2025-2026学年广东深圳某中学八年级上学期开学考数学试题（含答案）

2025-2026学年第一学期八年级开学数学作业练习

一,选择题：（3分x8=24分，请把答案写在答题框）

1.械止2025年3月，我国已全面掌握14纳米芯片量产技术，7纳米工艺进入风险试产阶段.已知1纳米

=10r米，则14纳米用科学记数法表示为（）米

A.1.4xlO10B.1.4x10-8C.0.14x108D.14x10“

2.下列运算中，正确的是（）

A.3石+2百=5几B.7（-4）2=-4c.x/25=±5D.V=64=-4

3,若最简二次根式与我能合并，则。的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.线段4、b、C组成的三角形不是直角三角形的是（）

A.a=6,/?=8,c=10B.a=\,b=y/2,c=y/3

35、.

C.a=2,b=—,c=—D.a=32.b=42,c=52

22

5.一个正数的两个平方根是2〃?-4和3m一1,则〃?的值为（）

A.-3B.-1C.1D.无法确定

6.如图，将四根长度分别为3cm,5cm,7cm,8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生

改变，在变化过程中，点4和点D之间的距离可能是（）

7.如图，在V48c中，ZABC=54°fP为NABC内一点、,过点，的直线MV分别交49,BC于点、

M,N,若M在24的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则//PC的度数为（）

第1页供5页

A104°B.106°C.117°D.136°

8.如图，在V4BC中，NB4c=45。,4DLBC于点D,CE工4B于点E,4D和CE交于点F,若

48=7,3E=3,则。b的长为（）

二，填空题（3分x5=15分，请把答案写在答题框）

9.J话的平方根是.

10.已知：（x+5『=9,则％的值是.

II.如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m,3m和Lm,力和片是这个台阶的两个相

44

对的端点，4点上有一只蚂蚁想到4点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为；

B

12.学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落

地后还剩1米（如图1）.将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离48=5米（如图2）,则旗杆

13.如图，V48c中，ZJ5C=90°,4B=4,8C=3,点。、E分别是48、8C上的动点，满足=,

则,4E+CQ的最小值为.

第2页/共5页

A

三,解答题（共61分）

14.计算：

⑴，（-3『+（3-兀）°+

（3）（2V5-V7）（2x/5+V7）-（V5-3）2

（4）配逗m

15.已知〃=2+百，力=2-百，求下列代数式的值.

（1）a2-b2;

（2）a2+b2.

16.图①、图②均是8x8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点4、B、C均在格点上，在给

定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按卜列要求画图，保留作图痕迹.

图①图②

（1）在图①中，力8边上找点0,使COJ_45

（2）在图②中，/C边上找点E,使NABE=45。

17.在四边形力8C。中，AB=4,BC=3,CZ）=12,40=13,Z5=90n

第3页/共5页

AD

BC

（1）求证：力co为直角三角形;

（2）求四边形［8c。的面积.

18.如图，VZ8c中，N4C8=90°,43=10cm,BC=6cm,若点尸从点A出发，以每秒1cm的速

（2）若点尸恰好在484C的角平分线上（A点除外），求f的值；

19.【模型建立】

“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题.例:

求代数式GTF+加牙7F的最小值.

分析：J?+32和J（12-X）?+22是勾股定理的形式,"是直角边分别是X和3的直角三角形的

斜边，J（12-x）2+2?是直角边分别是12-X和2的直角三角形的斜边,因此，我们构造两个直角V48c

和DEF,并使直角边和E/在同一直线上（图1）,向右平移直角V4BC使点B和石重合（图2）,

这时6F=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点8在线段C/的何处时•，48+Q8最

短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值.

（1）代数式近2+3z+,（12-工）2+2?的最小值为；

（2）变式训练：利用图3,求代数式42+4+［（5-"2+1的最小值;

20.综合与实践

第4页/共5页

新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形.

E

图1图2图3

(1)【初步尝试】如图1,已知RtA/BC中，ZC=90°,AB=5,BC=4,P为AC上一点、，当4P=

时，4BP与C8尸为积等三角形:

(2)【理解运用】如图2,AABD与4c。为积等三角形；若48=3,AC=5,且线段力。的长度为正

整数，求4。的长;

(3)【综合应用】如图3,已知中，ZACB=90Q,分别以4C,48为边向外作正方形48OE

和正方形4c户G,连接EG,求证：ZX4EG与V44c为积等三角形.

