二次根式及其性质（知识+5个题型讲练+中考题演练+难度分层练）解析版-2024人教版八年级数学下册

专题19.1二次根式及其性质

（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共40题）

【解析版】

♦目录导航

知识荟萃................................................................................2

知识点梳理01:二次根式的定义........................................................2

知识点梳理02：二次根式的基本性质....................................................2

题型讲练................................................................................2

题型1：二次根式的识别...............................................................2

题型2：求二次根式的值...............................................................4

一型3：求二次根式中的参数...........................................................5

题型4：二次根式有意义的条件.........................................................6

题型5：利用二次根式的性质化简.......................................................8

中考真题................................................................................9

分层训练................................................................................12

基础夯实............................................................................12

培优拔高............................................................................16

♦知识替萃

知识点梳理01：二次根式的定义

形如口（a20）的式子叫做二次根式.其中“厂”叫做二次根号，a叫做被开方数.

（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围；

（2）判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：

①是否含有二次根号“厂”；

②被开方数是否为非负数.

若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式.

（3）形如小8（a'O）的式子也是二次根式，其中m叫做二次根式的系数；

（4）根据二次根式有意义的条件，若二次根式B与‘8一”都有意义，则有

知识点梳理02：二次根式的基本性质

（1）c；心0（双宣非负性）.

（x/a）-=a

（2）'';（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

a（a>0）

>/a^=|a|=0（a=0）

⑶（-a（a<0）（算术平方根的意义）.

♦题型由练

题型1：二次根式的识别

【典例精讲】（24-25八年级下•黑龙江牡丹江•月考）下列各式中一定是二次根式的是（）

2

.V-7DVm+2>/a

A・D.\）.

【答案】c

【思路点拨】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的概念，形如、69'°）的式子

是二次根式，依据定义即可判断.

一7<0口

【规范解答】解：A、•・•，・・・、不是二次根式，故此选项错误；

B、、根指数是3,不是二次根式，故此选项错误；

2

ctm+2>2...而+2是二次根式,故此选项正确；

D、当时，”不是二次根式，故此选项错误：

故选：C.

【变式训练11（23-24八年级下•贵州黔东南•期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

.\/~3一\[2a,a2+2Va2—9

A.D«C.D.

【答案】c

【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解.

【规范解答】解：:二次根式要求被开方数是非负数.

对于A：被开方数为一3<°,不符合；

对于B：根指数为3,是三次根式，不是二次根式：

a2>0a2+2>2>0

对于c：•・・士，・•・々,恒成立，故一定是二次根式；

对于D：当‘।时，，被开方数为负，不是二次根式.

・•・只有C一定是二次根式.

故选：C.

【变式训练2】（24-25八年级下•广西河池•期末）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.aB.领C.迈D.E

【答案】B

【思路点拨】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如"0\这样的式子叫做

二次根式，进行判断即可.

【规范解答】解：A、当时，、不是二次根式，不符合题意；

B、^^是二次根式，符合题意；

C、v不是二次根式，不符合题意；

y1—4—4V0

D、v,,不是二次根式，不符合题意;

故选B.

题型2：求二次根式的值

Y_12__O

【典例精讲】（24-25八年级下帙西安康•期末）当一时，二次根式“一的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【思路点拨】本题考查求二次根式的值，将无"I'代入二次根式”外刁中，计算被开方数

的值，再求其算术平方根.

【规范解答】当时，

7义—3=\12—3=V?=3

故选：C.

X=1Jq—丫2

【变式训练1】（24-25八年级下•四川绵阳•期中）当时，二次根式V'x的值是.

【答案】2

【思路点拨】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可.

【规范解答】解：当时，后=？=右1=0=2,

故答案为：2.

【变式训练2】（24-25八年级下•浙江温州•期中）当时，二次根式、的值

为•

【答案】3

【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与

化简.

将代入二次根式，即可计算求值.

vx=11

【规范解答】解：，

••Vx—2=v'll_2==3

故答案为：3.

题型3：求二次根式中的参数

【典例精讲】（24-25八年级下-甘肃甘南・月考）如果,3+2m是一个正整数,则整数加

的值可以是（）

-6—2

A.0B.3C.I）.

【答案】B

【思路点拨】本题考杳了二次根式的性质与化简.把每个选项中的力的值代入二次根式化简

即可.

