广东省东莞市2025年初中学业水平模拟联考（二）数学试题（含答案）

广东省东莞市2025年初中学业水平模拟联考（二）数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数.如果公元前500年记

作-500年，那么公元2025年应记作（）

A.-2025年B.-2520年C.2025年D.2523年

2.抗口战争时期，我国“四万万同胞“同仇敌忤，经过十四年艰苦卓绝的抗战，终于取得了最后的胜利.数据

“四万万”即400000000用科学记数法可以表示为（）

A.4x109B.40x108C.4x108D.0.4x1O10

3.若x=1是方程+mx+1=0的一个解，则m的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

4.在东莞的可园、观音山国家森林公园、松山湖景区、鸦片战争博物馆、粤晖园这五个著名旅游景点中，

随机抽取一个景点去游玩，抽到观音山国家森林公园的概率是（）

A，D，

IIC-II

5.下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A.等边三角形B.平行四边形C.菱形D.正五边形

6.下列运算正确的是（）

A.a+a=a2B.（ab）2=ab2C.a2-a3=a5D.aa=2a

7.如图所示，乙4。。=90。，点B,。，。在同一直线上.若乙1=26。，贝此2的度数为（）

?1

A.116°B.84°C.124°D.106°

8.如图，一次函数=+b与反比例函数丫2=朱的图象相交于A,B两点，点A的横坐标为2,点B的

横坐标为-1,则不等式七x+bV勺的解集是（）

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A.-1<%<0或%>2B.%<-1或0<“<2

C.x<-1或第>2D.-1<无V2

9.如图，的半径为夕，以圆外一点力为圆心，画半径为4的孤，将08截成弧长相等的两部分，则4B

两点的距离为（）

A.V3B.2V2C.3D.V23

10.如图1,线段0P表示一条拉直的细线，4、8两点在线段0P上，且。4:4尸=2:3,。8:8尸=3:7.若先固

定A点，将。4折向AP,使得。力重叠在4P上；如图2,再从图2的8点及与8点重叠处一起剪开，使得细线分

成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（）

0BAP

I〃////〃//〃/〃///〃/〃///〃///I图］

I

ABO尸

底/牛〃〃〃"/〃〃力图2

X

A.1:1:2B.2:2:5C.2:3:4D.2:3:5

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.将抛物线y=5/向上平移2个单位长度得到的抛物线表达式为.

12.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则a+b0.（填“>卬〈”或“=”）

ab

-1,11•1--1_>

-2-1012

13.分式方程三的解为.

14.引入新数i,新数i满足分配律、结合律、交换律，己知i2=-l,则（14-0（1-0=.

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15.如图，在矩形A8C0中，点E为边AD上一个动点，若S-EF=6,S^EDC=9,则图中阴影部分的面积

为_________

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.计算：（〃一3）°十|-2|-*-t-V8

17.如图，在△ABC中，AB=AC.

（1）实践与操作：利用尺规过点C作的高CF,尸为垂足；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写

作法，标明字母）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，^^ACF=16°,求4BC尸的度数.

18.物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮4一端拴在滑

块8上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块8的左右滑动来调节物体C的升

降.实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体。到定滑轮4的垂直距离是8dzn,AB+BC=

16dm.（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）

（1）求绳子的总长度；

（2）如图2,若物体C升高7dm,求滑块B向左滑动的距离.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场

打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等.

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数

数

4场

00

二9

二

9二

Xr8M

7—7

rn「

120

丙

甲乙丙丁评委老师甲乙丙丁评委老师

1班2班

图1图2

（1）评委丙给2班的打分是______分；

（2）1班成绩的众数是分，2班成绩的中位数是分；

（3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜.

20.随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设.据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的

公共充电桩.已知安装3个甲型充旦桩和2个乙型充电桩共需成本5.6万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型

充电桩共需成本5.4万元.