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2025-2026学年第一学期八年级开学数学作业练习

一,选择题：（3分x8=24分，请把答案写在答题框）

1.械止2025年3月，我国已全面掌握14纳米芯片量产技术，7纳米工艺进入风险试产阶段.已知1纳米

=10-9米，则14纳米用科学记数法表示为（）米

A.1.4xlO10B.1.4x10-8C.0.14x108D.14x10“

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO”,其中1引4<10,〃为由原数左边起第

一个不为零的数字前面的0的个数所决定.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为

axl（T”，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起笫一个不为零的数字

前面的0的个数所决定.根据用科学记数法表示绝对值小于1的方法，进行解答即可.

【详解】解：14纳米用科学记数法表示为1.4x10-8米，故BE确.

故选:B.

2.下列运算中，正确的是（）

A.3百+2百=5“B.7（-4）2=-4C.V25=±5D.V^64=-4

【答案】D

【解析】

【分析】根据算术平方根，立方根，二次根式性质解答即可.

本题考瓷了算术平方根，立方根，二次根式性质，熟练掌握性质是解题的关犍.

【详解】解：A.3石+26=5白，原式计算错误，不符合题意；

B.J（—4）2=4,原式计算错误，不符合题意；

C.725=5,原式计算错误，不符合题意；

D.V-64=-4»原式计算正确，符合题意；

故选：D.

3.若最简二次根式甚■与"能合并，则。的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

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【解析】

【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则

它们的被开方数必须相同，由此建立方程求解.

【详解】解：最简二次根式JT二五与J7能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，即：

1・3〃=7,

-3a=7-1,即—3a=6,

两边同时除以-3,

当。二一2时，被开方数为1-3x(—2)=7,此时/是最简二次根式，符合题意；

因此，。的值为一2,

故选：A

4.线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是()

A.Q=6,6=8,C=10B.a=l,b=6,c=y[^

35、、

C.a=2,b=—,c=—D.a=32./?=42,C=52

22

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查了勾股定理的逆定理.根据勾股定理的逆定理，逐项判断，即可求解.

【详解】解：A、62+82=102»能组成直角三角形，故本选项不符合题意：

B、a2+^=l2+(V2)2=(V3)2=c2»能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

C、a2+b2=22+(|)2=(|)2=能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

D、32+42=52,不能组成三角形，更不能组成直角三角形，故本选项符合题意；

故选：D

5.一个正数的两个平方根是2用-4和3加一1,则用的值为()

A.-3B.-1C.1D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系是解题的关

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键.根据平方根的定义可得2〃7-4+3m一1=0,解方程即可求解.

【详解】解：由题意可得：2〃7-4+3〃?-1=0,

解得:〃？=1,

故选：C.

6.如图，将四根长度分别为3cm,5cm,7cm,8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生

改变，在变化过程中，点4和点D之间的距离可能是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了三角形三边的关系的应用，根据三角形的三边关系可以求出的范围，即可得到答案.

【详解】解：连接8Q，

4八u

7cm/

/J"[cm

-------ic

在△NBZ）中，7-5＜8。＜7+5,即2＜3。＜12,

在△48。中，8—3＜8。＜8+3,即5＜台。＜11,

，5＜8。＜11,

观察四个选项，只有C选项符合题意，

故选:C.

7.如图，在V4BC中，/力BC=54。,P为YABC内一息,过点P的直线MN分别交/昆BC于点、

M,N，若"在P4的垂直平分线上，N在尸。的垂直平分线上，则尸C的度数为（）

BNC

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A.104°B.106°C.117°D.136°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌

握线段垂直平分线的性质，由480=54。，可得NBMN+NBNM=126。,根据线段垂直平分线的性

质可得：MA=MP,NP=NC,推出乙"4尸=/MPA,4NPC=4NCP,再结合三角形的外角性质可

得4MPA+NNPC=63。,最后根据平角的定义即可求解.