【规范解答】解：A、当团=°时，3+2m=3,V3+2m=V3不是一个正整数，故此选

项不符合题意；

B、当*3时，3+2m=9,ES=W=3,是一个正整数，故此选项符合题意；

C、当*一6时,，3+2m=-9,V3+2m=V=5没有意义，故此选项不符合题意；

D、当哈一？时，3+2m=-l,V3+2m=VzI没有意义，故此选项不符合题意；

故选：B.

—2

【变式训练1］（24-25八年级下-浙江温州•月考）当X—时，二次根式"

的值为0.

【答案】2

【思路点拨】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型.理解二次根式的概念是

解题的关键.当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零.

x""20x2

【规范解答】解：根据题意可得：一，解得：一.

故答案为：2.

【变式训练2】（24-25八年级下•辽宁盘锦•月考）当的值为时，'十’的值

最小，这个最小值为.

1

【答案】三4

【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质0）解答即可，

掌握二次根式的性质是解题的关键.

【规范解答】解：

・•・当"一1=°时，即“一1取最小值°,

此时+4的值最小,最小值为°+4=4,

1

故答案为：I4

题型4：二次根式有意义的条件

【典例精讲】（24-25八年级下•云南红河•期中）若二次根式,Vx-3有意义，则x的取值

范围是（）

x<3x*3x>3x>3

A.B.C.D.

【答案】C

【思路点拨】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.

根据二次根式有意义的条件作答即可.

【规范解答】解：•••二次根式“钎3有意义，

x-3>0

••，

*x>3

••・

故选：C.

【变式训练1】（24-25八年级下•甘肃武威•月考）若式子v-2在实数范围内有意义，则

'的取值范围是（）

x>-2x>-2x>2x<2

A.B.C.D.

【答案】C

【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，再通过解不等式得到

X

的取值范围.本题考查二次根式有意义的条件，解题中用到的方法是利用“二次根式的被

开方数为非负数”这一性质列不等式求解.解题关键是牢记二次根式有意义的核心条件，准

确列出并解出不等式.易错点是混淆被开方数的符号要求,错误地认为被开方数可以为负数,

或在解不等式时符号处理出错.

Vx一2

【规范解答】vv在实数范围内有意义，

x-2>0

••，

••・

Yx>2

因此，的取值范围是一.

故选C

【变式训练2】(24-25八年级下-黑龙江牡丹江•月考)若k1个片王二°+则

a-b

的值为()

A.1B.2C.3D.5

【答案】B

【思路点拨】本题考查了二次根式的非负性；根据根号下的表达式必须非负，从而确定"=1,

b=-1a-b

代入原方程求出，最后计算的值.

【规范解答】解：•・•'和、在实数范围内有定义，

,a-l>0l-a>0

,a>la<l

••『L,

*a=1

••・

代入原方程：

v1-1+V1-1=0+0=0

9

.(a+b)2=0

••，

a+b=0

1+b=0

b=-1

a-b=2

•*••

故选：B.

题型5：利用二次根式的性质化简

【典例精讲】（23-24八年级下•河南洛阳•月考）若加是正整数，则满足条件〃的最小

正整数值为.

【答案】2

【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，先化简.=3啰，再结合会是正整数，

故而是正整数，即可求出满足条件的〃的最小正整数值.

【规范解答】解：依题意，"刖力内，

•・•'面是正整数，

二必是正整数，

・•・满足条件的〃的最小正整数值是2，

故答案为:2.

ab

【变式训练1］（24-25八年级下-青海海西•期中）实数，在数轴上的位置如图所示，

那么化简口一〃一向的结果是.

—'-------'_'_>

b0a

—b

【答案】

【思路点拨】由数轴可得到a>0，b<0lai<|b|根据后、°⑷和绝对值的性质即可得

到答案.

本题考查了二次根式的性质与化简："砂=1"也考查了绝对值的性质.

a>0b<0lai<|b|

【规范解答】解：观察数轴得：，，.।।

:•原式="h同

=a-b—a

-b

故答案为:

【变式训练2】（24-25八年级下-青海海西-期中）若771"2"加=1,则7〃的取值

范围是（）

m>1m<1m>1m<1

A.B.C.D.

【答案】C

【思路点拨】把式子化为-再根据二次根式的性质得出m-0,求出

即可.

本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当一时，、Qa,当时，、°

.ir,丘，,,«■mvl2m+m2=1

【规范解答】解：，

:.，（1—m）2=7n—l

m-1>0

m>1

9

故选：c.