（1）求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元：

（2）若该市计划再安装甲、乙两种型号的充电桩共50个，且总成本不超过54万元，求最多能安装多少

个甲型充电桩.

21.综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒

如图I,正方形纸片ABCQ的边长为12,在正方形4BCD内部作等边三角形ABE,连接

（1）求证：DE=CE.

（2）如图2,在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做

成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）.

①该纸盒的高为X,用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围.

②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.

22.如图1,。。是△力8c的外接圆，4c是直径，弦4P与BC交于点E,OP与BC交于点、Q,^CPH=/-CAP.

第4页

(1)求证：P〃是。。的切线；

(2)若。P18C,BE=1,CE=2,求劣弧PC的长；

(3)如图2,BC=2AB,BD1AC于点D,交4E于点F,EF斑点E顺时针旋转90。得到EG,点G恰好在线

段OC上，求证：CE=2BE.

23.如图1,矩形ABCO的两个顶点,4,8分别落在x,y轴上，顶点C,。位于第一象限，对角线AC,BD交于

(1)求k的值；

⑵点M,N分别在射线48、射线ZM上，满足CMJ.MN,CN上DM,求乙MCN的度数；

(3)如图2,若抛物线y=-/+人工+。的顶点2是线段4。上一动点，与工轴交于点长，L,过点P作PH_L

工轴于点H,当KY一。”2取得最大值时，求此时△C〃G的面积.

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：:公元前500年记作-500年,

・••公元前为"一”,

・••公元后为

・•・公元2025年就是公元后2025年，

・••公元2025年应记作2025年.

故选：C.

【分析】根据相反意义的量进行求解即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：根据题意得

400000000=4xl08.

故选：C.

【分析】学记数法的表示方法是将一个数较大的数表示为QX10注的形式，（其中1<|a|<10,n位数少1）,

根据科学记数法的形式来求解.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：・.”=1是方程%2+皿+1=0的一个解，

；・1+讥+1=0,解得m=-2,

故答案为：D.

【分析】根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解“，将x=l代入原方程可得关于

字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：・・・景点的总数为5,其中音山国家森林公园为1

.n_1

••卜（抽到观音山国家森林公园）一百'

故答案为：B.

【分析】本题考查了概率的计算，如果一个随机事件有匚种可能的结果，并且这些结果出现的可能性相同，

那么某个特定事件□发生的概率P（4）=事?短生:吗数.根据概率的计算公式即可解答。

事件的总次数

5.【答案】B

【解析】【解答】解：A：等边三角形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故A错误；

B：平行四边形为中心对称图形，但不为轴对称图形，故B正确：

C：菱形及为中心对称图形也为轴对称图形，故C错误；

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D：正五边形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故D错误；

故答案为：B.

【分析】轴对称是把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于

这条直线称对，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。

中心对称是一个图形绕着某一点旋转180,如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这个点对

称，也称这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心。根据中心对称图形与轴对称图形的特点逐一判断即

可.

b.【答案】C

【解析】【解答】解:A.a+a=2a,故选项A错误；

B.（出>）2=Q2b2,故选项B错误;

C.Q2.Q3=Q5,故选项C正确；

D.a-a=a2,故选项D错误.

故选C.

【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数品相乘逐项判断即可.

7.【答案】A

【解析】【解答】VZAOC=90°,Z1=26°AZBOC=90°-26°=64°

•.•点B,O,D在同一直线上，

.\ZBOD=180°

・•・Z2=180°-ZBOC=180°-64°=116°.

故答案为：A.

【分析】由图示可得，N1与NBOC互余，即N1+NBOC=90。，求出NBOC,由于N2与NBOC互补，即

Z2+ZBOC=180°,求出N2。

8.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量

X

的取值范围，

・•・不等式k6+b<”的解集为一1<x<0或%>2,

X

故答案为：A.

