2026年初高中数学重点知识点归纳总结（含典型例题）

初、高中数学重点知识衔接知识点梳理(含习题)

(一)乘法公式

1.初中学过的乘法公式:

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式{a±b)2=a2±2ab+b2.

2.初中未学过的乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+Z?3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+/)=/-b\

(3)三数和的平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+be+ac)；

(4)两数和都立方公式(a+b)7,=a3+3a2b+3ab2+；

(5)两数差对立方公式(a-b^=ay-3crb^ab2-b\

【例1】化简：(x+I)3-x(x2+3x+3).

【解】(％+I)3-x(x2+3x4-3)=x3+3x24-3x+1-x3-3x2-3x=1.

由完全立方公式可得(a+by-3a2b-3ab2=a3+b3，即

(a+b)[(a+b)2—3ab]=a3+b3,

由此可得立方和公式

2233

(Q+b)(a-ab+b)=a+b.

将立方和公式中的b全部改为-b，得到立方差公式

(a—b)(a2+ab+b2)=a3—b3.

【例2】对任意实数a，试比较(1+a)(l-a)(l+a+a2)(l-a+a2)与1的大小.

【分析】观察(1+Q)(1-Q)[1+Q+Q2)(1—Q+Q2)的结构特点,可运用立方和(差)公式将其化

简.

【解】(1+a)(l—a)(l+a+。2)(1-Q+/)

22

=[(1+a)(l—a+a)][(l—a)(l+Q+a)]

=(1+a3)(l-a3)=1-a6

6

因为1—Q6—I=—Q6，对任意实数a,-a<0，所以

22

(14-a)(l-Q)(1+a+a)(l-a+a)<1.

通过将完全平方公式(a+匕)2=。2+2M+匕2中的指数2推广到3,我们得到了课堂笔记完全

第1页共20页

立方公式.有兴趣的同学可以将指数推广到4,5，….另外，我们也可以从项数的角度推广

(Q+b+c)2=[(a+8)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=Q2+2ab+b2+2ac+2bc4-c2

=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

灵活应用等式(a+b+c)2=02+/++2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便.

【例3】已知a+b+c=O,ab+be+CQ=-：，求卜列各式的值：

(1)小+/+c2

⑵a4+64+c4

【分析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将彦+炉+c2用Q+8+C和Qb+8c+

ca表示.由于a4+b4+c4=(a2)2+(b2)2+(c2)2，由(1)得到启发，如果知道a2b2+b2c2+

c2a2的值，就能得解.【解】(1)(a+力+c)2=a?+/++2ab+2bc+2ca.由上式和已知得

222222

0=a+b+c-1，即a+Z?+c=1.(2)由ab+beca=—1，得Q2b?+62c2+c2a2+

2abe(a+b+c)=；.因为a+b+c=O，所以a2b24-b2c2+c2a2=.再由(1)的结论，得

a4+Z?4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1.因此a4+b44-c4=.【例4】已知x2+x-1=0,

求证：(%+l)3-(x-l)3=8-6x.[证法I](％+1尸一(x—l)3

=x3+3x2+3x+l-(x3-3x2+3-1)

=x3+3x2+3x+1-x34-3x2-3x+1

=6x2+2.

由已知得x2=1-x，故6%2+2=6(1-x)4-2=8-6x.因此,(x+l)3-(x—l)3=8—6x.

【证法2](x+l)3-(x-l)3

=(%+1-%4-l)[(x+I)2+(%+l)(x-1)4-(x-l)2]

=2a2+2x4-1+%2-14-x2—2%4-1)=6%2+2.

配套练习：

1.若a+b=8,ah=2,则砂+匕3=()

A.128B.464C.496D.512

2.若x+y+z=0,则/+y?+z?=()

A.0B.x2y+y2z+z2x

C.x2+y2+7D.?>xy7.

第2页共20页

3.设力=(n+，，8=M+9+6，对于任意n>0，则A,B大小关系为()

\n/nJ

A>BB.A>BC.A<BD.不一定

4.(5-x)(25+5x4-x2)=.

5.观察下列各式的规律:(a-b)(a+b)=a2-b2,

2223

(Q-b)(a+ab+h)=a—b,

322344

[Q-b)(tz+ab+ab+b)=a-b.

可得到(a-b)(an+a^h4--4-ab^1+bn)=.(其中n为正整数).

6.求函数y=(x-2)3-x3的最大值.