♦中育真霆

1.（2024广西钦州冲考真题）已知三角形的三条边长为3,5,在，化简：忖一周+、’（1一人）二

（）

-R2上一1010-2A

A.8B.C.D.

【答案】A

【思路点拨】此题考查三角形的三边关系，化简绝对值及二次根式，熟练掌握三角形三边关

系得到A的取值范围是解题的关键，

5—3<A<5+3

先根据三角形三边关系得到，再根据绝对值及二次根式的性质化简计算即

可.

【规范解答】解：:三角形的三条边长为3,5,k,

5-3<k<5+32<k<8

:.,即，

.|9-k|+，（l-k）2=9-k+（k-l）=8

••

故选A.

2.（2024•山东德州•中考真题）若'+=3,则（）

x>3x<3x>3x<3

A.B.C.-D.

【答案】D

【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，由x+=3,则,（3-工）二=3一%,所

以|3—加=3一1从而可得3-0,然后求解即可，掌握二次根式的性质是解题的关键.

【规范解答】解：7G'）2=3,

.|3-X|=3-X

故选：.

3.（2024•全国•中考真题）将一组数"22,通，2企，伍，2H,…，伤L…，按以下方式进行

排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2ag2V3

•••

则第七行左起第5个数是.

2713

【答案】

【思路点拨】本题考杳二次根式中的规律探究，观察可知，第八行共篦个数，最后一个数字

为‘n1n+1）,且每一个数的被开方数均为2的倍数，进行求解即可.

V2=vfx2,>/6=VTX3,2\/3=g=v/374»

【规范解答】解:

・•.第"行共”个数，最后一个数字为uS+l）,

73T8=V56

・•・第七行的最后一个数为:V

博二2旧

・•・第七行左起第5个数是:

故答案为:

、一一、.._mn,m<na=mr

4.（2024•福建厦门•中考真题）己知，是两个连续的正奇数，，令t，则

7a+2九-yja-2m

的值为

【答案】

【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入

722

求值.也考杳了二次根式的性质和奇数的定义.根据奇数的定义得到一'UI，则

222

a=m+2m.a+2n=（m+2）a-2m=m、…口MA2工八2-.

，所rri以,,根据二次根式的性质化简，然/Hl后去

绝对值后合并即可.

【规范解答】解：.，是两个连续的正奇数,

•••九=m+2

•••a=m(m+2)=m2+2m

9

•••a+2几=m2+2m+2(m+2)=+4m+4=(m+2)2

a-2m=m2-k-2m-2m=m2

v'a+2n-va-2m=/(m+2)2-x/n?=|m+2|-|m|=m+2-m=2

故答案为:

Q)-1+(-1)23-(7T-2)°+|2V2-1|-V8

5.（2024•云南保山・中考真题）计算:

【答案】

【思路点拨】此题考查了负整数指数凝，有理数的乘方，零指数凝，化简绝对值和二次根式,

解题的关键是掌握以上运算法则.

首先计算负整数指数鬲，有理数的乘方，零指数幕，化简绝对值和二次根式，然后计算加减.

(i)-*1+(-1)2025—(兀—2)°+I2V2-1I-V8

【规范解答】解：

=2-1-1+272-1-272

♦分居加博

基础夯实

1.（24-25八年级下•陕西商洛•期末）能使成立的x的取值范围是（）

x>8x<8x>7x<8

A.B.C.D.

【答案】A

x-8>0

【思路点拨】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数必须非负，因此一，即可

作答.

【规范解答】解：•・•要使"不成立，

,x-8>0

解得”之8

故选：A.

2.（24-25八年级下-云南红河・期末）下列式子中，属于二次根式的是（）

D.R

V%2+1

A.B.C.

【答案】c

【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，••般地，我们把形如8S'°）的式子叫做二次

根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键.

根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案.

•・•2>0

【规范解答】二次根式需满足根指数为且被开方数一

对于A：4，根指数为乙不是二次根式;

—

对于B：V」一二5,被开方数5<0，无意义，不是二次根式；

Vx2+1vx2>0x2+11>0旦一如由t

对于：，，，怛成立，是一次根式；

DI*x<0:<°

对于：当时，X,被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子；

故选c.

3.（24-25八年级下-陕西渭南-期末）使二次根式斤%有意义的"的取值范围是（）

a*5a>5a<5a<6

A.B.C.D.

【答案】C

【思路点拨】本题考杳了二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件星被开方教士负，

据此进行列式计算，即可作答.