【分析】借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量x的取值范围即可解题.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，

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•・•将OB截成弧长相等的两部分，

二•CD为直径，

.\AC=AD=4,BC=BD=V7

，AB垂直平分CD,

・•・，ZABC=ZABD=90°

••AB=yjAC2—BC2=^42—(V7)2=3’

故答案为：C.

【分析】由将截成弧长相等的两部分得为0B直径，根据题意可得4c=4。=4,BC=BD=6则

4B垂直平分CD,然后根据勾股定理即可求解.

10.【答案】D

【解析】【解答】设0B=3x,则BP=7x,

.*.OP=OB+BP=10x,

*：OA\AP=2:3,

OA=4x,AP=6x,

.\AB=OA-OB=x,

将04折向4P,使得04重叠在AP上，再从点B重叠处一起剪开，

得到的三段分别为：2x、3x、5x,

故答案为：D.

【分析】设OB=3x,根据题意可表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x,

OB=3x,BP=5x,即可得到比值.

11.【答案】y=5/+2

【解析】【解答】解：将抛物线y=5M向上平移2个单位长度得到抛物线的表达式为y=5/+2.故答案

为：y=5x2+2.

【分析】掌握平移的规律“左加右减，上加下减”.根据平移规律即可求出新抛物线的解析式。

12.【答案】<

【解析】【解答】解：由题意得：a<O<b,|a|>|b|,

a+bV0,

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故答案为：V.

【分析】观察数轴可知a<0<6且|a|>\b\,再利用有理数的加法法则进行计算，可确定出a+b的符号.

13.【答案】x=-2

【解析】【解答】解：=

X—LX

等号两边乘以（x-2）x得：2%=%-2,

解得：x——2,

经检验％=-2是原方程的解；

故答案为：x=-2.

【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可.

14.【答案】2

【解析】【解答】解：（1+i）（l-i）=1-t2=1-（-1）=2.

故答案为：2.

【分析】首先利用平方差公式将待求式子展开，再将i?=l代入计算，可求出结果.

15.【答案】15

【解析】解：••・S^BEC=IBCxABSMDC=鼻0xDC

ABCD是矩形，AD=BC,AB=CD

S矩形48CD=BCXAB

S&BEC=S“DC=2s矩形ABCD

•*,S^BFC=S4BEC~S&EFC

=SAADC_S4EFC

=S^AEF+S&EFC+S&EDC~5AEFC

=S0£F+S&EDC

=9+6

=15

故答案为：15.

【分析】先证S^EC=SMDC，再利用三角形面积的和差关系求出阴影部分的面积。

16.［答案］解：（江_3）°+|—2|_（另1+叁

=1+2-2+272

=1+2V2

【解析】【分析】先算乘方和升方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.

17.【答案】（1）解：如图所示即为所求：

第9页

c

(2)解：

VZACF=16°,

ZAFC=90°

.\ZA=90o-16o=74°

VAC=AB

1

/.^ACB=5(180°-z/l)=53°

ZBCF=ZACB-ZACF

=53°-16°

=37°

【解析】【分析】（l）根据高的尺规作图方法作图即可；（2）在RSACF中，NA与/ACF互补，求出

ZA,由于三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，求出NACB,而

ZACB=ZACF+ZBCF,即可求出NBCF.

（1）解：如图所示即为所求：

(2)解：*：z.ACF=16°,々CR4=90。,

=90°-Z.CFA=90°-16°=74°,

'：AB=AC,

180。一乙41800-74°

22

J.LBCF=LACB-Z.CFA=53°-16°=37°.

第10页

18.【答案】(1)解：在RSABC中，4c2+8〃=4/即8?+(16—48)2=482解得：AB=10(dm),

，绳子t<®=AD+AC=10+8=18(dm)

IIII可知BE=16-I0=6(dm)

若物体C升高7dm,则此时

AC=8-7=l(dm),

AB=18-l=17(dm),

・••在RSABD中，BO=-JAB2-AD2=V172-82=15(dm)

Z.BE=BD-ED=15-6=9(dm)

答：滑块B向左滑动的距离为9dm

【解析】【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键.

