圆半径为_______厘米.

2.（2024云南）下列判断正确的个数有（）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

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⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点2.垂径定理及其计算

1.（2024内蒙古赤峰）如图，力。是的直径，是OO的弦，半径OC'_L/8,连接C/J，交

（用于点E,/BOC=42°，则的度数是（）

A.6FB.63°C.&D.67°

2.（2024四川凉山）数学活匆课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决

方案是：在工件圆弧上任取两点48,连接力8,作力8的垂直平分线CQ交力8于点同,交方

于点C，测出48=40cm,CZ?=10cm,则圆形工件的半径为（）

I

I

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

考点3.圆周角定理及圆内接多边形

1.（2024湖南省）如图，48,力。为O。的两条弦，连接08,OC、若/4=45。，则/8。。

C.90°D.135°

2.（2024甘肃威武）如图，点4,B,。在OO上,力C108,垂足为。，若/4=35°，则"

的度数是（）

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A.2/B.2警c.3ITD.逑铲

3.（2024四川广元）如图，已知四边形/8CQ是OO的内接四边形，笈为力。延长线上一点,

ZJOC=128%则NC/%等于（）

4.（2024吉林省）如图，四边形/8CD内接于O。，过点、B作BE〃AD，交CD干点、E.若

/8"。=50。，则//BC的度数是（）

D

BC

A.50°B.iorc.BrD.W

5.（2024武汉市）如图，四边形/8CQ内接于OO，ZABC=6（）。，NBAC=NCAD=45。，

AB+AD=2,则。。的半径是（）

HB警0.4D.也

2

6.（2024江苏连云港）如图，48是圆的直径，Zb22、N3、/4的顶点均在力8上方的圆弧

上，ZbN4的一边分别经过点小B,则/£+/罢+/3+/速=_O

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考点1.圆的有关概念及性质

1.如图，是OO的直径，AD=CDNCOB=40°,则N.4的度数是（）

考点2.垂径定理及其计算

1.如图，AB是。0的直径，弦CD_LAB于点E,CD=20E,则NBCD的度数为（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

2.如图，弦43_LOC,垂足为点C,连接。1,若0c=4,AB=6,则shU等于（）

A.亚B.亚C.—D.旦

2255

3.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形,

跨度约为37〃?，拱高约为7〃?，则赵州桥主桥拱半径R约为（）

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A.2()mB.28wC.35wD.40w

4.如图，A、B、c是o。上的点，octAB,垂足为点，且。为oc的中点，若()A=7,则叱

的长为.

5.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽48CQ是矩形.当餐盘正立且紧靠支架

于点儿。时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于5?.

考点3.圆周角定理及圆内接多边形

1.如图，点A,B,C在。0上，NBAC=54°,则NB0C的度数为()

C.116°D.128°

2.如图，点A,B,C是。0上的三点.若NA0C=90°,ZBAC=30°,则NA0B的大小为()

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3.如图，在。0中，AB是直径，弦AC的长为5cm,点D在圆上且NADC=30°,则。。的半径为

cm.

4.如图，"是OO的直径，弦CD交AB于点、E,连接AC,4/X若/