7.当％=V5时，求代数式(2%+§(4炉—2+一丧的值.

(二)绝对值与二次根式：

(1)绝对值的代数意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.正数的绝对值是它

的本身，负数绝对值是它的相反数.零的绝对值仍是零.即

a,a>0,

|a|二«0,a—0,

-a,a<0.

(2)两个数的差的绝对值的几何意义：|a-母表示在数轴上数。和数〃之间的距离.

(3)两个绝对值不等式：|x|<a(a>0)o|x|<a(a>0)o

(4)二次根式，/的意义：77=p|=b心)

【例I】化简：(1)&%;(2)品awy);⑶科一焉.

【分析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分

母不含根号.其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3j题也可

以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分.

【解】⑴【解】云]诲釜丽=磐=一(或+冉)=_"6,

⑵【解法I】检=(送嘉*广区铲=回旧

【解法2】奇史*

第3页共20页

⑶【解】科一禺=喽第一维察=(g+你/”(画一(咐+那6

(近)2

二2滋

【例2】计第•1+2—+通.1+2—+3

L例2」IT算.(1+⑸(6+同+(、用+⑺(夕+3).

【分析】观察分式的分子和分母，发现(1+V3)+(V34-V5)=1+2百+V5,

(V5+V7)+(V7+3)=V5+2V74-3.因此可先将他们拆成两项之和然后分别进行分与有理化.

【解】原式二焉+石片+备+看

1-V3V3-V5x/5-V7V7-3

(1+75)(1-A/3)+(V34-V5)(V3-V5)+(V5+V7)(V5-V7)+(V7+3)(V7-3)

11

=-T(1-A/3+V3-V5+V5-V7+V7-3)=--(1-3)=1

乙乙

【例3】计算：+号+等.

【分析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便.

【解】痹式=(1=)2+-x

1-2A/X^T+X-12A/X^Tx

=_________________________

1—x+12—x2—x

【例4】已知a=&，求上彳_竺羽亘的值.

2+v3a—1a

【分析】先化简再求值，同时注意y/(a-iy=\a-l\.

【解】因为a=木=2—而VI,所以

原式=^-^S=(a_1)_j£z2L=a_1_zl£z21=a_1+l=2_V3-l+2+V3=

a-1a(a-l)a(a-l)a(a-l)a

3.

【例5］已知+〉)2+y2+J(x-〉)2+y2=2a，且a?—c?二炉，其中a>b>Q，求证:

圻白】•

【分析】当已知等式中含有二次根式时.可以考虑把等式两边平方.

第4页共20页

【解】【证明】因为J(x+c)2+y2+J(x—c)2+y2=2a，所以

】(x+c-+y2=2a-7(x-c)2+y2

两边平方,整理得a2-ex=aj(%-疗+*.

两边再平方,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

把Q2一c2=62代入得b2x2+a2y2=02b2，两边同除以Q2b2，得《+'=1.

【例6】已知a,b都是非负数，并且Vl-a2xV1-b2=ab，求证：aVl-b2+bVl-a2=1.

【分析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式再证明.但A2=B2,

未必有A=B，因此在证明过程中必须确定A.B是否同号.

【解】【证明】将x=ab两边平方，得(1一。2)(1一62)2b2，即1_b2+

a2b2=a2b2,

得Q2+匕2=i.

22222

(aJ1-炉+bj\-a?)=Q2(I_/j)+/j(l—a)+2aby/1—bx—a

=a2+b2-2a2b2+2a2b2-j

因为a,b都是非负数，所以。江中+从不二滔NO.因此+6/110二1.

【例8】(1)当x<0时，求|x|+Vx^+2Vx^的值.

(2)若〃为自然数，2衍=—a,Q的取值范围是什么？

【分析】根据n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化面与讨论.

【解】(1)当x<0时，|x|+VJF+2\[x^=|x|+|x|+2x=-x-x+2x=0.

⑵因为n为自然数，所以2n为偶数，于是2传二|可.

又因为2Va^=-a，所以QW0.

类似于二次根式的性质，我们乜可以得到n次根式的性质：

⑴(殉.

(2)当九为奇数时，V^=a；当几为偶数时，府.

i—a,a<u

(3)mVa^=府(a>0),Ved=Va-Vb(a>0,b>0),

n[^=^(a>O,b>0),Va^=(Va)m(a>0).