(1)利用勾股定理运算求出AB,而绳子长度=AB+AC；

(2)C升高7dm,由1知AB=17dnBE=6dm,利用勾股定理运算求出BD.移动距离等于BD-BE即可求

解。

(1)解：设=则8。=16-%，

在中，AC2-^-BC2=AB2,

A82+(16-x)?--，

解得：x=10,

••AB-10dm,

・,•绳子长度=AB+AC=104-8=18(dm)；

(2)解：如图进行标注：

若物体C升高7dm,则此时AB=10+7=17(cm),

・•・在g△48。中，BD=y/AB2-AD2=V172-82=15(cm)，

：.BE=BD-ED=15-6=9(cmi,

答：滑块B向左滑动的距离为9dm.

19.【答案】(1)10

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(2)9；9.5

(3)解：根据扇形统计图中圆心角的度数，可知乙和丙圆心角度数是90。

甲所对的圆心角为360。-90。-90。・120°=60。,工四位评委的权重比是60：90：120：90=2：3：4：3.

1班力口权平均分：(8x2+9x3+9x4+10x3)-(2+3+4+3)=9今为(分).

2班力口权平均分：(7x2+9x3+10x4+10x3):(2+3+4+3)=9：(分).

4

.・・冶〈4

••・2班获胜

【解析】解：(1)・.・1班平均分为(8+9+9+10)44=9(分)，

・・・2班平均分也为9分，

・••评委丙给2班的打分为4X9-(7+10+9)=10(分).

故答案为：10；

(2)

解：1班成绩是8、9、9、10,所以1班的众数为9分.

2班成绩从小到大排列为7,9,1(),1(),

・・・2班成绩的中位数为(9+10)+2=9.5(分).

故答案为：9,9.5;

【分析】(1)根据平均数相等即可得出答案；(2)众数是一组数据中出现次数最多的数值，中位数是按顺

序排列的一组数据中居于中间位置的数，如果这组数据是偶数个，众数取中间两个的平均值，本题由众数

4/1+町/2+…+与/n

和中位数的定义求解即可；(3)加权平均数的计算公式为：x=其中X表示各数值，f

/1+/2+-+/n

表示各数值的权重。

根据图2计算出甲、乙、丙、丁圆心角的度数，再计算出他们的权重比，再根据加权平均数的定义列式计

算，从而得出答案.

(1)解：・.・i班平均分为竽±坦=9(分)，

・・・2班平均分也为9分，

，评委丙给2班的打分为4X9-(7+10+9)=10(分).

故答案为：1();

(2)解：1班成绩的众数为9分.

2班成绩从小到大排列为7,9,10,10,

・・・2班成绩的中位数为学=9.5(分).

故答案为：9,9.5;

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(3)解：根据扇形统计图中圆心角的度数，得甲所对的圆心角为60。,

・•・四位评委的权重分别为甲：翳是，乙：黑=』，内：舞凸，「：翁=4•

3606360436033604

1班得分为8x*9x4+9x鼻10x<=9上(分).

2班得分为7x!+10xJ+lOxj+9x)=9j(分).

64344

V9—<9-»

・・・2班获胜.

20.【答案】(1)解：设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成木y万元，

+2y=5.6

£+3y=5.4

解得:fyVl2

答：每个甲型充电桩的安装成本12万元，每个乙型充电桩安装成本I万元

(2)解：设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩(50-巾)个，

1.2m+(50-m)<54

解得:m<20,

答：最多能安装20个甲型充电桩

【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意找出等量关

系列出方程组和不等式求解即可.

(1)设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，根据“安装3个甲型充电桩和2

个乙型充电桩共需成本5.6万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本5.4万元”列出方程二元一次

方程组求解即可；

(2)设安装甲型充电桩m个，成本1.2m,安装乙型充电桩(50-m)个，成本(50-m)xl,再根据“总成本

不超过54万元”即1.2m+(50-m)454,列出不等式求解即可.

