大学物理习题第3章习题参考答案

第三章刚体的定轴转动

3-1(1)铁饼离手时的凫速度为

69=v//?=25/1.0=25(rad/s)

(2)铁饼的角加速度为

1252

(O__=39.8(rad/s2)

万一2x24x1.25

(3)铁饼在手中加速的时间为

202x2^-x1.25

=0.628(s)

~~co~25"

3-2(1)初角速度为

g=2乃x200/60=20.9(rad/s)

末角速度为

s=2乃x3000/60=314(rad/s)

角加速度为

a==当清9=4k9(rad/s2)

(2)转过的角度为

ag40,20.9+314_,,2々囱、

0-------1=-------------x7=1.17x1()rad=186(圈)

22

(3)切向加速度为

生=6r/?=41.9x0.2=8.38(m/s2)

法向加速度为

2242

at=6y/?=314x0.2=1.97xl0(m/s)

总加速度为

a=+a：=78.372+(1.97XI04)2=1.97X104(m/s2)

总加速度与切向的夹角为

0=arctan—=arctan=89°59'

8.37

3-3(I)对,轴I的转动惯量

J)=2w[(acos600)2+(。+acos600)2]+m(a+24cos60°)?=9ma2

对轴n的转动惯量

人=4"?(asin600)2=3rna2

(2)对垂轴的转动惯量

人=2/726/2+2〃Z(2QCOS30°)2+in(2a)2=\2ma2

3-4(1)设垂直纸面向里的方向为正，反之为负，则该系统对。点的力矩为

3331113

M0=fng-I+=-mgl

(2)系统对。点的总转动惯量等于各部分对。点的转动惯之和，即

Jo=J]+J,+J3+J4

/21"I213m312z3/.2

43443444

37

=——ml/~2

48

(3)由转动定律M=邛可得

36g

p———

J。匕储371

48

3-5(1)摩擦力矩恒定，则转轮作匀角加速度运动，故角加速度为

P=①「①。=(0.8・1)5=—0.2g

Ar

第二秒末的角速度为

=g+,=g—0.2gx2=().6g

(2)设摩擦力矩与角速度。的比例系数为a,据题设可知

,do)

M=aco,即J——Ctco

rdr

a..coa

—drIn——=—t

豌J

据题设，=1s时，用=0.8g,故可得比例系数

a=Jln0.8

由此f=2s时，转轮的角速度啰2为

In丝=21n0.8

①o

co-,=0.8"g=0.64<w0

3-6设飞轮与闸瓦间的压力为N,如图示，则二者间摩擦力(二〃V,此摩擦力形成阻力矩

f,R，由转动定律

邛=邛

其中飞轮的转动惯量厂心，角加速度六〒二-葛〃’故得

/2-

f=——TnnnR

r5

=-1^-x60x(1000/60)x0.25

=-314(N)

见图所示，由制动杆的平衡条件可得习题3-6图

F(/I+/2)-/V7I=0

•••N・N4

得制动力

F=一=一'Mx"，=3I4(N)

〃([1+/2)0.4(0.5+0.75)

3-7如图所示，由牛顿第一定律

对:7\一"?[g=

对〃?2:m2g-T2=in2a2

对整个轮，由转动定律

(1]

T2H2一7内=

Z

又由运动学关系

0=ajR、=a2/R2

联立解以上诸式，即可得

(恤氏2一机内必

(MJ2+町)R：+(%/2+叫限

3-8设米尺的总量为小，则直尺对悬点的转动惯量为

(a)

I=—ni.lrd—

33

12“12

=-x—mx0.4~+-x—mx0.6-

3535

1.4

=——m

15

=0.093m

33122I

M=-mgx—x------mgx—x—=0.Img

552552

又M=1。/=—m

15

°MO.lmgx15,a

:.B=——=------------=10.5(rads)

/1.4m

从水平位置摆到竖直位置的过程中机械能守恒(以水平位置为。势能点)

z1y2

mghc=­J69

11.4,

即mgx0.1=—x——mco~

21.5

n①=V2T

3-9/〃视为质点，M视为刚体（匀质圆盘）。作受力分析（如图所示）

mg-T-ma

RT=Jp

<a=R0

J=-MR2

2

(1)由方程组可■解得

m1

a=-----------g=—g

m+M/22

物体作匀加速运动

1

v=v+at=-gt

0乙

(2)物体下落的距离为

当/=4时

x=；gx4?=4g=39.2(m)

(3)绳中张力由方程组解得

7=gmg

解法2：以=0时物体所处位置为坐标原点。,以向下为x正方向.