7bvb

第5页共20页

111__

nm1

从指数式的角度看，\[a=a2,\[a=加,…，,=an，所以a=Va^,a~“二,，

配套练习：

1.下列说法正确的是（

A.正数有一个偶次方根B.负数没有偶次方根

C.负数有两个奇次方根D.正数有两个奇次方根

2.当a>0时，V—ax3=（）

A.xy/axB.xy/—axC.—x\[—axD.—x>[ax

3.把好券（a工b）分母有理化的结果是（）

..a+ba+b-2\fab_a+b-2\ab

A.-1B.——C.-------D.--------

a-ba-bb-a

4.(—I)］。］的7次方根是0的8次方根是,

(-4)2的4次方根是,(一4>的4次方根是,

5.计算：—营=，VTW=，

(&xV2)4=V184-V2=.

已知a=/，b=4,求土—土的值•

化筒.{\la-^b)3+2ax^a+b\/b3b-3Vab

7.

a>/a+b\［ba-b

8.化简：(l)Ja-2V^T(l<a<2);

(2)飞(a-bp+y(a+Z?)n(a<b<0,n>l,nG/V).

（三）分式

L分式的意义、基本性质：

AAA

形如一的式子，若8中含有字母，且8#0,则称一为分式.当30时，分式一具有下列

BBB

,,,AAxMAA+M

性a质：一=------；—=------•

BBxMB

第6页共20页

2.零指数40=1（4工0）,

3.负整数指数。-，二’（。工0,〃为正整数）.，

a'

4.分式的运算；

〃=产"，

<a"、a"=，g'（awO），注意：正整数指数塞的运算性质可以推广到实数指数幕.

I{amy-amn,

_（aby1=a7"

a2+7a+io-a3+la+1

【例1】计算:X---------：-----

a2-a+la2+ia+4'a+2

【分析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式.

【解】原式二号鬻^中/、詈=a+5

223223

m+n一三.(叫2卜m+3mn+3mn+n»4.i,__o

【例2】先化简，再求值:而2f3，具中加=57,"=3・

m2+2mn+n2mn\mn/

【分析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步.本题代数式最后乘上的分式其分

子是完全立方，分母可以进行分组分解.

【解】原式=［繇-导需小(m+n尸

(m+n)2(m-n)

m2+n22mn(m+ri)

-----------------------X--------—

(m+n)2(m+ri)2(m—n)

m2-2mn4-n2(m+n)

-----------------------X-------------

(m+n)2(m-n)

m-n

m+n

当m=57,.3时，原式=器=需

【例3】已知=1，求的值.

X2-3X+1X4-9X2+1

【分析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建。•.条件与结论间的联系，从而达到解题的目

的.

X

【解】因为=1，所以二£11=1，得%+工=4.

X2-3X+1

第7页共20页

于是，"=’+丧-9=(4+5—11=16—11=5.

因此事=>

【注】本题解答中灵活应用了M+专卜+3一2.

【例4】已知b+-=l,c+-=1，求证：&十9=1,第8页

cab

【分析】由已知两式消去c，即可得到含a.h的关系式.

【解】由b+?=l，得?=1一匕；由c+?=l，得。=1一十•

所以（1一力）（1一］=1，得1一：一匕+5=1，即一；-8+5=0.

两边都乘以a，得—ab+b=。，两边再都除以b，得-：—。+，移项得：

—1b1=0a+b=1

【例］已知abc，求证:

5=1ab+a+lbc+b+1ac+c+1

【分析】此题直接通分太繁，不可取.观察求证式子的左边，发现作轮换QTbTCTQ，可洛其中一

项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略.【解】【解法1】因为abc=1,所以a.b.c均

不为零.

u.ab,ubcaabUUL

原式=------+1+---------=।tt।

ab+a+la(bc+b+l)ab(ac+c+l)ab+a+labc+ab+aabac+abc+ab

=---a---+,--a-b---+----1--=-a-+-a-b-+-1=]..

ab+a+l1+afe+aa+l+abab+a+l

【解法2】因为abc=1，所以a,b,c均不为零.

a,b,be1,b,be

原式-------T-------+........--------卜-----T---------

ab+a+abcbc+b+1b(ac+c+l)b+l+bcbc+b+1bac+bc+b

1.b,be1+b+bc

-----+------+------=------

b+l+bcbc+b+11+bc+bbc+b+1

i+3

【例6】化简:.3­

xy

【分析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简

公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概念，将繁分式转化为分式

的除法.