(1)解：设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，

+2y=5.6

£+=S.4'

解得:院孑，

答：每个甲型充电桩的安装成本1.2万元，每个乙型充电桩安装成本I万元.

(2)解：设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩(50-m)个，

1.2m+(50-m)<54,

解得：m<20,

答：最多能安装20个甲型充电桩.

21•【答案】(1)证明：•・♦四边形ABCD为正方形，4ABE是等辿三角形

第13页

/.AD=BC,AE=BE,ZEAB=ZEBA=60°

ZDAE=90°-ZEAB=30°

ZCBE=90°-ZEBA=30°

・•・△DAE^ACBE(SAS)

ADE=CE

(2)解：①如图所示，△ABE是正三角形，AB=12,作AB边上的高EN,作BE边上的高AM,纸盒的

E

局是OG,纸显的底面边长是OL

VZOAG=30°,设OG=x,

.\AG=BK=>/3x

AB=AG+OL+BK=OL+2x^3x

.,.OL=12-2V3x

12>OL>0,即122/5x>0

求出0VxV2V5

・••纸盒底面边长为：12-2百x(0<x<2V3);

②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y,

则y=3•x•(12-2V3x)=-6痘(x-V3)2+1873

当无=百时，y取得最大值18国

【解析】【分析】本题主要考查正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，(1)根据正方

形，等边三角形的性质证明△DAEgZXCBE(SAS),即可求证DE=CE；

(2)

①△ABE是正三角形，AB=⑵作AB边上的高EN,作BE边上的高AM,纸盒的高是OG,纸盒的底面边

长是OL,设OG=x,解RtAAOG,求出AG=KB=V3x.ffiAB=AG+OL+BK=OL+2V5x=12.即可求出OL=12-

2V3X,0<12-2VJxV12.可求出x的取值范围。

②该纸盒的侧面积是三个长为(12-2/x),宽为x的矩形。二次函数丫=Q(X-h/+k当a<0,x=h时最大

值是K.利用二次函数最值的方法求出最大值。

(1)证明：•・•四边形ABCO为正方形

：,AD=RC^DAR=/LARC=90°,

•••△A8E为等边三角形，

第14页

：.AE=BE,LEAB=/-EBA=60°,

：.^DAB-乙EAB=^ADC-乙EGA,

^Z-DAE=Z-CBE,

：,LDAE=△CBE{SAS),

：.DE=CE.

(2)解：①如图所示，作NBAE的角平分线AM交BE于点M,作乙4E8的角平分线EN交力及丁点N,两角平分

线交于点P,9iOG=0H=KL=x,

E

J./-OAG=30°,则0力=2OG=2x,

•'-AG=>/OA2-OG2=J(2x)2一①=岳，

同理，BK=AG=6x，

:・GK=OL=AB-2AG=12-2y氐c,

由题意可得，AN=^AB=6,

:,NP=^AN=2百，

0<x<2百，

，纸盒底面边长为：12-2b%(OVXV28)；

②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y,

则y=3•x•(12-2百0=-6V3(x-V3)2+18遥<18如,

当％二6时，丫取得最大值186.