【规范解答】解：・・・斤7有意义，

>5-a>0

a<S

••9

故选：c.

4.（2025•江苏连云港-二模）使而F有意义的*的取值范围是

【答案】'N5

x-5>0

【思路点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出一，然

后正确的解不等式即可.

根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答.

【规范解答】解：・・・后不有意义，

x-5>0

••，

%>5

即

故答案为：.

?aa

5.（24-25八年级下-北京海淀・开学考试）要使二次根式VS’—“有意义，则的取值范围

是.

【答案】"

【思路点拨】此题考查了二次根式有意义的条件，

根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零.

【规范解答】解：•・•二次根式,5-2。有意义,

■5-2a>0

•♦，

♦••

a.

故答案为：

6.（24-25八年级下-广西河池•期末）计算：“一•=.

【答案】5

【思路点拨】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握叱二口1（”为任意实数）.

先计算被开方数（-5"的值，再根据二次根式的性质求算术平方根.

【规范解答】解：=5.

故答案为：5.

7.（24-25八年级下云南红河期末）要使二次根式侬西不有意义,y的值可以是.

【答案】2025（答案不唯一）

【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非

负数”是解题的关键.根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而得到y

的取值，再选取一个符合条件的值.

【规范解答】解：•・•二次根式、‘2025二）有意义的条件是被开方数非负，

.2025-y>0

.y<2025

・•・取y,=2025(满,,足》y<2025),

故答案为：2025（答案不唯一）

（V2-1Y-13-2V2l+（n+3.2）°-停尸

8.（2024八年级下•福建南平•竞赛）计算：''2/

【答案】-3

【思路点拨】本题考查了完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数累的运算，负整数指

数哥的运算，正确运算是解决本题的关键.

根据完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数幕的运算，负整数指数幕计算即可.

(V2-1)2-|3-2V2I+(兀+3.2)°-

【规范解答】解：

=2-2^2+1-(3-272)+1-4

=2-2&+1-3+2V2+1-4

=-3

y=—X+y/X~1+22x+V

9.（24-25八年级下•广东阳江•月考）若〉Vv，则）是多少？

【答案】4

【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关

键.

根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于零求解x的值，再计算出y的值，求解即

可.

■皿好A”5,,V="-X+y/x-1+2

【规范解答】解：•・•,，

rl-x>0（x<1

..MTN。，解得QN1，

X=1

即，

.y=VI—1+V1—1+2=2

••9

.2x+y=2+2=4

V27-|V3-2|-V3

10.（24-25八年级下•河南深河•期末）（1）计算:

2(%+1)2-49=1

（2）解方程:

【答案】

⑴郎2

x=4x=—6

(2)或

【思路点拨】本题考查求二次根式的性质化简，化简绝对值，运用平方根解方程，解题的关

键是熟练掌握相关运算法则.

（1）先计算各部分，再进行加减计算即可;

（2）对原方程进行整理，利用平方根的定义解方程即可.

【规范解答】⑴解：07TV3-2I-V3

=3v3-(2-\/3)-v3

=36-2+v行一5

=3&—2

⑵解：2("1"49=1

.25+1)2=50

.(x+1)2=25

%4-1=5%+1=-5

或

%=4x=—6

或

培优拔高

11.（24-25八年级下•全国•课后作业）如果a满足磔25-3+"-2026=a,那么

2

a—2025、］

的值为（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

【答案】C

【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数

是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键.

本题由方程中的炳海5可知2026,从而|2。25」|="2025,代入原方程化简

an—20252

后平方求解，再计算的值.

【规范解答】解：2026）有意义

a-202620a22026

・•・,即

a>2026

.|2025-a|=a-2025

♦♦

代入原方程：

(a-2025)+y/(a-2026)=a

化简得：质通=2025

a-2026=20252

两边平方:

.a=20252+2026

.a-20252=（20252+2026）-2025?=2026

•••

故选：C.

12.（23-24八年级下-江苏泰州-期末）设正整数0’力‘‘满足"-"=Jp二百,则

»的值为（）

A.9B.12C.16D.18

【答案】B

【思路点拨】本题考查了二次根式与实数的应用，完全平方公式，平方根，代数式求值.

将等式两边平方，利用有理数与无理数的对应关系，结合小八〃为正整数的条件，解出入

八夕的值.