【详解】解:由条件可知/8的7+/8'历=180。-54。=126°,

在P/的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，

/.MA=MP,NP=NC,

:"MAP=NMPA,4NPC=4NCP,

/BMN=/MAP+Z.MPA=22MPA,ZBNM=4NCP+4NPC=2NNPC,

/./MPA+/NPC=-/RMN4-/RNM=lx126°=63°,

222

/APC=180°-(/MPA+NNPC)=180°-63°=117°.

故选：C.

8.如图，在V43C中，NB4c=45。,4D上BC于点D,CE1于点E,4D和CE交于点F,若

AB=7,BE=3,则QF的长为（）

A.1.2B.IC.0.8D.0.6

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质.

证明BEC沿FEJ(ASA),得到8£=斯=3,则4E=C£=4,则CE=CE—M=1,AF=5,

[1A75「cCQ

BC=AF=5,AC=4亚,根据S4蛇=；力小。E=4。得到4。二—『二一，即可得答案.

22BC5

第4页/共19页

【详解】解：・.・力。工8。于点D,CEJ.4B于点E,

・•・AADB=ZADC=ZBEC=AAEC=90°,

VZ^C=45°,

・•・/月CE=45°,

，AE=CE

•//AFE+NEAF=4CFE+4BCE=90°,ZAFE=4CFD,

:./.EAF=NBCE,

•・•4BEC=ZAEC=90°,

・•・BEgFEA(ASA)

[BE=EF=3,BC=AF,

：,AE=CE=AB-BE=4

:・CF=CE-EF=1,AF=>JAE2+EF'2=V42+32=5

・•・BC=AF=5,AC=\lAE2+CE2=V42+42=4£

：

*S/IO4Cftc=2-ABCE=2-BCAD

ABCE7x428

AAD=---------=------=—

BC55

28

・•・DF=AD-AF=——5=0.6

5

故选D.

二,填空题(3分x5=15分，请把答案写在答题框)

9.J记的平方根是.

【答案】i2

【解析】

【详解】解：・・・瓦=4

:.V16的平方根是±2.

故答案为±2.

10.已知：(X+5)2=9,则x的值是.

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【答案】—2或—8##-8或一2

【解析】

【分析】本题考查利用平方根解方程，等号两边分别开平方，得到两个一元一次方程，解方程即可.

【详解】解：（X+5）2=9,

1+5=3或工+5=-3,

解得工=一2或一8,

故答案为：-2或一8.

11.如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m,3m和1m,力和片是这个台阶的两个相

44

对的端点，4点上有一只蚂蚁想到4点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为：

B

【答案】5m##5米

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关

键.将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算48的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路

f31、

由题意得，AC=4m»BC=一十:x3=3m,

144J

在Rt△力8c中，AB=>JAC2+BC2=A/42+32=5m»

即它所走的最短路线长度为5m,

故答案为：5m.

12.学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了•段，经测量绳子垂直落

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地后还剩1米(如图1).将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离力8=5米(如图2),则旗杆

的高度BC为____________

图I图2

【答案】12米

【解析】

【分析】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则4C=(x+l)米，在RtZSZBC中，利

用勾股定理求出工的值，即可求解.

【详解】解：设旗杆的高度8C为x米，则/C=(x+l)米，

在RtZXABC中，AB-^-BC1=AC^48=5米,

.・.52+X2=(X+1)2,

解得：x=12,

即旗杆的高度3c为12米.

故答案为：12米.

13.如图，V4BC中，ZABC=90°,=4,5C=3,点。、七分别是、8c上的动点，满足4。=3E,

则.4E+C。的最小值为.

【答案】病

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段最短问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，作

辅助线构造全等三角形是解题关键.

过点4作力/JL/3,使力尸=/8=4,连接。/、CF,过点F作FHLCB,交C4的延长线于“，证

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明ADF^8E4（SAS）,由全等三角形的性质可得产。=力上，进而可得4石+。。=尸。+。0,故当点C、

力、尸在同一直线上时，彳七+C。的值最小，即线段C厂的长度，证明四边形彳8〃尸为矩形，再利用勾股

定理求解即可.