第8页共20页

【解】【解法1］原式=£§^=匕詈=产彳・

xy-l+xy2xy-l

【解法2】原式=(1+”)+(1—3)=3+至3=4.

\xJ\xy/xxy2xy-l

2

2

【例7】化简：(x+l)-fx+i一-Q\+

\xJyx1-x-JyX2+-^-2X~+3

【分析】观察发现，上式中出现最多的是X+工，而/十三二代十二)2—2因此设％十工二Q原式

XX2XX)X

的形就变简单了，从而有利于化简.换元法在繁分式化简中是一种常用的方法.

22

【解】设无+：Q,则/十或-2=a-2.

222

原式二Q2-(Q-士).a-a+la-a-n\*(al)?

a2-2a+l,a-1/a2-a+l

a2—(a2—a+l)=a—l=x+--1.第10页

配套练习:

1.下列运算中，错误的是()课堂笔记

0.5a+b_5a+lJbx-y_y-x

A.B・辞ZC.D・--=---

”非CW0)0.2a-0.3b2a-Sfex+yy+x

2.若工+工=4,则

r44-r2+l

A.10B.15c

nD.上

3.若Q+q=l,b+|=1，则c+：=)

A.1B.2C.3D.4

4.化简:

32

5.化简:a-a-a+l

a3-3a2+3a-l-

[1-("±)

6.计算:X’‘.

1-a

7.己知"抖»。，求证:己+2+c=(a+b+c)2.

第9页共20页

8.已知xyz=l,x+y+z=2,x2+y2+z2=16，求^7+^7+^；的值•

(四)分解因式：

十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法.

分解技巧：添项、拆项法

例1、将下列各式分解因式：

(I)2x2+x-3;(2)-6a2+7a+5

【分析】(1)因为2=1x2,-3=(-1)x3=lx(-3)，且一次项系数是1,所以可用十字相乘法

分解因式.

1T

23

(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多.

因此先把负号提到括号外面，却-6a2+7a+5=-(6a2-7a-5)，然后再把6a2-7a-5按图

1.2-7用十字相乘法分解因式，

【解】(1)因为1x3+2x(-1)=1,恰好等于一次项系数1,

所以2/+x-3=(%-1)(21+3).

2

(2)因为一6a2+7Q+5=-(6a-7a-5)，而根据十字相乘法,

6Q2-7a-5=(2a+l)(3a-5)，所以-6Q2+7Q+5=-(2a+l)(3a-5).

【例2】分解因式：(/一口2一(工2一划一2.

【分析】先将/-¥视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决.

【解】(/-x)2-(x2-x)-2=(x2-x-2)(/-x+1)=(%-2)(%+1)(/-％+1).

【例3】将下列各式分解因式：

(1)X3-X2+x-1；

(2)x2+4(xy-1)+4y2.

【解】

(1)【解法1】x3-x2+x-1=(%3-x2)+(%-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x24-1).

第10页共20页

【解法2】x3-x24-%-1=(x3+x)-(x2+1)=x(x2+1)-(%2+1)=(x2+1)(x-1).

(2)x2+4(xy-1)+4y2=x2+4xy-4+4y2=(x2+4xy+4y2)-4

=(x4-2y7-4=(x+2y+2)(x+2y-2).

【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式.

先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法.用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步

分解的可能性.

［例4］分解因式：%3+3%-4.

【分析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项,就可考虑分组分解.

【解】%34-3x-4=x3+3x-1-3=(%3-1)+(3x-3)

=(x-1)(/+x4-1)+3(x-1)

=(x-l)(x2+x+4).

［例5］已知x3—2x2y—xy2+2y3=0,x>y>0，化简：xz—2yz+1.第5页

【解】因为x3-2x2y-xy24-2y3=x2(x-2y)—y2(x-2y)=(x-2y)(x2-y2)

=(x-2y)(x+y)(x-y),

所以(%-2y)(x+y)(x-y)=0.

又因为x>y>0，所以x+yHO,x-yHO，即只有x-2y=0.从而

xz—2yz+1=z(x—2y)+1=1.

