人教A版高中数学必修二习题第3章单元综合测试（三）直线与方程

单元综合测试（三）直线与方程

（时间120分钟,满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出狗四

个选项中，只有一项是符合题目要求的）

I.在直角坐标系中，直线Sx—），-3=（）的倾斜角是（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【解析】直线的斜率左=小，倾斜角为60〉.

【答案】B

2.若4（一2,3）,B（3,—2）,戏，三点共线，则机的值为（）

A.eqB.—

C.-2D.2

-2—3?I

【解析】由32—二（一；2）、=L，得加2

23

【答案】A

3.如果A6<0,6C<0,刃口么直线Ax+8y十C—0不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

ACA

【解析】Ar+Bv+C=0可化为y=一砂:一石，由AB<0,BCvO,得一方>0,

”"1515D

-1>0,故直线Ax+By+C=0经过第一、二、三象限，不经过第四象限.

【答案】D

4.两平行直线5x+12），+3=0与l（k+24），+5=0之间的距离是

（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

【解析】5x+12），+3=0可化为10x+24），+6=0.

|6-5|1

由平行线间的距离公式可得

d=[1()2+24226,

【答案】C

5.直线/i：(3—〃)x+(2〃-1))，+7=0与直线/2：(2〃+l)x+m+5)y—6=0

互相垂直，则。的值是()

A.—1B.eq

C.eqD.eq

【解析】因为/山2,所以(3一〃)(2。+1)+(2。-1)(〃+5)=0,解得

【答案】B

6.直线船一)，+1—3火=0,当攵变动时，所有直线都通过定点()

A.(0,0)B.(0,1)

C.(3,1)D.(2,1)

【解析】由解一y+1-34=0,得人(工一3)一()，一1)=(),

由｛x=3,)，=1,即过定点(3,1).

【答案】C

7.己知42,4)与B(3,3)关于直线/对称，则直线/的方程为()

A.x+y=0B.X—y=0

C.x+y—6=0D.x—y+l=0

【解析】如=言=—1,

故直线/的斜率为1,

AB的中点为i丸

75

-=-

故/的方程为y2-2

即x—)，+l=O.

【答案】D

8.已知直线/过点(1,2),且在龙轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直

线/的方程为()

A.x+2y—5=0

B.x+2)，+5=0

C.2x—y=0或工+2厂5=0

D.y=0或x—2y+3=0

【解析】当直线在两坐标轴上的截距都为。时，设直线/的方程为)，=履,

把点(1,2)代入方程，得2=k,即A=2,所以直线的方程为2x-y=0;当直线在

两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为彳+1=1,把点(1,2)代入方程，

125

得方+7=1,即b=5，所以直线的方程为太+2)，-5=0.故选C.

【答案】C

9.已知点M(l,0)和M—1,0)，直线2r+y=力与线段MN相交，则人的取值

范围为()

A.[-2,2]B.[-1,1]

C.eqD.[0,2]

【解析】直线可化成)，=-2^+力，当直线过点M时，可得b=2;当直线

过点N时，可得〃=一2.所以要使直线与线段相交，Z?的取值范围为[-2,2].

【答案】A

10.经过点Q,l)的直线/到A(l/)、8(3,5)两点的距离相等，则直线/的方程

为()

A.2x—y—3=0

B.x=2

C.2L)，-3=0或x=2

D.以上都不对

【解析】满足条件的直线/有两种情况：①过线段46的中点；②与直线

45平行.

由A(l,1),5(3,5)可知线段A5的中点坐标为(2,3),

所以直线x=2满足条件.由题意知匕为二月二？.

所以直线I的方程为y—1=2(^—2),即y—3=0,

综上可知，直线/的方程为戈=2或2r-y—3=0,故选C.

【答案】C

11.等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点4(0,4),则点片的坐标

可能是（

A.(2,0)或(4,6)B.(2,0)或(6,4)

C.(4,6)D.(0,2)

【解析】设8点坐标为（x,y）,

kAC-knc=-1,

根据题意知，

\BC\=\AC\f

3-4y-3

EL3=

正一3)2+G—3)2=4(0—3)2+(4—3)2,

x=4,

解之，得

j=6.

【答案】A

12.直线/过点P（1,3）,且与弟y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直

线方程是（）

A.3x+y-6=0B.x+3>-10=0

C.3x-y=0D.3j+8—0

［解析】设直线方程为、方=im＞（）,/?＞（））,

ab=\2,

。=2,

由题意有《1।3

匕+广1，b=6.

化为一般式为3x+y—6=0.

【答案】A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横

线上）

13.若直线/的方程为y—〃=（〃-1）。+2）,且/在），轴上的截距为6,则。

8

【解析】令x=0,得y=（〃—l）X2+a=6,，『不

【答案】I

14.已知点（九3）到直线工+），-4=0的距离等于也，则，〃的值为.