【详解】解：过点4作力/J.4B,使力尸=48=4,连接。/、CF,过点F作FH工CB,交。4的延

长线于“，如图所示：

•・•ZABC=90°,

・・・DEW=6ABC=90°,

在△4。尸和△8口中，

AF=AB

-ZFAD=ZABC=90°t

AD=BE

・•・AD04E4（SAS）,

；・FD=AE,

:.AE+CD=FD+CD，

根据“两点之间线段最短”得：FD+CD>CF,

・•・FO+CO的最小值为线段。产的长，

即,4E+CD的最小值为线段CF的长，

VAF1AB,FHA,CB,ZABC=90°,

:./FAD=NABH=/〃=90°,

•••四边形/为矩形，

**•BH=AF=AB=4,FH=AB=4>

・•・CH=BC+BH=3+4=1,

在RtCFH中,由勾股定理得：CF=dCH、FH2=5+42=底,

・・・,4E+C。的最小值为病.

故答案为：y[b5.

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三,解答题（共61分）

14.计算：

（1），（-3『+（3-兀）°+

（3）（275-V7）（2x/5+^）-（V5-3）2

（4）月xjl—而+尽四咎

V2V2

【答案】（1）8（2）-+V3

3

⑶6^5-1

⑷20+1

【解析】

【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

（1）先计算二次根式，零次基，负整数次累，再计算加法；

（2）先化简二次根式，再计算二次根式除法；

（3）计算平方差、完全平方，结合二次根式运算法则进行计算；

（4）先计算二次根式的乘法、除法，再计算加减.

【小问1详解】

解:，（一3『+（3一兀）。+（一：）

\乙）

=3+1+4

=8；

【小问2详解】

解:（+3+6

=（2百-程+3+6

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77

=2百+百一匚+行+3+6

3

=2--+V3

3

=-+V3：

3

【小问3详解】

解：（2石-5）（2石+77）-僮-3了

=20-7-（5-675+9）

=20-7-5+6石-9

=6石-1；

【小问4详解】

解：瓦x瓦+舟叵三

\2五

=后阶守

=3五一亚+1

=20+1.

15.已知Q=2+J5，8=2-百，求下列代数式的值.

⑴a2-b2;

（2）a2+b2.

【答案】（1）8次

（2）14

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，二次根式的混合运算，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.

⑴先整理6）（。+与，再把〃=2+Ji，6=2—JJ代入进行计算，即可作答.

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（2）先整理/+〃=（〃+92-2〃/）,再把。=2+百，b=2-石代入进行计算，即可作答.

【小问1详解】

解：・・・。=2+百，b=2-6

••a2,-b~

-（a-6）（白+〃）

=（2+6-2+6卜（2+后+2-6）

=273x4

=8\/3-

【小问2详解】

解：/厂=（。+6）~—2。分，且〃=2+>/^，b=2,—5/3»

22

・•・/+/=（2+V3+2-V3）-2X（2+V3）（2-V3）=4-2X（4-3）=14.

16.图①、图②均是8x8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点/、B、C均在格点上，在给

定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹.

（1）在图①中，边上找点，使CD148

（2）在图②中，4c边上找点E,使ZABE=45°

【答案】（1）图见解析

（2）图见解析

【解析】

【分析】本题格点作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等.

（1）如图①中，取格点已连接CE交48于点。，线段S即为所求.根据三边对应相等可判定

EMC9ANB,推出NMEC-NAM，，进而可证NXOC-90。；

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（2）如图②中，利用格点构造等腰直角三角形43〃，8,交力。于点£，点E即为所求

【小问1详解】

解：如图①中，线段即为所求;

【小问2详解】

解：如图②中，构造等腰直角三角形48〃，8”交4c于点点E即为所求.

BC=3,CD=12,AD=13,N8=9(T

（1）求证：/ICO为直角三角形;

（2）求四边形力的面积.

【答案】（1）详见解析

(2)36

【解^5]

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理.

（1）由勾股定理求出4C=5,进而根据勾股定理逆定理证明即可;

（2）根据割补法计算即可.

【小问1详解】

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证明：在中，/4=9。°，48=4,BC=3

由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=42+32=25»即4C=5

在4CZ)中，AC=5,CD=12,AD=13

vJC2+CD2=52+122=25+144=169=132=^D2

ZCQ是直角三角形

【小问2详解】

解：SABCD=SABC+SACD

=-x^5xj?C+—x^CxCZ)

22

=-x4x3+ix5xl2

22

=6+30

=36.

