第20章《勾股定理》单元检测卷（含答案）-2026年人教版数学八年级（下）

人教版2026年八年级（下）第20章《勾股定理》单元检测卷

满分120分时间120分钟

一、选择题（共30分）

1.在下列四组数中，是勾股数的是（）

A.2,1,x/5B.6,8,12C.7,40,41D.5,12,13

2.△48C在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm,则718的长为（）

A.>/T3cmB.V5cmC.4cmD.4.2cm

3.如图，在数轴上找到表示数2的点A,然后过点4作4B1.04使力B=3.以。为圆心，OB长为半径作弧，交

数轴正半轴于点P,则点。所表示的数介于（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

4.如图，在△ABC中，D为BC上一点,BD=8,CD=6,AC=AD,记48长为4,AC长为"当x、y变化时，下

列代数式的值不变的是（）

A.x2+y2B.x2-y2C.x2-y2D.

5.如图，四边形A8CD中，ABIBC,ADLCD,分别以四边形ABC。的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积

分别是为Si、$2、S3、S4,若Si+S3=15,S2+S4=35,则力C的值是（）

A.5B.5V2C.5V3D.5V5

6.如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分8c为1尺.如

果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部8恰好碰到岸边的夕.则这根芦苇的长度是（）

A.11尺B.12尺C.13尺D.14尺

7.下列说法中正确的是（）

A.已知a,瓦c是三角形的三边长，则a?+b2=c2

B.在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方

C.Rta/IBC中，。,瓦。分别是乙4、（B、zZ•的对边，若立4二90。，则a2+/=

D.中，a,b,c分别是乙4、乙8、乙C的对边，若乙C=90°,则小+〃=c2

8.我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称

之为“商高定理”；三国时代的赵爽对倜髀算经少内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印

度、希造、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

A.

9.如图，在长方形力比;0中，AB=4,AD=10.将此长方形沿E尸所在的直线折叠，使点。与点8重合，则4E的

长为（）

Jc—5D.5

10.设ZMON=20。，A为OM上一点。力二4g，。为ON上一点，。。=8冉，。为力M上任一点，4是。。上任一点,

那么折线48CD的长力B+BC+CD最小值是（）

A.12B.8V3C.8D.1273

二、填空题（共18分）

II.在中，AA=90°,如果AC=3,BC=4,那么48=.

12.等边三角形的边长为5,那么它的面积是.

13.如图，在数轴上点A所表示的数为a,贝Ua的值为—.

14.为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动.这次植树活动中，小洛所在班

级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是2m,则小洛所在班级植树围成

的区域（AABC）的面积为n?.

15.如图，在中，乙4cB=90。，按以下步骤作图：①分别以点A和3为圆心，大于^48长为半径作弧,

两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点。.若CD=6,8。=10,则的长为.

16.在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,0）,点P的坐标为（7n-3,4-2m）,则AP最小值为.

三、解答题（共72分）

17.（8分）如图，在AABC中，CDLAB,垂足为点D.若AD=1,CD=2,BC=2再，判断△A8C的形状，并

说明理由.

18.（8分）如图所示的一块地，乙40c=90。，AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.

19.（8分）已知实数o,b,c满足伍一夕）2+VFK+|c-3或|=0.

⑴求实数4，8，C的值.

（2）以Sb,C为边能否构成直角三角形？请说明理由.

20.（8分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未

起，踏板•尺离地.送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千04静止的时候，踏板离地垂

直高一尺（AC=1尺），将它水平向前准进两步（E8=10尺），此时踏板垂直升高离地五尺（BD=5乂），求秋千绳索

（。4或08）的长度.

21.(87>)如图，ZkABC和都是等腰直角三角形，Z.ACB=Z.DCE=90°,CA=CB,CD=CE,连接力E,BD.

(1)证明：XACE"BCD；

(2)若&4=C8=6,AD=2^2,且々C4)=45。，求CE的长.

22.（1（）分）如图，己知△49C中，AC=4,AB=6,夕C=2g,请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图：（保

留作图痕迹，不写作法）

AA

（1）如图1,分别在边48,BC上找一点E■和点R使ABEr为等腰三角形且N4~E=90。.

（2）在（1）的条件下，求EF的长度.

23.（10分）【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古

书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制J'一幅“弦图”

（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

【探索求证】

（1）古今中外，勾股定理有很多证明方法，请你利用图3推导勾股定理:

（2）如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面

积关系满足Si+S2=53的有个;

【拼图发现】

（3）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为Q,宽为b的长方

形纸片拼成如图所示正方形.若大正方形的面积为32,小正方形的而枳为8,求每个小长方形纸片的对角线长.

24.(12分)如图，已知在AABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,动点P从点C出发，沿着△力8c的三条

边逆时针走--圈回到C点,速度为2cm/s,设运动时间为七秒.

备用图备用图

(I)求边上的高：

(2)£为何值时，△4CP为等腰三角形？

(3)另有一点Q,从点C开始，按顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒1cm,若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一

点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把△力BC的周长分成相等的两部分？

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案DACBACDBCA

二、解答题

11.\[7

12.-V3

4

13.-回

14.24

15.8V5

4y

,IA6-V

二、解答题

17.解：△ABC是直角三角形.