(1)由机械能守恒：

—J692+—mV2=nigx

J=-x2mR2

2

V=coR

习题3-9图(2)

=>V2=gx两边就，求导得

,gd/

ndv=—

2

1

=1，=渭

(2)

d.t1

—二—gt

则dt2

dr

dv=­g/山

dr

（3）vm匀加速运动，由V二ggf以及h=0知

。劣Lr=lmg

又由"2g一7="也

3-10如图所示，唱片上面元面积为由=2闵/,，质量为5〃=〃22闵厂/（成2）,此面元受转

盘的摩擦力矩为

dM=rdf=，"d"?g=/〃9〃32d闵/7（成？）

各质无所受力矩方向相同，所以整个唱片受的磨擦力矩为

M=JdM

_4〃吆j'd^£r2dr

兀R?

2

=

唱片在此力矩作用下做匀加速转动，角速度从0增加到。需要

时间为

co_co3Ra)

a我

“G"?24〃*

唱机驱动力矩做的功为

A=MA。=M“ot=一〃求%2

2

唱片获得的动能为

222

2-I-1/M/?U=-1mRa)2

Ek=­Jco—

k2224

3-11对整个系统用机械能守恒定律

-m.gh+-klr+-m.v2+—Jco2=0

122,2

以/=,，〃〃2,刃=1，/r代入上式，可解得

2

^2m,gh-kh2/2x().08x9.8x().5-2x().52一。，

———-------=、---------------------------=1.48m/s

V0.08+0.05

3-12(1)丁字杆对垂直轴。的转动惯量为

112

Jo=J()c+J°AB=4〃/+不〃?(2/尸

对轴O的力矩M。=3〃吆/,故由M=邛可得释手瞬间丁字杆的角加速度

AMo133g

p=--=—nisix----=—

2

Jo22ml4/

(2)转过90。角后，知矩M'=0,则夕=0。由机械能守恒知

〃吆:.co=\pSL

L乙VJ。

此时角动量

L==JmglJ。=m

转动动能为

匕1,21,

Ek='J()①二]团0

3-13(1)利用填补法，将小碎片填入缺口，此时为均匀圆盘对。轴的转动惯量=!见尸,

挖去小碎片，相应减少乙=inR2,故剩余部分对。的转动惯量为

=3=5，〃()R~-mR~

(2)碎片飞离前后，其角动量守恒

2

=+mRco]

故剩余部分的角速度与原来的角速度相等。

3-14由于转台和人系统未受到沿轴方向外力矩，所以系统的角动量守恒，即

Jco[=(J+M/')g

由此可得转台后来的角速度为

120024

co.=------r69.=-----------x—=0.496(rad/s)

J+Mr211200+80x2210

3-15慈星在有心力场中运动，角动量•守恒。设其质量为M,近口点速率为％,与太阳之距

F远日点速率为V2,与太阳之距2则有

=MV2r2

=乜546x10：x8.75x10,°=5.26x1O'2(m)

匕9.08xl()2

3-16(1)由于d"=g

v=yl~gr=J9.8x2.5=4.95(m/s)

(2)由飞船和宇航员系统角动量守恒可得

3mvR-Jco=0

由此得飞船角速度为

3mvR3x70x4.95x2.5”

(o=-------=----------------------=8.67x10*(rad/s)

J3xl05

(3)飞船转过30。用的时间」=九/(6。),宇航员对飞船的角速度为。+〃R,在时间/内

跑过的圈数为

1v

刀=(0+句/?)〃(2万)=—(1+一)

12coR

=—1x(l+——学495——)=19(|ffl)

128.67xIO-3x2.5

3-17太阳自转周期按25d计算，太阳的自转角动量为

2,

人=-mR~co

5

=-xl.99xl030x(6.96xl08)2x———

525x86400

=l.lxl042(kg-m2/s)

此角动量占太阳系总角动量的百分数为

=33%

(0.11+3.2)xlO43

3-18(1)由于外力沿转动中心0,故外力矩恒为零，质点的角动量守恒，即

mV^=mV2r2

"?匕八=mr^co

故小球作半径r2的圆周运动的角速度为

0华

(2)拉力尸做功为

:口i1212m

IZ1Z-1彳

A=\r-d.s=—mV2——mV)=一

•222

3-19(1)

J=/杆+J球

1.2,24.2

=—ml+mr——ml

33

(2)在转动过程中无耗散力，系统机械能守恒，设初始时刻重力势能为零，有

0=^J(o2-mg(―cos0)-(/cos<9)

解得：①=：^^cos6

3-20(1)子弹射入木棒中为完全非弹性碰撞，角动量守恒:

m[-l+3-o

mv—l=

41.4J3

解得

mv