配套练习：

1.对多项式4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()

A.(4x2+2x)-(y+y2)B.4x2+(2x-y2-y)

C.(4x2-y)+(2x-y)D.(4x2-y)+(2x-y2)

2.要使一次三项式r2-6.r+m在整数范围内可分解，m为正整数，那么m的取值可以有

()

A.2个B.3个C.5个D.6个

3.把多项式2ab+l-a2-b2分解因式,结果是()

A.(a+b-1)(匕-Q+1)B.(a-b+1)(匕-Q+1)

C.(Q+6—1)(Q—b+1)D.(Q—b+1)(Q-b—1)

4.m4+m24-1=m4+—m24-1=(m2+)(m2+).

第11页共20页

5.将下列各式分解因式:

(I)4x2-x-3；

⑵3/+2ax-a2.

6.将下列各式分解因式：

(1)x3—y3—x2y+xy2;

(2)2a2—b2+ab-2a+b.

7.已知m=x—y,n=xy，试用m,n表示(x3+y3)2.

8.当％=-1时，/+2/-5x-6=0.请根据这一事实，将%3+2x2-5x6分解因式

（五）一元二次方程。炉+取+0=0（aWO）根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=O«W0）,用配方法将其变形为

2

b2_b-4ac

(x五一4一©

（1）当匠一4ac>0时，方程①的右端是正数,

-b±\llr-4ac

因此，原方程有两个不相等的实数根儿2=

2a

（2）当02—4ac=O时，方程①的右端为零,

因此，原方程有两个等的实数根汨=照=-2；

2a

（3）当A?—4a°V0时，方程①的右端是一个负数.因此，原方程没有实数根.

综上所述，对于一元二次方程a*2+6x+c=0（a#0）,有

—b+J"-4qc、

（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根汨,2=丫~—

2a

（2）当A=0时，方程有两个相等的实数根X.=X2=-—,

2a

（3）当AVOM，方程没有实数根.

（六）根与系数的关系（韦达定理）

1.探究根与系数关系

一元二次方程若一元二次方程af+Z>x+c=O（a#0）有两个实数根

-b+xjb2-4ac-b-\lb2-4ac

%，=

工，"2"，

第12页共20页

-b+\jh2-4ac-b-yjb2-4ac-2bb

则有——+——二N=

-b+\jh2-4ac-b-\lb2-4acb2-(b2-4ac)4acc

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系（也称韦达定理）：

.bc

如果战+以+。=0（a¥0）的两根分别是彳1,xi,那么为+莅=---,x\•X2=—.

aa

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程步+内+0=0,若小，心是其两根，由韦达定理可知:

小+在=一夕，X\•xi=q>即0=一（小+心）,q=X、•X）

所以，方程/+后+。=0可化为V—（汨+%）*+小•照=0,由于汨，应是一元二次方程

丁+夕叶广。的两根，所以：xi,必也是一元二次方程V—（M+的）X+M•盟=0.因此有

以两个数为，为为根的一元二次方程（二次项系数为1）是f—（为+X2）才+石•*=0.

4（区一工[）（工一工2）=0

2.一元二次方程的两根之差的绝对值

设汨和心分别是一元二次方程aV+bx+c=0（aWO）,

22

rl.-b+\]b-4ac-b-yJb-4ac

则内二------彳-------，/=---------------，

2a2a

-b+yJb2-4ac-b-yJb2-4ac2yJb2-4ac_\!b2-4ac_VZ

1X］一照|==

2a2a2a一Ml一|"

若汨和生分别是一元二次方程改+。*+。=0（aHO）,贝|J|xi—x2\=---（△=t）-4ac'）.

1。1

（七）二次函数

1.画二次函数尸aV+川+c（aWO）的图象的方法：

y=a^+bx+c=a（f+—x）+c=a（六+—x++c——=a（x+—）2+-,

aa4。-4a2a4。

尸苏+"+c（aWo）的图象可以看作是将函数尸小的图象作左右平移、上下平移得到的，于是,

二次函数y=ax4-Z>A*4-c（<*?=/=0）具有下列性质；

h4〃c—IY

①当a>0时，函数y=a/+bx+。图象开口向上；顶点坐标为（----,——-----），

2a4a

对称轴为直线X=—2：当xV-2时，p随着x的增大而减小；

2a2a

当时，y随着刀的增大而增大；当*=一2时，函数取最小值尸4一—”.