理由：

CD1AB,

Z.CDA=Z.CDB=90°,

在RtAACD中，由勾股定理得：

AC=VAD2+CD2=Vl2+22=V5,

在BCD中，由勾股定理得：

BD=<BC2-CD2=J(2通『-22=V16=4,

:.AB=AD+BD=5»

在△ABC中，

AC2+BC2=(V5)24-(2佝之=25,

AB2=52=25,

AC2+BC2=AB2,

•••△4BC是直角三角形.

18.解:连接AC,

c

"N----------------------------Z.ADC=90°,AD=4m,CD=3m,

AC=y/AD2+CD2=5m.

由AB=13m,BC=12m可得力C?+SC2=52+12z=货％/”=169f

AC24-BC2=AB2,

:.AAEC是直角三角形，

：•S。8c=30,S&ACD=6,

30-6=24(m2).

故这块地的面积为24m2.

19.(1)解：V(a-\[7)24-+|c-3\/2|=0,(a->/7)2>0,>0,|c-3V2|>0

.-.a-V7=0,/?-5=0,c-3>/2=0.

••a=V7,h=5,c=3V2：

(2)解：以4,b,C为边能构成直角三角形，理由如下：

*/a='/7,b=5,c=3V2

22

222

••・a2=(y7)=7,b=5=25,c=(3V2)=18,

Aa2+c2=b2,

•••以a,Ac为边能构成直角三角形.

20.解：设04=0B=x,

•••EC=80=5、AC=1

.・.4E=5-1=4

OE=OA-AE=x-4

在Rt/kOEB中，由勾股定理得

(%-4)2+102=x2

解得x=14.5

因此，秋千绳索的长度为14.5尺.

21.(I)证明：•••乙4cB=乙/KE=90。,

•••Z-DCE+Z.ACD=Z.ACB+Z.ACD,

:.Z.ACE=乙BCD,

•••CA=CB,CE=CD,

•••△ACEBCD(SAS)；

(2)解：过点D作D"_L4C交于H,

v乙CAD=45°,

4HAD=Z.HDA=45°,

:.AH=DH,

AD=y/AH2+DH2=^2AH=2vL

:•AH=DH=2,

CH=AC-AH=6-2=4,

CD=7cH2+DH?=V42+22=2瓜

:.CE=2V5.

22.(1)解.：如图所示，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点F,作线段BF的垂直平分线交A8于点E,

连接力”，点£和点”即为所求;

2713,

：.AC2-i-AB2=BC2

=90°,则4B+NC=90°

，：EB=EF,AF=AC,

，乙EFB=cB,乙AFC=LC,

又・・"E+，C=90。

，乙EFB+=90。，

：.^AFE=90°：

(2)解：由(1)得A尸=AC=4,EB=EF,Z.AFE=90°,

设EB=EF=x,则4E=AB-EB=6-x,

在Rt△/1£1?中，由勾股定理得=A/2+E/2,

A(6-x)2=42+%2,

解得％=p

：.EF=-.

3

23.(I)证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

叩式a+b)(a+Z?)=^abx2+1c2,

化简得：a2+b2=c2；

(2)三个图形中面积关系满足Si+S2=S3的有3个：

设直角三角形两直角边中，较短的边长为如较长的边长为小直角三角形的斜边的边长为C；

根据题意得：a2+b2=c

如图4：

222

S1=a,S2=b,S3=c

S]+S2=S3；

如图5：

^na2+^nb2=^n(a2+b2y)=^-nc2,

8888

=s；

S]+s23

如图6：

・.•3M+出炉=立(。2+62)=立。2,

4444

；・Si+S2=S3：

・•・三个图形中面积关系满足Si+S2=53的有3个；

故答案为：3；

(3)解：•••大正方形的面积为32,小正方形的面积为8,

/.(a+b)2=32,(a—b)2=8»

/.(a+b)2+(a—b)2=a24-2ab+fc2+a2—2ab+b2=2(a2+d2)=40»

22

Aa+b=20,

二每个小长方形纸片的对角线长="不庐=廊=2遍.

24.(1)解：•・•已知在A/BC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,

：.AC2+BC2=36+64=100.AB2=100,

：.AC2+BC2=AB2,

•••△ABC是直角三角形，

如图1,

C―►PB

图1

过。作CD148于。，

^XACXBC=^ABXCD,

.'•ACxBC=ABxCD,

.•.CD=^^=—=4,8(cm)

AB10''

则力Bi±上的高是4.8cm：

(2)解：①当点P在BCE如图2,

图2

当&4=CP时,

'：AC=6cm

CP=6cm,

•・•动点P从点C出发，沿着△力BC的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为2cm/s,设运动时间为£秒.

则£=6+2=3(s),

②当点P在AB上，如图3,C4=CP时，过C作CD1AB于。，

图3

在RtMDC中，AD=>JAC2-CD2=V62-4.82=3.