S=

【规范解答】解：•・•,且“力为正整数,

（々-⑶々八夕

••，

x+y_2^=p2_45x>y

即9,

•・•”孙y为正整数，

.x+y=p?,-2历=一“5

••9

叩河=2百=00

即9

.x+y=p2,xy=20

2

①当,x=20,,y=1时，"p=21,不符合题意，舍去；

②当‘时，"，不符合题意，舍去；

③当"时，"，即"或（不符合题意，舍去）；

.x+y+p=5+4+3=12

•••

故选B.

13.（24-25八年级下•广西百色•期中）已知）'二3一"+v（2-当”分别取

L2,3'…'2°26时，所对应?值的总和是（）

A.2022B.2024C.2026D.2028

【答案】I）

【思路点拨】本题考查化简二次根式，先求出x取1,2时对应的）V值，当彳取3'45…'.2026

,2—%<0-J（2—=%—2y=1

时，，"）代入化简得'，由此可解.

【规范解答】解：当才取1时，y=3T+J（2-1-=3-1+1=3,

当，取2时，，=3-2+^^=3-2+。=1,

当，取S'〉'2。26时,2-%<0

y=3-x+7(2-x)2=3-x+(x-2)=3-x+x-2=l

所以对应“值的总和是:3+1+(2026-2)x1=2028

故选I）.

1++1=k

M.（24-25八年级下•上海徐汇•月考）如果方程'"无实数解，那么女的取

值范围是.

【答案】“<‘

【思路点拨】本题考查解无理方程，二次根式有意义的条件,能得出关于〃的不等式“―1<°

是解此题的关键.

移项后得HId+[=k_l,根据方程1+辰H="无实数解得出“一1<°,再求出左

的范围即可.

h.1+V4x+1=k

【规范解答】解n：，

V?x+T=k-1

9

・•,方程1+代钉=上无实数解，

k-l<Q

•*•，

解得:

k<1

故答案为：

ab

15.(2024•山西•模拟预测)己知实数，在数轴上的位置如图所示，化简：

J(a+2)2+|b-2|+|a-b|二

I।2।।।(।1A

-3-2-10123

【答案】4

【思路点拨】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性

质是解题的关键.

-2<a<-l1<b<2a+2>0b-2<0

根据数a、方在数轴上的位置得到，，然后推出，，

a—b<0

,再根据二次根式的性质和绝对值进行化简，再合并同类项.

-2<a<-l1cb<2

【规范解答】解：根据数轴，得，

.-.a+2>0b-2<0a-b<Q

J(a+2)2+|b-2|+|a—b]

=|a+2|+|b-2|+|a-h|

=a+2—(b—2)—(a—b)

=a+2-b+2-Q+力

=4

故答案为：4.

16.（2024•湖南•模拟预测）要使二次根式‘2、+5有意义,则*的取值范围为

【答案产V

【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解.本题主

要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.

【规范解答】解：要使二次根式疹而有意义，则"+5-°

2%>—5

X三

故答案为：

17.（2024八年级下-广东江门・竞赛）设

1+定+*+*+玄+£+…+P+菊酒，求不超过S的最大整数

因=

2023

【答案】

【思路点拨】先时每一项的根式进行化简，找出规律，再将所有项相加求和，最后确定不超

过和的最大整数.本题主要考查了二次根式的化简以及裂项相消法求和，熟练掌握二次根式

的化简方法和裂项相消法是解题的关健.

1+£+_1_

【规范解答】解：V丁

Mm+l)2+(n+l)2+*

n2(n+1)2

[n(n+l)]2+2n2+2n+l

n2(n+l)2

(n(n+l)+l)2

Jn2(n+l)2

n(n+l)+l

n(n+l)

=2023x1+(1-%泊+..・+盛一盛)

=2。23+1-右

=25一砺

.[s]=2023

2023

故答案为：

,「‘bcda+b+c+d=l

18.（24-25八年级下•上海•自主招生）非负实数，，，满足，设

p=J3a+1+>j3b+l+y'3c+1+，3d+1,,....

求’的z最1值.

【答案】'的最小值为5,'的最大值为2、'7

0<a<1

【思路点拨】本题考查了不等式的性质，二次根式的性质，根据题意得出一一，进而

得出"1三即，同理，"1h即，C+YV3FTId+J所，即可

求解.

abeda+b+c+d=l

【规范解答】解：二•非负实数，，，满足

<0<a<1

••，

,a(l-a)>0

••，

.a2-a<0

••