22.【答案】(1)证明：•・•AC是。。的直径；

・•・ZAPC=ZOPC+ZAPO=90°,

VOA=OP

:.ZOAP=ZOPA

ZCPH=ZCAP

・•・ZOPA=ZCPH,

/.ZOPH=ZOPC+/CPH=9()0

OP是圆的半径

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APH是O。的切线

⑵解：VDE=1,CE=2ADC=2+1=3,

VOPIBC,

・・・CQ弓8"，

在^PCE和^QCP中

ZBCP=ZBCP

ZAPC=ZCQB

・•・△PCE^AQCP

PC=CQ

CE='PC

CP2=CQxCE=^x2=3ACP=V5,

3r

coszQCP=阳=%=苧・•・ZQCP=30°,

YCP热2

ZQPC=60°

・•・△是等边三角形，

ZOPC=60°

OC=CP=V3

ZCAP=30°

・•・劣弧PC的长为空您x60=学

ODUU5

劣弧PC的长为唱7r

（3）解：过点F、G作BC的垂线，垂足分别为M、N,

由旋转的性质知/FEG=90°EF=EG,

*/ZFEM+ZGEN=90°

ZNGE+ZGEN=90°

AZFEM=ZNGE

ZFME=ZGNE=90°

.*.△FEM^AEGN,

GN=EM,EN=FM

1AC是。。的直径,

第16页

••・ZABC=90°

BD垂直AC,ZADD=90°

NABD=NACB

AB/7FM

ZABD=ZBFM

2/AZ_BCGN1

tanZACB--^=^=2

即NC=2GN

/.NC=2EM

lan/BFM=鬻=J

FM2

即FM=2BM

AEN=2BM

・・・CE=EN+NC=2BM+2EM=2(BM+EM)=2BE

ACE=2BE

【解析】【分析】(1)根据圆周角定理求得NAPC=NOPC+NAPO=9()。，再证明NOPH=NOPC+/CPH=90。,

且OP是半径，即可证明PH是。。的切线：(2)利用垂径定理求得利用AA证明

△PCEs^QCP,求得CP,利用特殊角的三角函数值求得NQCP=30。，推出△OPC是等边三角形，求出

NCAP=30。，圆的半径是V5.再根据求弧长的公式£=袈x几求日劣弧PC的长度。

□OU

(3)过点F、G作BC的垂线，垂足分别为M、N,根据-•线三直角证明△FEMgZ\EGN,得CN=EM,

EN=FM由于AD_LAC,AB±BC,PM±BC>CN±BC,得至ijNACB=NABD=NBFM,可知

tanZBFM=p^=l,得至ljFM=2BM=EN,tanZACB=^=^=1,得NC=2GN=2EM,而CE=EN+NC,

BE=BM+EM,代入化简得至I」CE=2BE.

(1)证明：:AC是。。的直径，

：.Z.APC=乙APO+乙OPC=90°,

'：OA=OP,

：.LAPO=ZC4P,

VzCPH=/-CAP,

工(CPH=Z.APO,

：.Z.OPH=Z-CPH+Z-OPC=90°,

：0P是OO的半径，

・・・PH是。。的切线；

(2)解:•:BE=1,CE=2,

第17页

：.BC=1+2=3,

*：0P_BC,

:.BQ=CQ=^BC=当乙EPC=乙PQC=90°,

'：LPCE=乙QCP,

：,△PCEQCP,

.CP_CQ

••亨一讦'

Q

ACP2=CQxCE=^x2=3,

:.CP二遍,

3r

•・・cos""噜=专=苧

:.乙QCP=30°,

"CPQ=60°,

•：OC=OP,

•••△CP。是等边三角形，

・"COP=60°,oc=CP=8，

・.・劣弧PC的长为嗨a=学；

loU3

(3)解：过点?、G作8C的垂线，垂足分别为M、N,

由旋转的性质知乙FEG=90。，EF=EG,

J.LFME=乙FEG=乙ENG=90°,

：,Z-FEM=90°-乙GEN=乙EGN,

A△FEM三△EGN(/L4S),

：.GN=EM,EN=FM,

•・・力。是0。的直径，

，乙48c=90°,

VBDLAC,

：.zADR=90°,

：.Z-ABD=90°-Z.BAD=Z.ACB,

第18页

•；FMLBC,

.\AB||FM,

J.Z.BFM=乙ABD=4AC9,

■:BC=24B,

ARI

Atanz5FM=tan^ACB=匿=分

.GN_1BM_1

•*CW=2,FM=2f

：.CN=2GN=2EM,EN=FM=2BM,

：.CE=CN+EN=2EM+28M=2BE.