2a2a4。

②当aVO时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；

第13页共20页

顶点坐标为（一2‘4"二"）,对称轴为直线x=-2；当x<时，y随着X的增大而增大；当X

2a4。2a

467（7—h~

》时，y随着x的增大而减小；当*=时，函数取最大值--------

4。

a>0a<0

yy

\

[\X

0▽x°/

1

对bb

x=--x=----

称2a2a

轴

顶/b4ac—b2\(b4ac-b2\

I2a4a)[2a4a)

点

最

当x-时，y取最小值当工=一个时，y取最大值竺了

值2a4a

当随着x的增大而减小当当随着x的增大而增大当

x>-£,y随着x的增大而增大x>-£,y随着x的增大而减小

2.二次函数的三种表示方式

（1）一般式：y=ax+bx-\-c0）；

（2）顶点式：y=a（x+/?）」+A（aWO）,其中顶点坐标

是（一力，女）.

（3）交点式或两根式：（*—照）（aWO）,

其中汨，&是二次函数图象与x轴交点的横坐标.

3.二次函数的简单应用

（1）平移变换

在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点

——只改变函数图象的位置、不改变其形状.因此，在研

究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可.

（2）对称变换

（八）方程与不等式

1.二元二次方程组解法

含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次

第14页共20页

方程.其中x2,2xy,)，2叫做这个方程的二次项，X,y叫做一次项,6叫做常数项.

2.一元二次不等式解法

借助二次函数y=/+bx+c(aWO)的图象来解一元二次不等式—+取+。>0(#0).

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解.

对于一元二次方程af+"+c=o(a>o),设△=斤一4衣，它的解的情形按照△>(),△=(),A<0

分别为下列三种情况.相应地，抛物线y=/+6x+c(a>0)与x轴分别有两个公共点、一个公共

点和没有公共点(如图①②③所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式

ax+/?%+c>0(c/>0)与af+Ax+cVO(a>0)的解.

(1)当A>0时，抛物线夕=这2+"+。(心>0)与x轴有两个公共点(小，0)和(如0),方程af

+公+。=0有两个不相等的实数根小和煦(为〈加)，由图①可知不等式水2+版+。>0的解为xV/i，

或X>X2；不等式af+Ox+cVO的解为X\<X<X2-

(2)当△=()时，尸加+反+c(40)与x轴有且仅有一个公共点，方程加+6+c=0有两个

相等的实数根xi=X2=—怖，不等式aF+bx+c>0的解为用一方；不等式aV+Z?x+cVO无解.

(3)如果△<(),不等式ax'+bx+cVO无解.

在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用

上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等

式两边同乘以一1,将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利

用上面的结论去解不等式.

(九)三角形的“四心”

1.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重

，匕.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.

2.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的为部，它

到三角形的三边的距离相等.

3.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在

第15页共20页

三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部.

4.过不共线的三点A、B、。有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心。为三角形

的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

【例1】已知二次函数y=ax2+bx+10，当％=3时的函数值与当x=2006时的函数值相

等，求当X=2009时的函数值.

【分析】如图4.1-1,如果/4区,%),8(%2，丫0)是二次函数y=ax2+bx+c的图象上纵坐标相同

的两个点，则

>o=Q*+5+c,------(1)

y0=axf+匕%2+c----------(2)

由(1)一(2)得矶好一据)+—不)=0.因为工M，所以有%i+x2=-^.对照二次

函数y-n.r2+b.r+c的图象的对称轴为r=-£，有丫=空为一次函数图象的对称轴.反之,

如果％=空为二次函数的图象的对称轴，那么自变量取与,％2时的函数值相等.(请同学们自己

证明.)

用上述知识可解本题.

【解】因为当x=3时的函数值与当x=2006时的函数值相等,所以二次函数y=ax2+bx+

3+20062009

10的图象的对称轴为x=22

因为对称轴为无=空黄，所以当x=2009时的函数值与当x=0时的函数值相等.又因为当

x=0时，y=10，所以当x=2009时，y=10.

［例2］已知二次函数y=2M+bx,当％>1时，y随着”的增大而增大，求b的取值范围.

【解答】利用二次函数y=2x2+bx图像的对称轴与增减性,只要对称轴在%>1的左边即可

【解】因为二次函数y=2x2+bx的抛物线开口向上，所以只要对称轴在x>l的左边，即-；<

1,就有y随着工的增大而增大，得b>-4o因此，b的取值范围为b>-4.

2.求二次函数的解析式

我们知道，二次函数的解析式有两种形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a*0)；

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(aW0)，其中顶点坐标是(h,k).

求二次函数的解析式，就