[解析】由点到直线的距离得包苗当

解得"7=—1,或"7=3.

【答案】一1或3

15.经过两条直线2x+y+2=0和版+4），-2=0的交点，且垂直于直线3x

—2y+4=0的直线方程为.

（3x+4），­2=0,

【解析】由方程组LI八得交点4—2,2）,因为所求直线垂直

[2x+y+2=0,

2

于直线3%-2），+4=0,故所求直线的斜率k=一宗由点斜式得所求直线方程为y

2

即2x+3y—2=().

-2=-TJ(X+2),

【答案】2x+3y—2=（）

16.若动点A,8分别在直线/ir+），-7=0和A：l+丁一5=0上移动，则

AB的中点M到原点的距离的最小值为.

【解析】依题意，知故点M所在直线平行于和/2,可设点股所

在直线的方程为/:x+y+m=O,根据平行线间的距离公式，得蜂"=3等=

依+7|=依+5|=>〃2=—6,即/:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式，得M

到原点的距离的最小值为胃=3也.

【答案】3啦

三、解答题（本大题共6个小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）己知两条直线/i：工+〃办+6=0,/i：（m—2）x+3my

4-2/?2=0,当用为何值时,h与b

(1)相交；(2)平行;(3)重合.

【解】当〃7=0时，/|：x+6=0,/2：A-=0,：A\//h.

当m=2时，/i:x+4y+6=0,h:3y+2=0,

：.1\与，2相交.

当〃zWO且〃?N2时，由北^=算得机=-1或机=3,由"^=券，得

6=3.

故(1)当"iW—1且且加工0时，八与，2相交.

(2)当m=-1或〃=0时，l\//h.

(3)当m=3时，1与〃重合.

18.(本小题满分12分)(1)已知直线y=冬一1的倾斜角为«,另一直线/

的倾斜角4=2a,且过点M(2,—1),求/的方程.

(2)己知直线/过点P(—2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求宜线

/的方程.

【解】(1);已知直线的斜率为坐，即tan乎.

，a=30°.，直线I的斜率k=tan2a=tan60°=A/3.

又/过点M(2,一1),・•・/的方程为.一(一1)=小(x-2),即小x-y-2小一1

=0.

(2)由题意知，直线/与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设/的斜率为

k.则ZW0.则/的方程为y-3=«x+2).

令x=(),得)，=24+3;

3

令)，=0,得x=—%—2.

于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为

1|(2/:+3)(-1-2j|=4,即(24+3)弓+2)=±8,

I..0

解得k=.］或k=

1.Q

/./的方程为y—3=—z(x+2),或y—3=—式x+2).

即1+2)，-4=0或9x+2y+12=0.

19.(本小题满分12分)已知两条直线/i：然一力+4=0,上：(〃一l)x+y+。

=0,求分别满足下列条件的。、力的值.

(1)直线/l过点(一3,—1),并且直线与直线，2垂直；

⑵直线/I与直线〃平行，并且坐标原点到小，2的距离相等.

【解】(l)VZl±/2,

，〃(。-1)+(—/?)•!=0.

即cr-a-b=0.(^

又点(一3,—1)在/i上，

・・・-3。+方+4=0.②

由①②解得。=2,b=2.

(2)・・・/I〃/2且上的斜率为1-a,

.../i的斜率也存在，

即一•

故人和/2的方程可分别表示为

,4(。-1)

/i：(a-l)x+y+---=0,

/z:(a-l)x+y+

・・,原点到人与/2的距离相等，

川、■口=,解得〃=2或a=|.

2

a=2o,。=孑，

因此V或〈3

，=-2,1=2.

20.(本小题满分12分)如图1所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点

M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y6=0,点7(—1』)在AD边所在直线

上.求：

图1

(1)A。边所在直线的方程;

(2)OC边所在直线的方程.

【解】(1)由题意知ABC。为矩形，则

又AB边所在直线方程为x-3y-6=0,

：.AD边所在的直线的斜率kAD=-3,

而点7(—1,1)在直线4。上，

・・・A。边所在直线的方程为3x+)，+2=0.

(2),・♦M为矩形ABCD两条对角线的交点,

・••点M到直线和直线QC的距离相等.

又。C〃A8,・・・可令QC的直线方程为

尤—3y+，〃=#—6).

4_2

而M到直线AB的距离d=回一弓回.

・・・M到直线。。的距离为初5,

|2+词_2

/15=>〃?=2或一6,

即V10

又〃zW—6,.*.777=2,

・・・QC边所在的直线方程为A—3y+2=0.

21.(本小题满分12分)如图2,已知点A(2,3),8(4,1),ZSABC是以A8为底

边的等腰三角形，点C在直线/：x—2y+2=0上.

图2

⑴求边上的高CE所在直线的方程；

(2)求△A8C的面积.

【解】(1)由题意可知，E为A8的中点,

・・・风3,2),且履小一七