18.如图，V43c中，N4c3=90。，/B=10cm,8C=6cm,若点户从点A出发，以每秒1cm的速

（2）若点产恰好在/3/C的角平分线上（A点除外），求，的值；

25

【答案】（1），=一秒或19秒；

4

32

（2）一秒.

3

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作辅

助线，构造全等三角形.

（1）根据勾股定理可以求出4C=8cm,当点尸在ZC上时，则尸4=P8=/cm,PC=（8-r）cm,利用

勾股定理可得：（8-）2+6?=/，解方程求出//：当P点在45中点时，可得：

工=力。+8。+空=8+6+5=19秒；

2

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（2）过户作因为点P恰好在。的角平分线上，可证RtACP^RtAEP,根据全等三角

形的性质可知4C=/1E=8,则8E=2,设C『="=xcm,则8P=（6-x）cm,利用勾股定理可得

22+X2=（6-X）2,解方程可得：x=1,所以可得，=弓.

【小问1详解】

解：:48C中，4cB=90。,48=10cm,BC=6cm,

AC=V102-62=8（cm），

当点2在4C上时，

如下图所示：连接BP,

当P力二尸8时，则产力=08=，cm,PC=（8-/）cm,

在R/△0。8中，PC?+CB?=PB?，

A（8-r）2+62=z2,

25

解得：t——»

4

25

当/=—秒时，PA=PB；

4

当尸点在川？中点时，PA=PB,

.•./=（4。+4。+詈卜=8+6+5=19秒，

25

.,.当/=—秒或19秒时，PA=PB；

4

【小问2详解】

解：如下图所示，过P作尸£148,

又丁点P恰好在/历iC的角平分线上，且NC=90°，48=10，BC=6,

CP=EP,

4P=AP

在RtNC尸和Rt4所中，

CP=EP

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Rt4cp^RtAEP(HL),

；.AC=AE=^,

BE=2,

设。尸二£'尸=xcm,则8P=(6-x)cm,

在RtBEP中，BE?+PE?=BP?，

：.22+X2=(6-X)\

Q

解得：x=3，

,2.

3

Q32

.•./=CJ+CP=8+-=—,

33

32

t=---9

3

32

综上，若点P恰好在N4的角平分线上，f的值为一秒一

3

“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题.例:

求代数式JPTF+在二孑=的最小值.

分析：和J（12—XY+22是勾股定理的形式,心于是直角边分别是％和3的直角三角形的

斜边，J（12-犬。+22是直角边分别是12-爽和2的直角三角形的斜边,因此，我们构造两个直角V43C

和DEF，并使直角边8c和石厂在同一直线上（图1）,向右平移直角V43C使点4和七重合（图2）,

这时67,=x+12-x=12,47=3,DF=2，问题就变成“点B在线段Cb的何处时，AB+DB最

短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值.

【模型应用】

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（1）代数式VX2+32+J（12-X）2+22的最小值为；

（2）变式训练：利用图3,求代数式五2+4+1（5-力2+1的最小值;

【答案】（1）13（2）V34

【解析】

【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题.

（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可：

（2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可.

【小问1详解】

解：如图，设CQ=12,BC=x,点力在C尸的上方，且力。，。〃/。二？，点。在。尸的下方，且

DF1CF.DF=2,对于。户任意一点8,过点。作QG_LWC,交4C延长线于点G,连接力。，则

CG=DF=2,DG=CF=\2,

・•・代数式y/x2+32+^（12-X）2+22表示力B+DB,

VAB+DB的最小值为AD的长，

即代数式+32+,02-XJ+22的最小值为AD的长，

在Rt4OG中，由勾股定理得：AD=>]AG2+DG2=J122+（3+2）2=13»

即JY+32+12—J）」+2的最小值为13；

故答案为：13

【小问2详解】

解：设C尸=5,BC=x,点/在C尸的上方，且/C_LC『,4c=2,点。在CF的下方，且

DF1CF.DF=1,对于C/任意一点8,过点。作。H_L/C,交4C延长线于点“，连接力。，则

4〃=2+1=3,DH=CF=5,

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A

，代数式6+4+^(5-X)2+1表示4B+BD,

VAB+DB的最小值为AD的长,

「・代数式6+4+J(5_x『+1的最小值为