23.【答案】(1)解：如图1,ABCD是矩形，ZABC=90°

作CEJ_y轴于点E,

图1

V0A=6,0B=4

AB(O,4),A(6,0)

VZBEC=ZAOB=90°

NECB+NEBO90。

ZECB+ZABO=90°

.\ZECB=ZABO

tanZABOtanNECB嚼=黄=5

/.BE：EC=3：2

设CE=2a,BE=3a

C(2a,4+3a),A(6,0)

G是AB的中点

G(a+3,2+1.5a)

双曲线经过C、G

即

2a(4+3a)=(a+3)(2+1.5a)

第19页

解得:=1,02=—寺(舍去),

，C(2,7),G(4,3.5)

K=xy=14

.\K=14

(2)解:由(1)得,A(6,0),B(0,4),C(2,7)

AB=y/AO2+BO2=2<13,

DC=十(7-4.=V13

•.•矩形ABCD,

・•・ZCDN=90°

VCM-LMN

ZCMN=90°

・•・ZCDN+CMN=180°

・・・C、D、N、M四点共圆，CN是圆Q的直径

又・・・CN_LDM,

・・・CN平分DM

・•.三角形MCD是等腰三角形，CD二CM

AB=CD=CM=2V13>CB=V13

sinZCMB=^=|

・•・ZCMB=30°

CN是圆的直径，ZCMN=90°

・•・ZAMN=90o-30o=60°

VMA_LDN

/.ZMNA=90°-60°=30°

VC.D、N、M四点共圆

ZMND+ZDCM=180°

.\ZDCM=180o-30o=150°

第20页

(3)解:由(1)得，A(6,0),C(2,7),G(4,3.5),

22

•.・抛物或y=-X2+bx+c=—(x-?)+"+C

二顶点p([冷+。)，

,庐

•・P"+c

••・顶点P是线段AC上一动点，

h2

A0<^-+c<7*

令y=0,则_(%_刍+%+c=o

=+

则*12&+c'X2=^-J.+c

•.,抛物线与％轴交于点K,L,

“L当黑^一(bfP-\lb2

2-月+]=2月+

22(1

:.Kl7-PH2=121-

=4停+cH£)

2y

=_骨fb

2-c-2+4

当号+c=2时，KZ?一尸"2有最大值*此时PH=2,

此时SACHG=S&CPH~S&GPH

11,

PH

=2.(盯一%C)一^PH•肉-xG)

1

=7^PH■(x-x)

乙Gc

1

=«-x2x(4-2)

乙

=2

,此时SACHG的面积为2

【解析】【分析】(1)作CEJ_y轴十点E,根据一线三直角模型证NECB=/ABO。解直角三角形得到BE：

EC=3：2,设CE=2a,BE=3a,则C(2a,4+3a),根据中点公式求出G(a+3,2+1.5a).双曲线经过C、G,把

C、G坐标代入y=K中建立方程求出a=l,继而求出C（2,7）,K=xy=14,问题得到解决。（2〕根据四边形对

角互补判断C、D、N、M四点共圆，CN是圆Q的直径。根据垂径定理得到CD二CM

解RtZkCBM,求出NCMB=30。，CN是圆的直径，ZCMN=90°,得到/AMN=60。，MA1DN,得到

ZMNA=30%C、D、N、M四点共圆对角互补得到NDCM=150。。而NMCN=1/DCM=75。

（3）根据二次函数的性质得到顶点PR,《+C\求出二次函数与X轴的交点坐标K（2。），

2

L（M%C'0）继而求出22

KL=2l—+cf结合P”轴得到PH="则有KL2—P"2=

44

22

9一+4，可知当户”=%+c=2时，/CL?—p“2取得最大值，再利用三角形的面积公式SMHG=

S&CPH